2335501611

1. Wstępne informacje topologiem

1 Wstępne informacje topologiczne

1.1    Topologia ilorazowa

Niech X będzie przestrzenią topologiczną, Y zbiorem i / : X —* Y funkcją. Wprowadzamy na zbiorze Y topologię przy pomocy rodziny

U/ = {U C Y; f~¹(U) otwarte w X}.

Rodzina U/ spełnia wszystkie aksjomaty rodziny zbiorów otwartych. Jest to tzw. topologia ilorazowa na Y (zadana przy pomocy odwzorowania /). Wtedy / jest odwzorowaniem ciągłym.

1.2    Przestrzenie lokalnie zwarte

Definicja 1.2.1. Toplogiczną przestrzeń X nazywamy lokalnie zwartą jeśli, dla każdego punktu x € X, istnieje zbiór otwarty U 3 x taki, że zbiór U jest zwarty.

Każda przestrzeń lokalnie zwarta jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet przestrzenią T₃1 (Tichonowa). Podzbiory otwarte lub domknięte przestrzeni lokalnie zwartej są przestrzeniami lokalnie zwartymi.

1.3    Przestrzenie parazwarte

Niech X będzie przestrzenią topologiczną.

Definicja 1.3.1. Rodzinę {A_s}_ses podzbiorów przestrzeni X nazywamy lokalnie skończoną jeśli każdy punkt x £ X ma otoczenie (otwarte) U, które przecina się tylko ze skończoną liczbą elementów tej rodziny, tzn., gdy zbiór {s £ S: A_SC\U 7^ 0} jest skończony.

Jeżeli {A_s}_ses jest rodziną lokalnie skończoną, to U«es A_s — UseS -^s-

Definicja 1.3.2. Niech A = {A_s}_sgs, B = {B_t}tęr będą pokryciami przestrzeni X. Mówimy, że pokrycie A jest wpisane w pokrycie B jeśli istnieje funkcja A : S —* T taka, że A_s C B_A(_S> dla wszystkich s £ S.

Definicja 1.3.3. Mówimy, że X jest przestrzenią parazwartą jeśli jest przestrzenią Hausdorffa oraz w każde otwarte pokrycie tej przestrzeni można wpisać otwarte pokrycie lokalnie skończone.

Dowody poniższych faktów można znaleźć np. w [7].

Stwierdzenie 1.3.4.

(1)    Przestrzeń zwarta jest parazwarta.

(2)    Przestrzeń metryczna jest parazwarta.

(3)    Przestrzeń lokalnie zwarta i ośrodkowa jest parazwarta.

(4)    Przestrzeń parazwarta jest normalna (tzn. Tą).

(5)    Jeśli X jest przestrzenią parazwartą, a Y zwartą, to X x Y jest parazwarte. KI

1.4    Rozkład jedności

Niech X będzie przestrzenią topologiczną i f : X —* R funkcją ciągłą.

Definicja 1.4.1. Nośnikiem funkcji / nazywamy zbiór Supp(/) = /^-1(M \ 0).

Załóżmy, że U = {C/*}*e/ jest otwartym pokiyciem przestrzeni X.

Definicja 1.4.2. Rozkładem jedności względem pokrycia U nazywamy rodzinę (e_s}_ses, funkcji ciągłych z X do R takich, że:

(1)    V_seSV*_eX e_s(x) > 0,

(2)    V_seS3iei Supp(e_s) C U_u

(3)    rodzina {Supp(e_s)}_ses jest lokalnie skończona,

(4) V_iex E,«_se.W = l.