2335501598

1. Wstępne informacje topologiczne

Wniosek 1.10.6. W danym momencie czasu istnieją na Równiku (kuli ziemskiej) dwa antypodyczne punkty o tej samej temperaturze. El

Można udowodnić:

Twierdzenie 1.10.7 ([16] 80). Niech A,B będą ograniczonymi zbiorami na płaszczyźnie, posiadającymi pole. Istnieje wtedy prosta (leżąca na tej płaszczyźnie), która dzieli każdy ze zbiorów A i B na dwie części o równych polach. ES

W sformułowaniu poglądowym twierdzenie to można wysłowić następująco. Na talerzu leżą dwa naleśniki. Jednym cięciem noża można podzielić każdy z tych naleśników na dwie równe części. (Naleśniki nie muszą być rozłączne; jeden może nakładać się na drugi. Nie muszą też być spójne, tzn. nie muszą składać się z jednego kawałka).

Twierdzenie 1.10.8 ([16] 82). Niech A będzie ograniczonym zbiorem na płaszczyźnie, posiadającym pole. Istnieje wtedy dwie przecinające się proste (leżące na tej płaszczyźnie), które dzielą zbiór A na cztery części o równych polach. KI

11.5    | Niech I = [0,1] i niech X będzie przestrzenią topologiczną. Każdą funkcję ciągłą o : I —► X nazywamy drogą w X. Istnieją drogi o : I —* 1² będące surjekcjami, tzn. drogi zapełniające cały kwadrat 7. Takie drogi skonstruował Peano (ok. 1890 roku).

11.6    | Każdą funkcję ciągłą r : S¹ —» R² nazywa się krzywą Jordana.

Twierdzenie 1.10.9 (Jordana, [16] 120). Niech r : S¹ —* R² będńe krzywą Jordana. Wtedy zbiór R² \ t(S¹) nie jest spójny i zawiera dokładnie dwie składowe spójności. Wspólnym brzegiem tych składowych jest zbiór r(S^l). Dokładnie jedna z tych składowych jest ograniczona. O

Twierdzenie to pochodzi z 1890 roku. W tym czasie Jordan zwrócił uwagę, że coś takiego (wydawałoby się oczywistego) wymaga dowodu. Dowód podano na początku dwudziestego wieku.

Zastąpmy okrąg S¹ odcinkiem I = [0,1]. Mamy wtedy:

Stwierdzenie 1.10.10 ([16] 131). Niech a : 7 —* R² będzie funkcją ciągłą. Wtedy zbiór R² x <j(I) jest spójny. K

11.7 | Zanotujmy kilka uwag o twierdzeniu Borsuka i Ulama z 1930 roku.

Twierdzenie 1.10.11 (Borsuka - Ulama). Nie istnieje funkcja ciągła f : §" —>    “¹ taka, że

f(-x) = -f(x),

dla wszystkich x G §ⁿ. ES

Dla n = 1 twierdzenie to jest oczywiste. Dla n = 2 dowód znajdziemy w [16]. Jeśli n > 2, to podobno dowód jest trudny.

Wniosek 1.10.12 ([16] 183). Jeśli f : §² —■ R² jest funkcją ciągłą spełniającą związek f(—x) = —f(x), dla x € §², to istnieje xo € §² takie, że f(xo) = 0.

Dowód. Przypuśćmy, że f(x) 0, dla wszystkich x € §². Definiujemy funkcję ciągłą g : §² —> S¹, przyjmując g(x) = ||/(*)||^_1/(a:). Wtedy g(—x) = —g(x) i mamy sprzeczność z twierdzeniem powyższym. El

Wniosek 1.10.13 ([16] 183). Jeśli f : §² —• R² będzie funkcją ciągłą. Istnieje wtedy x € S² takie, że /(*) = /(-*)•

Dowód. Przypuśćmy, że f(x) ^ f(—x), dla wszystkich x € §². Definiujemy funkcję ciągłą g : S² —► R², przyjmując g(x) = f(x) — f(—x). Wtedy g(—x) = —g(x) (dla wszystkich x), a zatem - na mocy powyższego wniosku - g(xo) = 0, dla pewnego xo € §². Stąd f(xo) = f(—xo) wbrew naszemu przypuszczeniu. El

Z tego wniosku wynika, że w dowolnym momencie czasu istnieją na kuli ziemskiej dwa antypodyczne punkty, w których jednocześnie zgadza się temperatura i ciśnienie.

Powyższe dwa wnioski (z tymi samymi dowodami) są prawdziwe dla dowolnego n. Z ostatniego wniosku (sformułowanego dla ń) wynika, że nie istnieje ciągłe różnowartościowe odwzorowanie z §ⁿ do Rⁿ. Stąd daje się udowodnić: