2335501615

1. Wstępne informacje topologiczne

1.9 Nakrycia

Niech p : E —* X będzie ciągłym odwzorowaniem przestrzeni topologicznych.

Definicja 1.9.1. Mówimy, że odwzorowanie p : E —* X jest nakryciem, jeśli dla każdego punktu x G X istnieje otoczenie otwarte U 3 x takie, że

p-ⁱm=u_jSjv_s,

gdzie zbiory postaci Vj są:

(a)    otwarte,

(b)    parami rozłączne oraz takie, że

(c)    odwzorowania p\ Vj : Vj —> U są homeomorfizmami.

Jeśli p : E —> X jest nakryciem, to E nazywamy przestrzenią nakrywającą przestrzeń X.

Z tej definicji wynika:

Stwierdzenie 1.9.2 ([12] 26). Jeśli p : E —* X jest nakryciem, to:

(1)    przestrzenie postaci p^_1(x), x G X, są dyskretne;

(2)    odwzorowanie p jest lokalnym homeomorfizmem, tzn. dla każdego e G E istnieje zbiór otwarty V 3 e taki, że p(V) jest zbiorem otwartym w X oraz odwzorowanie p\V : V —> p(V) jest homeomorfizmem;

(3)    odwzorowanie p jest surjekcją;

(4)    odwzorowanie p jest otwarte;

(5)    X jest przestrzenią ilorazową przestrzeni E.

Dowód. (1). Niech x G X. Niech U 3 x będzie zbiorem otwartym w X takim, jak w definicji nakrycia. Wtedy

p~¹(x) = Ujęj(Vj n p^_1M).

Zbiory postaci VjC\p~^l (rc) są oczywiście otwarte w p~^l{x). Są to zbiory jednoelementowe. Istotnie, jeśli a, b G Vj D p~¹ (x), to a, b G Vj oraz p(a) =p(b) — x. Ale p| Vj jest odwzorowaniem różnowartościowym, zatem a = b.

Niech a G p~¹(x). Istnieje wtedy j G J takie, że a G Vj flp^_1(x). Wtedy Vj fi p~^l(x) = {a}. To implikuje, że {a} jest zbiorem otwartym. Każdy więc jednoelementowy podzbiór w p^-1(x) jest zbiorem otwartym.

(2) . Niech e G E. Wtedy x — p(e) € X. Istnieje więc zbiór otwarty V 3 x taki, jak w definicji nakrycia. Wtedy e G p~^l(U), więc e G Vj, dla pewnego j G J. Zbiór p(Vj) — U jest otwarty w X oraz P\Vj ■ Vj —* p{Vj) = U jest homeomorfizmem.

(3) . Niech iGli niech U 3 x będzie zbiorem otwartym takim, jak w definicji nakrycia. Ponieważ p|V* : Vj —► U jest surjekcją oraz x G U, więc istnieje e G Vj takie, że p(e) = x.

(4) . Wynika to z (2), gdyż jest oczywiste, że każdy lokalny homeomorfizm jest odwzorowaniem otwartym.

(5) . Jest to konsekwencja (3) i (4). [x]

Zanotujmy kilka przykładów nakryć.

Przykład 1.9.3.

(0)    Odwzorowanie tożsamościowe X —* X jest nakryciem.

(1)    Odwzorowanie p : R¹ —> S¹, p(t) — e^2nit, jest nakryciem. Jeśli x G S¹, to zbiór otwarty U 3 x (występujący w definicji nakrycia) jest przedziałem otwartym okręgu S¹, zawierającym x.

(2)    p : S¹ —> S¹, p(z) = zⁿ.

(3)    Niech p : §" —» Pⁿ(R) (gdzie Pⁿ(R) jest rzeczywistą przestrzenią rzutową) będzie odwzorowaniem sklejającym punkty antypodyczne. Odwzorowanie to jest nakryciem.

(4)    Niech G będzie grupą topologiczną i H jest jej dyskretną podgrupą. Wtedy rzutowanie G —* G/H (gdzie G/H jest zbiorem warstw z topologią ilorazową) jest nakryciem.

(5)    C n {0} —► C n {0}, z ^ zⁿ.

(6)    C —= ££*£• KI