1
Złożenie funkcji
Definicja Załóżmy, że f : X Y , g : Y Z są funkcjami.
Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h : X Z daną
wzorem h(x) = g(f(x)) .
Złożenie f i g oznaczamy symbolem g ć% f ( h = g ć% f ),
funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję g - funkcją
zewnętrzną.
2
Uwaga
" Złożenie dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą.
" Złożenie dwóch funkcji malejących jest funkcją rosnącą.
" Złożenie funkcji rosnącej i funkcji malejącej jest funkcją malejącą.
Przykład Określmy funkcje złożone f ć% f , f ć% g , g ć% f ,
"
g ć% g , jeżeli f(x) = x2 i g(x) = x .
3
Funkcja odwrotna
Definicja Funkcję f : X Y nazywamy funkcją różnowartościo-
wą (injekcją), jeżeli

"x1,x2"X ( x1 = x2 ) =Ò! f(x1) = f(x2) .

1-1
Funkcję różnowartościową będziemy oznaczać: f : X - Y .
Definicja FunkcjÄ™ f : X Y nazywamy funkcjÄ…  na
(surjekcją), jeżeli Wf = Y , tzn.
"y"Y "x"X y = f(x).
na
Funkcję  na będziemy oznaczać: f : X - Y .
4
Definicja Funkcję, która jest jednocześnie  1-1 i  na nazywamy
funkcjÄ… wzajemnie jednoznacznÄ… (bijekcjÄ…) i oznaczamy
1-1
-
f : X na Y .
Przykład Czy funkcje zilustrowane grafami lub wykresami są
różnowartościowe i  na ?
5
6
Uwaga
" Złożenie dwóch funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowarto-
ściową.
" Funkcja ściśle monotoniczna jest funkcją różnowartościową.
Przykład Sprawdz
my, czy funkcja
2x - 3 3x + 2
a) f(x) = b) f(x) =
x + 1 x - 4
jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.
7
Definicja Niech f : X Y będzie funkcja wzajemnie jednoznaczną.
FunkcjÄ™ f-1 : Y X nazywamy funkcjÄ… odwrotnÄ… do funkcji f ,
jeżeli dla każdego x " X i y " Y
f-1(y) = x Ð!Ò! y = f(x).
f-1 ć% f = IdX (f-1 ć% f)(x) = f-1(f(x)) = f-1(y) = x
f ć% f-1 = IdY (f ć% f-1)(y) = f(f-1(y)) = f(x) = y
8
Uwaga Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z wykresu funkcji
danej, odbijając go symetrycznie względem prostej y = x .
Przykład Wyznaczmy funkcję odwrotną do funkcji:
1
" y = x + 1 x " R
2
" y = x2 - x x " [1, +")
9
Funkcje wymierne
Definicja FunkcjÄ… wymiernÄ… nazywamy funkcjÄ™ postaci:
W(x)
y = ,
Q(x)
gdzie W(x) i Q(x) sÄ… wielomianami, przy czym Q(x) nie jest
wielomianem zerowym.
Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla
których Q(x) = 0.

W szczególności:
10
a
Funkcję y = , a = 0 nazywamy proporcjonalnością odwrotną.

x
a
Jej dziedziną jest zbiór R {0} . Wykresem funkcji y = jest
x
hiperbola.
11
ax + b
Funkcję y = nazywamy funkcją homograficzną, jeżeli
cx + d
ad - bc = 0 i c = 0.

Å„Å‚ üÅ‚
òÅ‚ żł
Jej dziedziną jest zbiór R -d .
ół þÅ‚
c
Każdą funkcję homograficzną można zapisać w postaci
r
y = + q,
x - p
d a ad - bc
gdzie p = - , q = i r = - .
c c c2
Oznacza to, że wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola powsta-
r
ła w wyniku przesunięcia wykresu y = o wektor = [p, q].
u
x
12
Uwaga Funkcja homograficzna jest odwracalna. Funkcja odwrotna
do funkcji homograficznej jest funkcjÄ… homograficznÄ….
Przykład Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji:
2x - 3 3x + 2
a) f(x) = b) f(x) =
x + 1 x - 4
13
Definicja Funkcję postaci y = xą nazywamy funkcją potęgową
o wykładniku ą, gdzie ą jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Dziedzina funkcji potęgowej jest różna dla różnych wartości wykład-
nika Ä… .
Przykład Wyznaczyć dziedzinę oraz funkcję odwrotną do funkcji:
1 4
4
a) f(x) = (2x - 1)- b) f(x) = (x + 1)3