2999072764

2.3. Interpretacja geometryczna w dwuwymiarowej przestrzeni decyzyjnej

Algebraiczne właściwości liniowych modeli decyzyjnych można łatwiej poznać poprzez analizę ich interpretacji geometrycznej. Dwuwymiarowa przestrzeń decyzyjna, w której poszukiwać będziemy zbioru rozwiązań dopuszczalnych oraz rozwiązania optymalnego, stworzona jest przez układ współrzędnych o osiach Xj i x₂, odpowiadających zmiennym decyzyjnym zadania optymalizacyjnego. Ponieważ w rozpatrywanym przykładzie są dwie zmienne decyzyjne, zatem możliwe jest rozwiązanie tego przypadku graficznie. Większa liczba zmiennych decyzyjnych w zadaniu np. 4, 5, 15 itd. tworzy układ hiperprzestrzenni n-wymiarowych i percypowanie takich przestrzeni jest poza zasięgiem naszych możliwości. Oczywiście zadania optymalizacyjne PL z wieloma zmiennymi decyzyjnymi można rozwiązywać, jednak wymagają one korzystania z odpowiednich algorytmów, które będą przedmiotem rozważań w dalszych rozdziałach.

Aby rozwiązać zadanie PL zapisane wzorami [2.19]-[2.23] metodą geometryczną, rysujemy układ współrzędnych, a na osiach x_h x₂ nanosimy jednostki. Następnie rysujemy proste odpowiadające poszczególnym nierównościom zadania. Z nierównością [2.20] jest związana prosta o równaniu 2x, + 2x₂= 14. Znajdujemy jej punkty przecięcia z osiami (*, = 7) oraz x₂ (x₂ =7). Nierówności tej odpowiada półpłaszczyzna punktów leżących zarówno na tej prostej, jak i na lewo od niej. Następnie nanosimy proste odpowiadające kolejnym nierównościom [2.21] i [2.22]. Warunek nieujemności zmiennych ogranicza nasze rozważania do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych. Część wspólna trzech uzyskanych półpłaszczyzn tworzy zbiór punktów o współrzędnych (xj, x₂), spełniających wszystkie warunki ograniczające, i stanowi zbiór rozwiązań dopuszczalnych. Zbiorem tym jest czworokąt A, B, C, D (rys. 2.1).

Aby znaleźć rozwiązanie optymalne zadania PL, przyjmujemy wartość funkcji kryterium równą zeru i kreślimy prostą spełniającą ten warunek 2x, +3x₂=0. Jest to prosta przechodząca przez początek przyjętego układu współrzędnych (x_f, x₂), a na rysunku zaznaczono ją liną przerywaną. Wartość funkcji celu przechodzącej przez początek układu współrzędnych oznacza, że wartości zmiennych decyzyjnych są równe zeru (x\ = 0; x₂ = 0). Oznacza to, że nie uruchamiamy produkcji, a więc zysk jest równy zeru. Prosta ta jest izokwantą, czyli linią tych samych wartości funkcji celu. Jeśli przyjmiemy dowolną większą od zera wartość funkcji celu, to uzyskamy prostą równoległą, która będzie leżała powyżej izokwanty. Jeśli przesuniemy izokwantę równolegle w górę, zgodnie z zaznaczonym kierunkiem wzrostu funkcji celu do punktu, w którym będzie styczna do obszaru rozwiązań dopuszczalnych, otrzymamy prostą przechodzącą przez punkt C o współrzędnych (xj = 4, x₂ = 2). Będzie to punkt, w którym funkcja celu osiąga wartość największą - zatem jest rozwiązaniem optymalnym. Aby znaleźć jego współrzędne, rozwiązujemy układ równań: Jx, + 2x₂ = 8 { 4jc, =16

Pierwiastkami tego układu równań sąx/ = 4ix₂=2 współrzędne punktu C, a zarazem wartości zmiennych decyzyjnych, przy których funkcja kryterium osiąga swoje optimum.

14