3179027790

Elementy Badań Operacyjnych

Tablica 5

Stop	% zawartość pierwiastka w' stopie		Cena 1 tony stopu (zł)
	Si	Mn
Si	30	30	45
S2	60	40	54
s3	70	-	42
s4	80	20	36

Rozwiązanie:

Ad a) Przykład ten dotyczy zagadnienia mieszanki, będącego uogólnieniem zagadnienia diety. Zagadnienie mieszanki dotyczy ustalenia ilości podstawowych surowców jakie należy zmieszać (zakupić) aby otrzymać produkt o pożądanym składzie chemicznym przy możliwie najniższych kosztach zakupu surowców.

W tym przypadku surowcami są cztery rodzaje stopów, zatem zmienne decyzyjne x_u x₂, X3, *4 to odpowiednio ilości ton stopów Si, ... S4. Wytworzone (w ilości 1600 ton) żeliwo powinno zawierać 62,5% (czyli 62,5%-1600 = 1000 ton) Si oraz 18,75% (czyli 18,75%-1600 = 300 ton) Mn. Program liniowy dla powyższego problemu przyjmuje postać:

F(x,,...,x₄) =45x,+54x₂ +42x₃+36x₄ —» min 0,3x, +0,6x₂ + 0,7x₃ + 0,8x₄ > 1000 0,3x, + 0,4x₂    + 0,2x₄ >300

x,,x₂,x₃,x₄ > 0

Najłatwiej można go rozwiązać wykorzystując zależności pomiędzy PP i PD. Program dualny przedstawiono poniżej:

^(Ti,T2) ^{= 1000}Ti+³⁰⁰T2 -> ^max

0,3j, + 0,3y₂ < 45

0,6_y, + 0,4_y₂ < 54

0,7y_t    < 42

0,$y_l+Q,2y₁ <36

T.,T2^0

Rozwiązaniem optymalnym PD są współrzędne punktu P, w którym przecinają się proste (2) i (4). Rozwiązując układ tych dwu równań otrzymujemy: y_x =18, y₂ = 108, a wobec tego F(y\ ,y₂) = 1000-18+300 -108 = 50400. Łatwo też sprawdzić, że te rozwiązania optymalne słabo (jako równości) spełniają warunki (2) i (4), natomiast ostro spełniają warunki (1) i (3). Stąd wiadomo, że x* = x’ = 0. Pozostaje zatem rozwiązanie układu równań:

0,6x₂ +0,8x₄ =1000 0,4 x₂ +0,2x₄ =300

które jest następujące:

x* = 200, x* = 1100 a wobec tego: F(x,‘,..., x₄*) = 45 • 0 + 54 • 200 + 42 • 0 + 36 • 1100 = 50400.

Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 17