365605319

Mnożenie krzyżowe daje wynik intuicyjny

Teraz przejdziemy do ważniejeszego twierdzenia ze względu na Eulera:

(1 — ar)(l — ar²)(l — x³) • • • = 1 — x^l — x² + x⁵ + x⁷ — x¹² — x¹⁵ H----

gdzie wykładniki są liczbami w postaci lk(3k ± 1) Najpierw odnotujmy ,że

(1 — x)(l — x²){\ — x³) • • • =    E(n) — 0(n))xⁿ

gdzie E(n) jest liczbą partycji z n dzieloną na parzystą liczbę odrębnych części a O(n) liczbą partycji z n dzieloną na nieparzystą liczbę odrębnych części. Spróbujemy ustalić wzajemnie jednoznaczą zgodność między partycjami tych dwóch rozważanych rodzajów. Taka zgodność nie może być dokładna, gdyż taka dokładność rpwadzi do stwioerdzenia ,żę E(n) = O(n). Weźmy wykres przedstawiający partycję z n dzieloną na dowolną liczbę nierównych części. Zacznijmy od nizjniższej lini AB u dołu wykresu.Od C, najbardziej wysuniętego na północny wschód węzła rysujemy najdłuższą południowo-zachodnią linię dostępną na wykresie. Może ona zawierać tylko jeden węzeł. Linia CDE jest nazywana skrzydłem grafu

C

D

E

A B

Zazwyczaj możemy przenieść bazę do pozycji w nowym skrzydle (równolegle i na prawo od "starego" skrzydła) Czasami możemy przeprowadzić operację odwrotną (przeniesienie skrzydła ponad bazę , poniżej starej bazy) Kiedy opisane działanie lub jej konwersja jest możliwa, prowadzi to z partycji z nieparzystą liczbą części do parzystej liczby części lub odwrotnie. Zatem, generalnie E(n) = O(n). Jednak dwie sprawy wymagają specjalnej uwagi. Są one przedstawione na wykresach

W tych przypadkach n ma postać

k + (k +1) + ■ ■ ■ + (2fc — 1) = i (3k² - k)

i

(k + 1) + (k + 2) + ■ • ■ 4- (2k) = ł(3k² + k)

W obu tych przypadkach jest ponad jedna partycja dzielona na parzystą liczbę części, lub jedna