4531591930

Oczywiście, dla ustalonego e mamy C(X) —* 0 przy A —♦ 1. Pozostaje zbadać pierwszą całkę:

/(A,e) =

/ m(Ax) — / u(Xy)p^e(x - y)dy\dx =

Jn I    ■/R^d    I

h L b^w - h L^u(y)pt (^r) ^iy\^dx=

hSxa j"^) -u*p‘^x(x)\ix.

By stwierdzić, że ostatnie wyrażenie dąży do zera przy e —> 0 jednostajnie ze względu na A, wystarczy przyjąć, że A G [^,2]. Łącząc uzyskane zbieżności dla I, II i III, otrzymujemy tezę.    □

Dowód stwierdzenia 1. Z lematu 2 łatwo dostajemy mocną zbieżność u^x —* u w L^l(W^l, R^m). Stąd dla podciągu u^Xk ^—4 u, co w połączeniu z ciągłością modularu pozwala wywnioskować, że H{u^Xk — u) 0. Korzystając ponownie z lematu 2, otrzymujemy mocną zbieżność H(2u\_k) = H(2u)\_k    H(2u). Zatem

H(ii^A‘ - u) < i-H(2a^A‘) +    « /**,

gdzie /^Afc f. Wybierając kolejny podciąg (nie zmieniając notacji), możemy założyć, że ||f^Xk — /||i,i(K<ł) < Wówczas h — sup_fc f^Xk jest całkowalną majorantą. Zastosowanie twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej prowadzi do tezy:

[ H(u^Xk(x) — u(x))dx *-^3? f H(0)dx = 0.

Jn    Jn

Powyższe rozumowanie można powtórzyć na każdym podciągu A/ i zakończyć dowód punktu 1, bo to oznacza, że f_nH(u^x(x) — u{x))dx 0.

By wykazać część 2, zauważmy, że Vu^A(x) = XVu(Xx). Zatem (korzystamy z monotoniczności modularu na półprostych wychodzących z 0)

[ M(XVu(Xx) — Vu(x))dx < Jn

1    f Ml2\Vu(Xx) - 2AVu(x))dx + - f M(2XVu(x) - 2Vu(x))dx <

2    Jn    2 Jn

- [ M(i(Vu(Xx)-Vu(x))dx+- [ M(2(\-\)Vu(x))dx. 2 Jn    2 Jn

Pierwszy składnik dąży do zera na mocy części 1, zaś drugi - twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej.    □

Dowód stwierdzenia 2. Dowód jest analogiczny, a nawet nieco prostszy niż dowód stwierdzenia 1. Natychmiast mamy us —» u w Li oraz ug ^p^‘ u na podciągu, zatem H(ug — u) ^P-^ 0. Ponadto, z nierówności Jensena,

H(u_s - u) < iH(2us) +    (2u) « \(H(2u))s + \h(2u) ii H(2u).

Podobnie jak poprzednio, możemy wybrać podciąg 6k taki, że H(2u)g_k < u p.w. Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej kończy dowód. By dowieść punkt 2, wystarczy zauważyć, że X7(ug) = (Vu)g i postąpić tak samo jak w punkcie 1.    □