0046

47

§ 2. Twierdzenia o granicach ułatwiające znajdowanie granic

Wówczas mamy oczywiście dla tych samych n

£

k •    • kl < ^M' =^e •

Wynika stąd, że ciąg {x_n-x_n} dąży do zera.

30. Działania arytmetyczne na ciągach. Następujące twierdzenia są ważne w tym sensie, że z ich pomocą w wielu przypadkach przestaje być potrzebny powrót do definicji pojęcia granicy, wyszukiwanie do danego e>0 odpowiedniego wskaźnika N itd. Ułatwia to znacznie znajdowanie granic.

1° Jeżeli ciągi {x„} i {y„} mają granice skończone:

lim x„ = a ,    lim y_n = b ,

to ich suma (różnica) także ma granicę (skończoną), przy czym

lim(x_n±y_n) = a±b .

Z warunków twierdzenia wynika, że (0    x_n=a + a_n,    y„ = b + P„,

gdzie {«„} i {/?„} są ciągami zbieżnymi do zera. Wówczas

x_n±y_n=(a±b)+(a_n±p_n).

Ciąg + jest więc ciągiem zbieżnym do zera na podstawie lematu 1; w takim razie, posługując się drugim określeniem granicy można twierdzić, że ciąg {x_n±y„} ma granicę a±b, czego należało dowieść.

Twierdzenie to i jego dowód przenosi się na przypadek dowolnej skończonej liczby składników.

2° Jeżeli ciągi {x„} i {y„} mają granice skończone

lim x_n = a , lim y„ = b , to ich iloczyn także ma granicę skończoną i

li™x„y_n = ab .

Wychodząc również z równości (1) mamy tym razem

X„ y„ = ab + (afi„ + ba_n + oc„jS„).

Wyrażenie w nawiasach, na podstawie lematów 1 i 2, jest ciągiem zbieżnym do zera. Wynika stąd już, że ciąg {x„y„} ma rzeczywiście granicę ab.

Twierdzenie to można przenieść na przypadek dowolnej skończonej liczby czynników (np. przez indukcję matematyczną).