0050

51

§ 2. Twierdzenia o granicach ułatwiające znajdowanie granic

W celu znalezienia granicy przedstawmy p(n) w postaci:

/ -    */    .    .    . ^a*-» <a\

p(n) = n (ooH---K--H—F3X+-»|.

\ n    n n )

Ponieważ wszystkie wyrazy w nawiasach, poczynając od drugiego, przy n-»oo dążą do zera, więc wyrażenie w nawiasach ma granicę a₀; pierwszy czynnik dąży do + oo. Tak więc całe wyrażenie dąży do + oo lub do —oo, w zależności od znaku a₀.

Przekształcenie wyrażenia (czym się tu posłużyliśmy) często pomaga w znalezieniu granicy.

2) Jeżeli q(n) jest podobnym wielomianem

q(n)=b₀ n^l+b_ln~¹ + ...+b_t-i n+b,,

to iloraz p(n)lq(n) przy n-postaci oo/oo.

Przekształcając i tu każdy z wielomianów, jak w przykładzie 1), otrzymujemy

a,    a_k

>oo przedstawia wyrażenie nieoznaczone

P(n)__t_,	Oo -f-—K. n	..+-t
<?(n)	bx bo H---b.. n	b, "^Ty

Drugi czynnik ma skończoną granicę a₀lb₀. Jeżeli stopnie obu wielomianów są równe: k = l, to tę samą granicę ma iloraz p(n)lq(n) (‘).

Przy k>l pierwszy czynnik dąży do +oo, czyli rozważane wyrażenie dąży do ±oo (zależnie od znaku a₀lb₀). Na koniec przy k<l pierwszy czynnik dąży do zera, a wraz z nim całe wyrażenie.

3) Znaleźć objętość V ostrosłupa trójkątnego SABC (rys. 3).

Dzieląc wysokość H ostrosłupa na n równych części, poprowadźmy przez punkty podziału płaszczyzny równoległe do płaszczyzny podstawy. W przekroju otrzymujemy trójkąty podobne do podstawy. Zbudujmy na nich układ wpisanych i opisanych graniastosłupów: z pierwszych tworzymy bryłę o objętości V„, z drugich bryłę o objętości V'„, przy czym oczywiście

K<V<V'_n.

Ale różnica PJ— V„ jest po prostu objętością dolnego wystającego graniastosłupa o polu podstawy Q równym polu A ABC i wysokości H/n; tak więc różnica

QU

—>o

n

przy wzroście n, a więc tym bardziej dążą do zera różnice V— V„ i V'„—V, tj.

K=lim P„=lim K'.

Znajdziemy teraz wyrażenie na V'„. Mamy tu bryłę, składającą się z szeregu graniastosłupów: z własności przekrojów ostrosłupa wynika, że podstawy tych graniastosłupów są równe:

1    2²

lG, —₂Q,

n    n

-iQ>

n

Q=Q,

0) Tak można było otrzymać granicę J w przykładzie 4) ustępu 25.