Untitled 14

33]

§ 2. Twierdzenia o granicach ułatwiające znajdowanie granic

57

Rzeczywiście, przyjmując w twierdzeniu Stolza

x„ = a₁+a₂ + ... + a_n,    y_n = n,

otrzymujemy

X_n    X_n—X„-1

hm ń„=lim —=l»m-—lim a_n.

y n    y_a—y«~i

Jeżeli np. wiemy (przykład 10), że \/7i~* 1, to również

1+_n/2+^3 + ...+7*

rt

14) Rozważmy teraz przy k naturalnym ciąg

1 -r2 -T... + n

który jest wyrażeniem postaci oo/co.

Podstawiając-w twierdzeniu Stolza

1k k    k    k •+• ?

+ 2 +...Ą-n , y„ = n

15) Na zakończenie wyznaczamy granicę ciągu

U _n yi j

1\    1 k ,    .    k

\ l 4-2 +...+n

k-r l

k +1 ’

otrzymujemy	k
Ale	(n-l)^k + 1=n^+1-(k + l)n+...
czyli	«^k + 1-(n-l)^k + 1=(A: + l)*^k + ...
i (por. 2)	n 1 lim z„=lim---r-- =-- (k + l)n^k-t... k + 1

przedstawiającego w pierwszej wersji wyrażenie nieoznaczone postaci oo-0, a w drugiej — wyrażenie nieoznaczone postaci oo —co. Odejmując ułamki otrzymujemy tym razem symbol nieoznaczony postaci

oo/co:

(& 4-1) (l^k -f 2^k +... + n) — n^{k + 1} (k + l)n^k

Przyjmując równe licznikowi tego ułamka, a za y„ przyjmując mianownik ułamka, stosujemy jeszcze raz twierdzenie Stolza. Otrzymujemy

lim w„=łim

(>t + ł) n^fc— [«^{k + 1}—(« —l)^{fc + 1} ]

(A + ł)ln^k-(«-l)^k]

Ale

// i 1 \    ^ r k + 1    /    <    4* 1,    ^    ^ ^ k — 1 i

(k + l)n —[n    — (n — 1)    ] = —--n +...

oraz