0048

49

§ 2. Twierdzenia o granicach ułatwiające znajdowanie granic

od poszczególnych ciągów {x„} i {y„} i zależnie od tego może mieć przy zmianie ciągów {•*»}> {y_n} różne wartości lub w ogóle nie istnieć. Następujące proste przykłady objaśniają tę uwagę.

Niech np. x„ = l/n², y_n = \/n; obydwa ciągi dążą do zera. Ich iloraz

y« n

także dąży do zera. Jeśli jednak przyjmiemy odwrotnie x„ = \/n, y„ = \jn², to choć są one również zbieżne do zera, to tym razem iloraz x„jy„ dąży do + oo! Biorąc dowolną liczbę a różną od zera i budując dwa ciągi zbieżne do zera x_n = a/n i y„=l/n widzimy, że iloraz tych ciągów ma granicę et (bo jest tożsamościowo równy a).

Jeżeli wreszcie x„=(— l)"⁺¹/n, y„ = l/n (obydwa ciągi są zbieżne do zera), to iloraz

^=(-l)”⁺¹

■kn

nie ma granicy.

Tak więc znajomość tylko granic ciągów {*„} i {y„} w tym przypadku nie pozwala jeszcze wnioskować o granicy ich ilorazu; należy znać same ciągi i bezpośrednio badać iloraz x_n/y_n. Dlatego dla scharakteryzowania tej osobliwości mówimy, że przy x„->0 i y„-»0 wyrażenie xjy_n jest wyrażeniem (symbolem) nieoznaczonym postaci 0/0.

2° W przypadku gdy x„-»±oo i y„->±oo, mamy podobną osobliwość. Nie znając samych ciągów, nie możemy sformułować ogólnego twierdzenia o zachowaniu się ich ilorazu. Ilustrujemy to przykładami podobnymi do przytoczonych w 1°:

2    ^Xn 1

x„ = n-> + co, y„ = n-> + co, —=-->0 ;

y n n

2    ^Xn

x_n = n -> + oo ,    y„ = n-> + oo,    — = n-y + co ;

y n

x„ = an-> + co    /0), y_n = n-» + oo, — = a->a ;

y n

X

x„ = [2 + (—1)"⁺¹] n-» 4- oo ,    y„ = n->- + oo,    — = 2 + ( —1)"⁺¹ nie ma granicy.

Również w tym przypadku mówimy, że wyrażenie x_n/y„ jest wyrażeniem nieoznaczonym postaci oo/oo.

Przejdźmy do rozważenia iloczynu x„y„.

3° Jeżeli x„ dąży do zera, a y„ dąży do ±oo, to badając zachowanie się iloczynu x_ny„ napotykamy na tę samą osobliwość, co w 1° i 2°. O tym świadczą przykłady:

1    1

^x„ = —₂-*0, y_n = n-+ + oo, x_ny_n =--»0 ;

n    n

4 G. M. Fichtenholz