0050

51

§ 2. Twierdzenia o granicach ułatwiające znajdowanie granic

W celu znalezienia granicy przedstawmy p(n) w postaci:

/ - */ . . . ^a*-» .

p(n) = n (ooH---K..H—+

\ n    n n)

Ponieważ wszystkie wyrazy w nawiasach, poczynając od drugiego, przy n-»oo dążą do zera, więc wyrażenie w nawiasach ma granicę a₀; pierwszy czynnik dąży do + oo. Tak więc całe wyrażenie dąży do + oo lub do —oo, w zależności od znaku a₀.

Przekształcenie wyrażenia (czym się tu posłużyliśmy) często pomaga w znalezieniu granicy.

2)    Jeżeli q(n) jest podobnym wielomianem

q(n)=b₀ n^l+b_ln~¹ -r.-.+bt-i n+b,,

to iloraz p(n)!q(ri) przy n-*oo przedstawia wyrażenie nieoznaczone postaci oo/oo.

Przekształcając i tu każdy z wielomianów, jak w przykładzie 1), otrzymujemy

, “i    a_k

a₀-r-—h... H—j-P(n)_ _t_i n__n

q(n)    bi    b,    A

bo H---h. ■ • i—y

n    n

Drugi czynnik ma skończoną granicę a₀jb₀. Jeżeli stopnie obu wielomianów są równe: k = I, to tę samą granicę ma iloraz p(n)lq(n) (‘).

Przy k>l pierwszy czynnik dąży do +oo, czyli rozważane wyrażenie dąży do ±oo (zależnie od znaku a₀lb₀). Na koniec przy k<l pierwszy    ®-y^s- 3

czynnik dąży do zera, a wraz z nim całe wyrażenie.

3)    Znaleźć objętość V ostrosłupa trójkątnego SABC (rys. 3).

Dzieląc wysokość H ostrosłupa na n równych części, poprowadźmy przez punkty podziału płaszczyzny równoległe do płaszczyzny podstawy. W przekroju otrzymujemy trójkąty podobne do podstawy. Zbudujmy na nich układ wpisanych i opisanych graniastosłupów: z pierwszych tworzymy bryłę o objętości V„, z drugich bryłę o objętości V'„, przy czym oczywiście

K<V<V'_n.

Ale różnica PJ— V„ jest po prostu objętością dolnego wystającego graniastosłupa o polu podstawy Q równym polu A ABC i wysokości H/n; tak więc różnica

QU

—>o

n

przy wzroście n, a więc tym bardziej dążą do zera różnice V—V_n i V'„—V, tj.

K=lim P„=lim K'.

Znajdziemy teraz wyrażenie na Mamy tu bryłę, składającą się z szeregu graniastosłupów: z własności przekrojów ostrosłupa wynika, że podstawy tych graniastosłupów są równe:

Q,

2²

Q,

Q=Q,

0) Tak można było otrzymać granicę J w przykładzie 4) ustępu 25.