0056

§ 2. Twierdzenia o granicach ułatwiające znajdowanie granic

57

Rzeczywiście, przyjmując w twierdzeniu Stolza

x„=a₁+a2 + ... + a„,    y„=n,

otrzymujemy

lim o„=lim —=iim-=lima„.

y, ym-y*-i

Jeżeli np. wiemy (przykład 10), że    to również

l+~j2+y/i + ...+yj n

1.

14) Rozważmy teraz przy k naturalnym ciąg

l*+2* + ...+/t*

który jest wyrażeniem postaci oo/oo. Podstawiając w twierdzeniu Stolza

x,—1*+2*+... + /i^ł, yn—n ^ł ,

otrzymujemy

Ale

czyli

i (por. 2)

<„-l)* ^{+ 1}=_n*⁺¹-(* + l)a* + ..., «‘⁺¹-(n-l)‘⁺¹=(*+l)»*+...

** 1

lim z„ —lim

(/r *+■ 1) /i* “ł^- — k + 1

15) Na zakończenie wyznaczamy granicę ciągu

,k , .k

/ i \ r+r+...+n*

u_n — n ( z_n 1=-r--

\ k + lj    n^k

k + 1’

przedstawiającego w pierwszej wersji wyrażenie nieoznaczone postaci oo-0, a w drugiej — wyrażenie nieoznaczone postaci oo —oo. Odejmując ułamki otrzymujemy tym razem symbol nieoznaczony postaci

oo/oo:

(fc + l)(l‘+2‘ + ...+n‘)-«‘ ^{+ 1} U’~    (* + l)«‘

Przyjmując x„ równe licznikowi tego ułamka, a za y, przyjmując mianownik ułamka, stosujemy jeszcze raz twierdzenie Stolza. Otrzymujemy

lim u„=lim -

(k+l)_B‘-{«‘⁺1-(n-l)‘⁺¹]

(*+l)l«‘-(»-!)*]

Ale

(k + l)n^k-[n^k+i-(n-l)^t+l]^^k+y^k n‘^_1+...

oraz

n —(n — 1) =kn +...,