0052

§ 2. Twierdzenia o granicach ułatwiające znajdowanie granic    53

6) Znaleźć granicę ciągu

x,=yjn{y/n + \ -y]n),

przedstawiającego zgodnie z poprzednim przykładem wyrażenie nieoznaczone postaci co-0.

Mnożąc i dzieląc przez sumę pierwiastków y/n+\ +y/ń, przekształcamy dane wyrażenie do wyrażenia nieoznaczonego postaci oo/oo:

_r(y/n + l-y/n)(j n+l+y/n)    yj n

n — V ⁿ---- ~,=

y/n + l+yjn

Następnie dzielimy licznik i mianownik przez y/n:

y/ #1+1 -Ą-yJ K

•¹»=-

/l+₇+l

Oczywiście

. 1 1

1 < /1 -i— < 1 -i—, n n

limx„=j.

czyli wyrażenie z prawej strony dąży do 1, a więc i pierwiastek dąży do 1. Ostatecznie 7) Znaleźć granice ciągów

1

yjn²+n    y/n¹+1

1    1

1

■_______~l---T ... "t--== T ... 1---f .

■y##^a + l    yj i#²+2    yj n² + /    yJn²Ą-n

I + ...+

+ ... + ■

Ciągi x„ i y„ związane są z wyrażeniami nieoznaczonymi postaci oo/oo (ponieważ obydwą pierwiastki są większe niż n, więc dążą do nieskończoności). Przekształcamy ich wyrażenia, dzieląc licznik i mianownik przez »:

1    I

1+i

1

>.=-

1+-

Ponieważ obydwa pierwiastki w mianowniku dążą do 1 (por. poprzedni przykład), to x„->l oraz yn-#l.

Wyrażenie na z„ ma swoistą postać: każdy składnik tej sumy zależy od #i(¹), ale i ich liczba rośnie wraz z #i(^J). Ponieważ każdy składnik jest mniejszy niż składnik pierwszy i większy niż ostatni, więc

yf n +#!    yj n +1

Ale (zgodnie z poprzednim przykładem) ciągi {x„} i {y„} dążą do wspólnej granicy 1; stąd i z twierdzenia 3°, z ustępu 28 wynika, że do 1 dąży również ciąg z„.

1

Nawet dąży do zera (przypisek tłumacza).

(²) Podobną postać miały także wyrażenia na V'„ i Q'_n w przykładach 4) i 5).