4531591931

Dowód stwierdzenia 3. Wykazujemy analog lematu 2 z A zastąpioną przez y, co go nawet nieznacznie upraszcza. Taka sama zamiana w dowodzie stwierdzenia 2 przekształca go w dowód niniejszego.    □

Obecnie możemy zająć się problemem gęstości funkcji gładkich o zwartym nośniku w Lh,m w zbieżności modularnej. Przydatna będzie następująca znana charakteryzacja W^1,1(J2) = W^1,1(fl,R) (patrz [16], rozdział 1.1.3).

Twierdzenie 1. u € W^1,1 (fi) wtedy i tylko wtedy, gdy u G L^l (fi) oraz po modyfikacji na zbiorze miary 0 u jest absolutnie ciągła na prawie każdej prostej równoległej do osi układu współrzędnych i jej pochodne cząstkowe należą do L^l(Q).

Zdefiniujmy obcięcie na wysokości K w następujący sposób. Dla danej funkcji u G W^1,1 (fi) wybierzmy jej reprezentanta takiego jak w tezie powyższego twierdzenia. Niech

{u(x) dla |u(a;)| < K,

K dla u(x) > K,

-K dla u(x) < -K.

Stwierdzenie 4. Jeśli u G W^lłl(fi), to u^K G W^1,1 (fi). Ponadto, Wu^K(x) = 0 p.w. na zbiorze A = {x : u^K(x) G {K, —K}}, zaś Vu^K(x) = Vu(x) dla p.w. x G fi\A

Szkic dowodu. Funkcja u jest bezwzględnie ciągła na p.w. prostych równoległych do osi układu współrzędnych a jej słabe pochodne są równe klasycznym. Wybierzmy prostą l, na której u jest absolutnie ciągła. Na tej prostej u^K różni się od u odcinkami, na których jest stała i równa K lub —K. Jej pochodna p.w. jest na tych odcinkach równa 0. Nie zmienia się natomiast poza nimi. Wnioskujemy więc, że u^K jest bezwzględnie ciągła na l i, rzecz jasna, zachodzi to dla dowolnego l. Zatem Wu^K(x) = 0 p.w. na zbiorze A; poza A jest niezmieniony. To kończy dowód.    □

Uwaga 3. Rozszerzenie powyższego rozumowania na przypadek funkcji u o wartościach wektorowych wydaje się być nietrywialne. Dlatego kolejne stwierdzenie zapiszemy również wyłącznie dla funkcji o wartościach skalarnych.

Stwierdzenie 5. Jeśli u G L#(fi,M) oraz Vu G Lm(fi,R^d), to u^K —> u w modularze w Lh,m(fi,K), gdy K —* oo, czyli u^K u oraz Vu^K —> Vu.

Dowód. Wybierzmy taką stałą A, by j^u G £//(fi) oraz Vu G £jv/(fi). Wówczas dla v^K = \u^K — \u mamy |{a; G D.,v^K(x) ^ 0 i Vv^K(x) ± 0}| o. A ponieważ H{v^K) G L¹(fi) oraz M(Vv^k) G L¹(fi), to dostajemy tezę.    □

Możemy wreszcie sformułować twierdzenia o gęstości funkcji gładkich o zwartym nośniku w sensie zbieżności modularnej. Rozpoczniemy od mocniejszej wersji dla funkcji o wartościach skalarnych, którą poprzedzimy definicją.

Definicja 7. fi - ograniczony podzbiór W¹ ma własność odcinka, jeśli istnieje skończone pokrycie fi zbiorami otwartymi Ui oraz wektory yi takie, że dla x G fi fi Ui i 0 < t < 1 zachodzi x + tyi G fi.

Twierdzenie 2. Niech fi - ograniczony podzbiór o własności odcinka. Wówczas jeśli u G Lh,m{fi,R), to istnieje X > 0 i ciąg Uk G C“(fi, M) taki, że f_n M    d# *z!3? g.

11