5167288134

5. Znaleźć figurę F C R² o jak najmniejszym polu, w której da się obrócić odcinek, tzn. istnieje funkcja ciągła / : [0,1] x [0,1] —» F taka, że /(0,0) = /(1,1) oraz /(0,1) = /(1,0) oraz dla każdych p, q, t G [0,1] zachodzi d(f(p,t),f(q,t)) = |p — q\, gdzie d to metryka euklidesowa w M².

Pierwszy mecz matematyczny:

1.    Kulką będziemy nazywać kulę o promieniu 1. Układ n parami

rozłącznych kulek zawartych w kuli K o promieniu R nazywamy dobrym, gdy nie da się dołożyć do niego kolejnej kulki (rozłącznej i zawartej w K), zaś mega-dobrym, jeśli jest dobry oraz nie istnieje dobry układ o większej liczbie kulek. Dla dwóch mega-dobrych układów X i Y udowodnić, że da się tak ustawić środki kulek z układu X w ciąg A\,A₂,..., A_n, zaś środki kulek z układu Y w ciąg B\,B₂,    , B_n, że dla każdego i G {1,2,..., n}

długość odcinka A{B{ nie przekracza 2.

2.    Znaleźć wszystkie funkcje / : M⁺ —» R⁺ spełniające dla dowolnych x, y G M⁺ tożsamość

f(x + f{y)) = f(x + y) + f(y).

Uwaga: M⁺ oznacza zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

3.    Niech a, 6, c będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi spełniającymi nierówność

21 ab + 2bc + 8ca < 12.

Znaleźć najmniejszą możliwą wartość wyrażenia

1    2    3

- + - +

a    b    c

4.    Dana jest nieparzysta liczba pierwsza p. Udowodnić, że zachodzi kongruencja

p-1

^2 2H^p~² = ^2 i^P~² (^mod p.)

i-1    i=i

5.    W czworościanie ABCD na krawędziach AB, ^4(7, AD, BC, BD, CD wybrano odpowiednio punkty TC, L, M, JV, O, P tak, że są one

13