5167288137

7.    ABCD jest czworokątem wypukłym, w którym prosta AC jest dwusieczną kąta BAD. Punkt E leży na odcinku CD, a F jest przecięciem BE i AC. Odcinek DF przedłużamy do przecięcia z bokiem BC w punkcie G. Wykazać, że Z.GAC = ZE AC.

8.    Dany jest nierozwartokątny trójkąt ABC. Punkt D jest spodkiem wysokości z A, natomiast Ą oraz I2 są odpowiednio środkami okręgów wpisanych w trójkąty ABD i ACD. Prosta I1I2 przecina AB i AC odpowiednio w punktach P i Q. Udowodnić, że AP = AQ wtedy i tylko wtedy, gdy AB = AC lub ZA = 90°.

9.    Dany jest trójkąt ABC. Okrąg o jest styczny do odcinków AB i AC odpowiednio w punktach D i E, różnych od B i C. Ten sam okrąg przecina bok BC w punktach K i L. Odcinki AL i DE przecinają się w punkcie P, a przekątne czworokąta BCED przecinają się w punkcie Q. Dowieść, że punkty P, Q, K są współliniowe.

10.    Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną n > 1, dla której średnia kwadratowa liczb 1, 2,..., n jest liczbą całkowitą.

11.    Dla danego h = 2^r, gdzie r > 0, wyznaczyć wszystkie liczby naturalne k, dla których istnieje m > 1 nieparzyste oraz liczba naturalna n taka, że k\m^h — 1 oraz m\n~~ + 1.

12.    Rozstrzygnąć dla jakich liczb naturalnych a istnieje nieskończenie wiele liczb bezkwadratowych n takich, że n|aⁿ — 1.

Zadania nieco trudniejsze:

1.    Wśród n osób niektóre trójki były razem na imprezie. Dla każdych dwóch różnych osób A i B istnieje dokładnie jedna osoba C taka, że A, B i C byli razem na imprezie. Co więcej, jeśli dla sześciu różnych osób A, B, (7, X, y, Z trójki A, B, X, P, (7, Y oraz (7, A, Z były razem na imprezie, to również X, Y, Z byli razem na imprezie. Znaleźć wszystkie n, dla których taka sytuacja jest możliwa.

2.    Niech punkty D, B, (7, E leżą na jednej prostej w tej właśnie

16