P1050319

152___M. W, Arapow______[8]

i a = f„(p), tj. punkt o jest odciętą przecięcia hiperboli z dwusieczną kąta tworzonego przez osie układu współrzędnych (zob. rys. 1).

Hiperbolę będziemy zastępowali funkcją skokową na prawo i na lewo od punktu a w różny sposób. Przy n < a funkcja maleje szybko, dlatego weźmy szerokość skoku równą jedności, a wysokość równą średniej wartości funkcji w przedziale jednostkowym (jest rzeczą oczywistą, dlaczego powinna to być wartość średnia: chcemy, żeby suma powierzchni skoków była równa powierzchni znajdującej się pod daną częścią hiperboli). Zauważmy przy tym, że stosunek dwóch kolejnych wysokości skoków nie będzie identyczny ze stosunkiem kolejnych liczb całkowitych, lecz z wyjątkiem kilku pierwszych skoków będzie się bardzo mało różnił od niego. W rzeczywistości średnia wartość funkcji f„ na odcinku jednostkowym [n, n - /], n+J ^ a, będzie wynosić

(3)

Przy ;i > a jest rzeczą istotną, żeby skoki miały wysokości równe liczbom całkowitym, podczas gdy błąd związany z zaokrągleniem długości podstu\v\ skoku do liczby całkowitej można pominąć. Pragnęlibyśmy tukimi prostokątami o wysokości równej liczbie całkowitej zastąpić równe im co do wielkości powierzchni figury krzywoliniowe, ograniczone hiperbolą, osią odciętych i liniami prostopadhmi, przebiegającymi w punktach b i b„ takimi że f(b) - f(b,) — l (zob. rys. I),