5167288148

8.    Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt K leży na boku AB, punkt L na boku AC oraz punkty K, O i L są współliniowe. Punkt R jest środkiem odcinka BL, zaś S jest środkiem odcinka CK. Udowodnij, że <ABAC — ASOR.

9.    Dany jest ostrokątny trójkąt ABC, w którym AB ^ AC. Dwusieczna kąta A przecina bok BC w punkcie V, natomiast D jest spodkiem wysokości poprowadzonej z A. Okrąg opisany na trójkącie AVD przecina boki AB i CA odpowiednio w punktach F i E. Dowieść, że proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie.

10.    Szachownicę 2009²⁰⁰⁸ x 2009²⁰⁰⁸ wypełniono liczbami rzeczywistymi o module niewiększym niż 1. Co więcej suma liczb w każdym kwadracie 2x2 jest zerem. Udowodnić, że suma wszystkich liczb na szachownicy nie przekracza 2009²⁰⁰⁸.

11.    Niech C będzie liczbą dodatnią, zaś a\, a,2,... nieskończonym ciągiem liczb dodatnich spełniającym dla każdego i = 1,2,... warunek 0 < a* < C oraz dla każdych liczb 1 < i < j nierówność jE < |a* — aj\. Udowodnić, że C > 1.

12.    Niech P będzie unormowanym wielomianem dziesiątego stopnia o współczynnikach całkowitych. Rozstrzygnąć, czy liczby P(0), P(l), ..., P(100) mogą dawać parami różne reszty przy dzieleniu przez 101.

13.    Wielomian P spełnia dla każdej liczby rzeczywistej x równość

P(x)P(2x²) = P{2x³ + x).

Udowodnić, że jeśli P ma pierwiastek rzeczywisty, to jest tożsamościowo równy zero.

14.    Niech okręgi Oi i 02 przecinają się w punktach A i B. Pewna prosta przechodząca przez B przecina oi i 02 odpowiednio w punktach C i D. Proste styczne do cą w C i 02 w D przecinają się w punkcie M. Proste AM i CD przecinają się w punkcie X. Punkt K jest takim punktem na prostej AC, że proste XK i MC są równoległe. Udowodnić, że prosta KB jest styczna do okręgu 02.