5167288138

kolejności i niech punkt A spełnia równości AB = DB oraz AC = EC. Poprowadźmy dwusieczne kątów AABC oraz AACB i ich przecięcia z okręgiem opisanym na trójkącie ABC oznaczmy odpowiednio przez K i L, zaś ich przecięcia z przeciwległymi bokami trójkąta ABC odpowiednio przez P i Q. Niech O i będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie DBL, zaś O2 środkiem okręgu opisanego na trójkącie ECK. Przez S oznaczmy punkt przecięcia CO\ i -SO2. Udowodnić, że AS _L PQ.

3. Dane jest n liczb rzeczywistych dodatnich X\, X2,..., x_n o iloczynie równym 1. Wykazać, że

E (^xi ~^xif >

ś=1

4.    W każdym punkcie kratowym płaszczyzny, który ma niedodatnią współrzędną x położono jeden pionek. Dozwolone są ruchy polegające na wybraniu pewnej pary pionków stojących na sąsiadujących w pionie lub poziomie punktach A i B i „zbicie” jednym z nich drugiego, tj. zdjęcie pionka z pola A i przestawienie pionka z pola B na taki punkt C, że A jest środkiem odcinka BC (w punkcie (7, na który przestawiamy pionek z punktu B, nie mógł dotychczas stać żaden pionek). Znaleźć największe x, dla którego istnieje skończona sekwencja dozwolonych ruchów, po której pewien pionek znajduje się w punkcie (x, y) (dla pewnego y).

5.    Niech P będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, a n liczbą naturalną. Dla każdej liczby całkowitej dodatniej m liczba P(2^m) jest n-tą potęgą pewnej liczby naturalnej. Dowieść, że wtedy dla pewnego wielomianu Q o współczynnikach całkowitych zachodzi: P{x) = (Q(x))ⁿ.

6.    Niech Si, S2 będą okręgami przecinającymi się w dwóch różnych punktach A i B. Prosta przechodząca przez punkt A przecina okrąg Si w punkcie (7, a okrąg S₂ w punkcie D. Punkty M, N, K leżą odpowiednio na odcinkach CD, BC, BD oraz prosta MN jest równoległa do BD, a prosta MK jest równoległa do BC. Łuki BC okręgu S\ oraz BD okręgu S2 zawierają odpowiednio punkty E i F, przy czym prosta EN jest prostopadła do BC, a prosta FK jest prostopadła do BD. Dowieść, że kąt AEMF jest prosty.

17