5833211637

20    POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ

Seria: Studia i Materiały, nr 10, 2007

rozwiązania zadania optymalizacji całkowitoliczbowej (Bury, Wagner (1999), (2000), (2007), Hwang, Lin (1987), Litvak (1982), Nurmi (1987)).

Przyjęcie założenia o możliwości występowania obiektów równoważnych w ocenie grupowej wyznaczanej na podstawie odległości między uporządkowaniami wiąże się z koniecznością uwzględnienia wszelkich możliwych postaci uporządkowań przyjmowanych jako ocena grupowa. Zadanie to można rozwiązać przeszukując wszystkie możliwe uporządkowania i wybierając to (lub te), które w sensie przyjętej odległości znajduje się (znajdują się) najbliżej zbioru uporządkowań podanych przez ekspertów. Możliwość zastosowania tego podejścia ogranicza liczba uporządkowań, które należy uwzględnić, szybko rosnąca ze wzrostem liczby obiektów.

Dla trzech obiektów mamy 13 możliwych uporządkowań (w tym 6 uporządkowań bez równoważności), dla czterech obiektów - 75 (w tym 24 bez równoważności), dla pięciu - 541 (w tym 120 bez równoważności), dla sześciu obiektów - 4683 (w tym 720 bez równoważności) itd. Racjonalnym podejściem wydaje się zatem próba wyznaczenia oceny grupowej poprzez rozwiązanie odpowiedniego zadania optymalizacji. Zdaniem autorów sformułowanie tego zadania można uprościć stosując zaproponowany przez Armstronga, Cooka i Seiforda (1982) zapis pozycji zajmowanych przez obiekty równoważne w uporządkowaniach oraz posługując się wprowadzonym w pracy Bury, Wagner (2007) pojęciem struktury.

W pracy podjęto próbę sformułowania tego zadania. Podano również przykłady numeryczne.

2. Zapis pozycji zajmowanych przez obiekty i struktury obiektów

Załóżmy, że mamy zbiór obiektów O = {Oi,..., 0„} oraz K ekspertów, których zadaniem jest uporządkowanie zbioru obiektów zgodnie z przyjętym kryterium (zbiorem kryteriów). Eksperci podają swoje opinie w postaci uporządkowań

P^l= Oi .....O, , k=l.....K,    (1)

gdzie obiekt uważany za najlepszy zajmuje pierwszą pozycję a obiekt uważany za najgorszy ostatnią. Zakłada się również, że zarówno w opiniach ekspertów, jak i w ocenie grupowej, na jednej pozycji może znajdować się więcej niż jeden obiekt.

Najczęściej stosowany zapis uporządkowań, w których występują obiekty równoważne ma postać Oj    ,...,Oj J,..., 0₄ , gdzie w nawiasie jest ujęta grupa obiektów równoważnych. Zapis

ten będziemy nazywać tradycyjnym. W dalszych rozważaniach przyjmujemy, że numer pozycji w uporządkowaniu (w zapisie tradycyjnym) jest oznaczony literą j, liczność grupy obiektów równoważnych wynosi r. Przy tym zapisie liczba pozycji, na których są rozmieszczone obiekty nie jest stała; zależy bowiem od liczby grup obiektów równoważnych oraz od liczności każdej z tych grup. W przypadku braku obiektów równoważnych liczba pozycji zajmowanych przez obiekty w ich dowolnym uporządkowaniu jest równa liczbie obiektów n.

Armstrong, Cook i Seiford (1982) (dalej cytowani jako ACS) zaproponowali następujący sposób zapisu uporządkowań, w których występują obiekty równoważne. Przyjmujemy, że grupa obiektów równoważnych o liczności r zajmuje w uporządkowaniu miejsca rozpoczynając od po-zycji j = p. Według propozycji ACS obiekty Oj ,...,Oj umieszczone są na pozycji będącej średnią określoną jak następuje: