Obliczanie współrzędnych na powierzchni
Obliczanie współrzędnych na powierzchni
elipsoidy obrotowej
elipsoidy obrotowej
Problem obliczania współrzędnych geodezyjnych na powierzchni elipsoidy
obrotowej oraz azymutów i długości linii geodezyjnych nosi nazwę
przenoszenia współrzędnych. Wyróżnia się dwa rodzaje problemu: tzw.
zadanie wprost i zadanie odwrotne. Dotyczą one:
1. zadanie wprost: obliczenia współrzędnych geodezyjnych B2, L2
punktu P2 i azymutu (odwrotnego) A21 linii geodezyjnej, gdy znane
są współrzędne geodezyjne B1, L1 punktu P1, długość linii
geodezyjnej s12 oraz azymut (wprost) A12 pod jakim linia geodezyjna
wychodzi z punktu P1
2. zadanie odwrotne: obliczenia długości linii geodezyjnej s12 łączącej
na powierzchni elipsoidy dwa punkty o znanych współrzędnych
P1(B1, L1) i P2(B2, L2) oraz obliczenie azymutów linii geodezyjnej
(wprost i odwrotnego) A12 i A21
Podział metody przeniesienia
Podział metody przeniesienia
współrzędnych
współrzędnych
1. Metody bezpośrednie  polegające na rozwiązaniu trójkąta
elipsoidalnego, którego dwa wierzchołki to początek i koniec linii geodezyjnej a
trzeci to biegun
2. Metody wykorzystujące szeregi potęgowe Legendre a 
polegają na rozwinięciu w szereg różnic "B, "L, "A względem parametru
naturalnego s
3. Metody wykorzystujące punkt pomocniczy  dla niewielkich
odległości ( smukłych trójkątów)
4. Za pomocą cięciw elipsoidy  niekonwencjonalne, trójwymiarowe
podejście do problemu zaproponowane przez Mołodeńskiego
5. Całkowania numerycznego - pewna odmiana metody 2,
z ograniczeniem się zazwyczaj do pierwszego wyrazu rozwinięcia
1
Metody bezpośrednie
Metody bezpośrednie
W metodach bezpośrednich budowano zazwyczaj pomocniczą kulę o
promieniu N1 lub a. Do metod bezpośrednich należą metody Bessela,
Helmerta, Clarke-Robinsa, Levallois-Dupuy....
Metody wykorzystujące szeregi
Metody wykorzystujące szeregi
potęgowe Legendre a
potęgowe Legendre a
Polegają na rozwinięciu w szereg Maclaurina różnic "B, "L i "A
względem parametru naturalnego, czyli długości linii geodezyjnej s.
Powolna zbieżność szeregów limituje ich wykorzystanie do odległości
rzędu 150-200 km. Do podstawowych metod tego typu należ metoda
średniej szerokości Gaussa.
2
�ł �ł
dB 1 d B
�ł �ł
�ł �ł
B2 - B1 = s + s2 +...
�ł �ł
ds
�ł łł1 2 �ł ds2 �ł
�ł łł1
2
�ł �ł
dL 1 d L
�ł �ł
�ł �ł
L2 - L1 = s + s2 +...
�ł �ł
ds
�ł łł1 2 �ł ds2 �ł
�ł łł1
2
�ł �ł
dA 1 d A
�ł �ł
�ł �ł
A2 - A1 = s + s2 +...
�ł �ł
ds
�ł łł1 2 �ł ds2 �ł
�ł łł1
2
Metody wykorzystujące punkt
Metody wykorzystujące punkt
pomocniczy
pomocniczy
Punkt P2 rzutuje się na południk punktu P1 prowadząc przez punkt P2 przekrój
normalny prostopadły do południka punktu P1. Metody stosowane dla małych
odległości (30-60 km; np.. Metoda Clarke a)
Metody za pomocą cięciw elipsoidy
Metody za pomocą cięciw elipsoidy
3
Metoda Clarke a (1)
Metoda Clarke a (1)
1. Obliczamy średni promień
krzywizny w punkcie P1
2. Na sferze o promieniu R1
rozwiązujemy mały trójką
sferyczny P1P2P2 dowolną
metodą  otrzymujemy
długości u i v
2 1
u=s12 cos(A12- �) v=s12 sin(A12- �)
3 3
Metoda Clarke a (2)
Metoda Clarke a (2)
3. Szerokość B2 wyznaczamy na
podstawie znanej już długości u, licząc
wcześniej średni promień krzywizny
południka dla połowy długości u
4. Szerokość B2 wyznaczamy z trójkąta
P2 BP2 z wzoru cosinusowego
v2
2 2
B2-B2= tan B2
2
v2
po wstawieniu średniego promienia krzywizny w punkcie P2
B2-B2= tan B2 .
2 2
2 M2 N2
2 2
u v2
2
B2=B1+ - tan B2
2 2
Mm 2M2 N2
4
Metoda Clarke a (3)
Metoda Clarke a (3)
Metoda Clarke a (4)
Metoda Clarke a (4)
5. W oparciu o trójkąt biegunowy ptb dostajemy wzory na długość
geodezyjną i zbieżność południków w punkcie p2
v 1
L2 = L1 + sec (B2 + �1) .
N2 3
2
2
1
ł = (L2 - L1)sin(B2 + �1)
lub
2
ł=(L2-L1)sin(B2- �1)
3
3
5
Metoda Clarke a (5)
Metoda Clarke a (5)
Azymut odwrotny w punkcie P2 wyniesie:
A21 = A12 ą180o+ ł -�
Metoda średniej szerokości Gaussa (1)
(1)
Metoda średniej szerokości Gaussa
Gauss zaproponował metodę
wykorzystującą szeregi potęgowe
Legendre a przyjmując za punkt
wyjściowy punkt w połowie
długości linii geodezyjnej
B1 + B2 L1 + L2 A1 + A2
Bm `" B , B = , Lm `" L , L = , Am `" A , A = .
2 2 2
6
Metoda średniej szerokości Gaussa (2)
(2)
Metoda średniej szerokości Gaussa
Rozwinięcie różnic B2-Bm i B1-Bm w szereg potęgowy wg koncepcji Gaussa
2 3
�ł �ł �ł �ł
dB s d B s2 �ł d B s3
�ł �ł
(1a)
B2 - Bm = + �ł �ł + �ł +...
�ł �ł
ds
�ł łłm 2 �ł ds2 �ł 8 �ł ds3 �ł 48
�ł łłm �ł łłm
2 3
�ł �ł �ł �ł
dB s d B s2 �ł d B s3
(1b)
B1 - Bm = -�ł �ł + �ł �ł - �ł +...
�ł �ł
ds
�ł łłm 2 �ł ds2 �ł 8 �ł ds3 �ł 48
�ł łłm �ł łłm
Przy założeniu, że parametr s rośnie od punktu P1 do P2 co drugi wyraz w
drugim wzorze jest ujemny. Analogiczne wzory można zapisać dla różnicy
długości geodezyjnych i azymutów.
Metoda średniej szerokości Gaussa (3)
(3)
Metoda średniej szerokości Gaussa
Odejmując stronami równania (1a) i (1b) dostaniemy:
3
�ł �ł
dB d B s3
�ł �ł
�ł śł
B2 - B1 = �" s + +...
�ł śł
ds
�ł łłm �ł ds3 śł 24
�ł łłm
3
�ł �ł
dL d L s3
�ł �ł
(2)
�ł �ł
L2 - L1 = s + +...
�ł �ł
ds
�ł łłm �ł ds3 �ł 24
�ł łłm
3
�ł �ł
dA d A s3
�ł �ł
�ł �ł
A2 - A1 = s + +....
�ł �ł
ds
�ł łłm �ł ds3 �ł 24
�ł łłm
a dodając i dzieląc przez 2 otrzymamy:
2 2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
d B s2 d L s2 d A s2
B - Bm = �ł �ł +..., L - Lm = �ł �ł +..., A - Am = �ł �ł +....
(3)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
ds2 ds2 ds2
�ł łłm 8 �ł łłm 8 �ł łłm 8
7
Metoda średniej szerokości Gaussa (4)
(4)
Metoda średniej szerokości Gaussa
W celu znalezienia wartości pochodnych w punkcie Pm we wzorach
(2) i (3) Gauss zaproponował zastąpienie ich rozwinięciem w szereg
Taylora w otoczeniu punktu P zachowując tylko wyrazy I-go rzędu
dB dB " dB " dB
�ł �ł �ł �ł �ł �ł(B - B) + �ł �ł(A - A) +...
= +
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
m m
ds ds ds dA ds
�ł łłm �ł łłP "B �ł łł �ł łł
dL dL " dL " dL
�ł �ł �ł �ł �ł �ł(B - B) + �ł �ł(A - A) +...
= +
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
m m (4)
ds ds ds dA ds
�ł łłm �ł łłP "B �ł łł �ł łł
dA dA " dA " dA
�ł �ł �ł �ł �ł �ł(B - B) + �ł �ł(A - A) +...
= +
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
m m
ds ds ds dA ds
�ł łłm �ł łłP "B �ł łł �ł łł
Różniczki I-rzędu dB, dL i ds po parametrze naturalnym s wyprowadza
się wykorzystując zależności geometryczne dla podstawowego trójkąta
geodezyjnego i różniczkując równanie Clairauta
Metoda średniej szerokości Gaussa (5)
(5)
Metoda średniej szerokości Gaussa
Różnice Bm-B i Am-A we wzorach (4) wyznaczyć można na podstawie
zależności (3), bowiem są to wielkości małe II-rzędu i zamiast
pochodnych w punkcie Pm wyznaczamy pochodne w punkcie P tzn.
2 2 2
�ł �ł �ł �ł
1 d B 1 d B 1 d B
�ł �ł �ł �ł a"
H"
i analogicznie dla L i A
�ł �ł
8 ds2 �ł 8 ds2 �ł 8 ds2
�ł łłm �ł łłP
Podobnie można podejść do pochodnych wyższych rzędów w punkcie
Pm w wyrażeniach (2) zastępując je pochodnymi w punkcie P, którego
współrzędne są średnią arytmetyczną współrzędnych końców linii
geodezyjnej!!!
8
Metoda średniej szerokości Gaussa (6)
(6)
Metoda średniej szerokości Gaussa
Zachowując we wzorach (2) wyrazy do IV-rzędu włącznie (odrzucając
wyrazy, w których występuje 5-ta potęga s) oraz wprowadzając
oznaczenia:
b=B2-B1 , l=L2-L1 ,
�2=e cos2 B , t=tan B ,
2 2
dostaniemy dla odległości do 200km z dokładnością 0,0001 wzory (2)
w postaci:
s
2
B2 - B1 = V cos A(1+ "$) ,
N
(5a)
1 1 b2
2 2 2
"$ = l2 cos2 B (2 + 3t + 2�2 ) - �2 (1- t + �2 + 4�2t ) ,
2
24 8
V
Metoda średniej szerokości Gaussa (7)
(7)
Metoda średniej szerokości Gaussa
s
L2 - L1 = sin A (1+ "�) ,
N cos B
(5b)
1 1 b2
2
"� = l2 sin2 B - (1+ �2 - 9�2t ) ,
4
24 24
V
A2 - A1 = (L2 - L1) sin B (1+ "ą) ,
(5c)
1 1 b2
2
"ą = V l2 cos2 B + (3 + 8�2 + 5�4 ) .
4
12 24
V
Dla zadania wprost trzeba stosować postępowanie iteracyjne (co
najwyżej 2 kroki iteracyjne), rozpoczynając od współrzędnych
przybliżonych o dokładności co najmniej 5
9
Metoda średniej szerokości Gaussa (8)
(8)
Metoda średniej szerokości Gaussa
Zadanie odwrotne można rozwiązać odwracając zależności (5a,b,c)
(B2 - B1) N ( L2 - L1)N cos B
s = = , (6a)
2
(1+ "�) sin A
V (1+ "Ś) cos A
ńł - L1 1+ "Ś
�ł
L2
2
żł
A = arctan �ł V cos B .
(6b)
B2
ół - B1 1+ "�
�ł
Ze wzoru (6b) otrzymujemy azymut w punkcie P a ze wzoru (5c)
wartość różnicy "A = A2 - A1 i ostatecznie:
1 1
A1 = A - "A, A2 = A + "A.
2 2
Metoda Gaussa była i jest najczęściej stosowana do rozwiązania
zadania odwrotnego !
Metoda średniej szerokości Gaussa (9)
(9)
Metoda średniej szerokości Gaussa
Po dalszych uproszczeniach dla odległości do 30 km wzory robocze dla
zadania odwrotnego mają postać :
�ł 1 1+�2
2 - 9�2t2 �ł
2
�ł
s �"sin A = N �""L �"cos B �"�ł1- �"("L �"cos B)+ �"("B)�ł
4 �ł
24 24V
�ł łł
�ł �ł
"L 1- 2�2 �2(1- t2)�"("B)�ł
2 2
s �"cos A = M �""B �"cos �ł
�ł1- �"("L �"cos B)+ 4 �ł
2 24 8V
�ł łł
�ł 1+�2 3 + 8�2 �ł
2 2
�ł
(A2 - A1) = "A = "L �"sin B �"�ł1+ �"("L �"cos B)+ �"("B)�ł
4 �ł
12 24V
�ł łł
2 2
s = (s �"sin A)+(s �"cos A)
s �"sin A
A = tan-1�ł �ł
�ł �ł
s �"cos A
�ł łł
10
Metoda całkowania numerycznego
Metoda całkowania numerycznego
(algorytm Kivioja) (1)
(1)
(algorytm Kivioja)
Jest to najprostsza metoda i na wskroś współczesna.
Polega na wykorzystaniu równań różniczkowych I-rzędu dla linii
geodezyjnej, a więc założeniu, że dzielimy ortodromę pomiędzy punktami
końcowymi P1 i P2 na n-części ds na tyle małych, aby przyjąć, że z
dokładnością numeryczną trójkąt rozpięty na ds możemy rozwiązać jako
trójkąt płaski.
Metoda całkowania numerycznego (2)
(2)
Metoda całkowania numerycznego
Podstawowe zależności wykorzystywane w metodzie całkowania
numerycznego to:
dB cos A
=
ds M
dL sin A
=
ds N cos B
N�"cos B�"sin A=c=const
dA sin A�"tan B
=
ds N
W przypadku azymutu A=90� lub 180� metoda w klasycznym ujęciu daje
błędny wynik!!! Wprowadzenie wzoru na różniczkę rozwiązuje ten
problem i sprawia, że metoda nie ma  numerycznie miejsc osobliwych .
11
Metoda całkowania numerycznego (3)
(3)
Metoda całkowania numerycznego
(algorytm postępowania  kolejne kroki obliczeń)
(algorytm postępowania  kolejne kroki obliczeń)
1. Ustalamy długość ds=s/n, przy czym ds jeśli chcemy uzyskać
dokładność milimetrową współrzędnych element ds<100-200m (dla
uzyskania centymetrowej dokładność ds<1-2km)
2. Wyznaczamy promienie krzywizny głównych przekrojów normalnych N
i M w punkcie wyjściowym P1
a(1-e2 ) a
Mi= , Ni=
(1-e2 sin2 Bi )3 1-e2 sin2 Bi
3. Obliczamy szerokość w połowie przyrostu ds z zależności:
dsi cos Ai
1
�Bi(1)=
Bm=Bi+ �Bi(1) ,
gdzie
i Mi
2
Metoda całkowania numerycznego (4)
(4)
Metoda całkowania numerycznego
(algorytm postępowania  kolejne kroki obliczeń)
(algorytm postępowania  kolejne kroki obliczeń)
4. Obliczamy promienie N i M dla punktu w połowie ds, a następnie
szerokość punktu i+1 z zależności:
dsi cos Am
i
�Bm = , Bi+1 = Bi +�Bm
m
i i
M
i
dsi sin Am
i
�Lm = , Li+1 = Li +�Lm
m
i i
N cos Bm
i i
dsi sin Am tan Bim
i
�Am = , Ai+1 = Ai +�Am
m
i i
N
i
5. Powtarzamy kroki 1-4 aż do osiągnięci punktu końcowego
n n n
m m m
B2 = B1 + , L2 = L1 + A2 = A1 +
"�B "�L "�A
i i i
i=1 i=1 i=1
12
Metoda całkowania numerycznego (5)
(5)
Metoda całkowania numerycznego
Zadanie odwrotne rozwiązuje się wykorzystując algorytm z zadania
wprost w kolejnych 5 krokach:
1. Przyjmuje się na wstępie przybliżoną długość linii geodezyjnej i
przybliżoną wartość azymutu
2. Wykorzystując algorytm zadania wprost obliczamy współrzędne
punktu końcowego dla przyjętych wartości przybliżonych
3. Obliczamy różnicę pomiędzy współrzędnymi uzyskanymi a
współrzędnymi punktu końcowego
4. Na podstawie różnicy liczymy poprawki do azymutu i długości linii
geodezyjnej i powtarzamy kroki 2 i 3
5. Obliczenia prowadzimy aż do uzyskania zgodności współrzędnych z
żądaną dokładnością (np. 0.00001 )
13