Statystyka Inżynierska
W2: Zmienna losowa dyskretna
dr hab. inż. Katarzyna Filipiak
Instytut Matematyki
Politechnika Poznańska
9.10.2015
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 1 / 29
Zmienna losowa
Zmienn¸ losow¸ X nazywamy funkcj¸ X = X(É)
a a e
okreÅ›lon¸ na przestrzeni zdarzeÅ„ elementarnych &! o
a
wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych R
Niech zmienna losowa dyskretna (skokowa) X przyjmuje
wartości x1,x2,... odpowiednio z prawdopodobieństwami
p1,p2,...; pi = 1.
""
i=1
Rozk ladem prawdopodobieństwa zmiennej losowej
dyskretnej X, nazywamy funkcj¸ przyporz¸ ac¸
e adkowuj¸ a
wartościom zmiennej xi (i = 1,2,...) prawdopodo-
bieÅ„stwa ich przyj¸
ecia:
P(X = xi) = P({É : X(É) = xi}) = pi.
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 2 / 29
Przyk
lad
W pewnym eksperymencie wykorzystano dwa automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobieństwo wykonania poprawnej fotografii dla
każdego aparatu jest takie samo i wynosi p = 0,6. Podaj rozk lad
prawdopodobieÅ„stwa zmiennej losowej oznaczaj¸ licz¸ aparatów,
acej e
które udokumentowa ly przebieg eksperymentu.
X = 0,1,2
P(X = 0) = 0,4 · 0,4 = 0,16
P(X = 1) = 0,6 · 0,4 + 0,4 · 0,6 = 0,48
P(X = 2) = 0,6 · 0,6 = 0,36
rozk lad prawdopodobieństwa:
xi 0 1 2
pi 0,16 0,48 0,36 1
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 3 / 29
Dystrybuanta
Dystrybuant¸ zmiennej losowej X nazywamy funkcj¸
a e
F(X) okreÅ›lon¸ na zbiorze liczb rzeczywistych i
a
przyjmuj¸ a wartoÅ›ci
ac¸
F(x) = P(X < x) = P({É : X(É) < x}).
W lasności:
0 d" F(x) d" 1
F(x) jest niemalej¸
aca
F(x) jest lewostronnie ci¸ lim F(x) = F(x0)
ag la:
-
xx0
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 4 / 29
Dystrybuanta
Dystrybuanta i prawdopodobieństwo  dla dowolnych
liczb rzeczywistych a i b zachodzi:
P(X < a) = F(a)
P(X e" a) = 1 - F(a)
P(a d" X < b) = F(b) - F(a)
Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej:
F(x) = P(X < x) = p(xi) = pi
" "
xiK. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 5 / 29
Przyk
lad
W pewnym eksperymencie wykorzystano trzy automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobieństwo wykonania poprawnej fotografii dla
każdego aparatu jest takie samo i wynosi p = 0,6. Oblicz
prawdopodobieństwo:
(a) nieudokumentowania eksperymentu;
(b) zarejestrowania eksperymentu przez co najmniej dwa aparaty.
rozk lad prawdopodobieństwa:
xi 0 1 2 3
pi 0,064 0,288 0,432 0,216 1
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 6 / 29
Przyk
lad
xi 0 1 2 3
pi 0,064 0,288 0,432 0,216 1
dystrybuanta:
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 dla x d" 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
0,064 dla 0 < x d" 1
òÅ‚
F(x) = 0,064 + 0,288 dla 1 < x d" 2
ôÅ‚
ôÅ‚
0,064 + 0,288 + 0,432 dla 2 < x d" 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
0,064 + 0,288 + 0,432 + 0,216 dla x > 3
P(X < 1) = F(1) = 0,064,
P(X e" 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,352 = 0,648
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 7 / 29
Przyk
lad
xi 0 1 2 3
pi 0,064 0,288 0,432 0,216 1
dystrybuanta:
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 dla x d" 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
0,064 dla 0 < x d" 1
òÅ‚
F(x) = 0,352 dla 1 < x d" 2
ôÅ‚
ôÅ‚
0,784 dla 2 < x d" 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1 dla x > 3
P(X < 1) = F(1) = 0,064,
P(X e" 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,352 = 0,648
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 8 / 29
Wartość oczekiwana
Niech zmienna losowa dyskretna X przyjmuje wartości
x1,x2,...,xn odpowiednio z prawdopodobieństwami
p1,p2,...,pn.
Definicja
WartoÅ›ci¸ oczekiwan¸ zmiennej losowej X nazywamy
a a
liczb¸ oznaczon¸ symbolem E(X) i okreÅ›lon¸ wzorem
e a a
n
E(X) = xipi.
"
i=1
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 9 / 29
Wartość oczekiwana
Niech zmienna losowa dyskretna X przyjmuje wartości
x1,x2,... odpowiednio z prawdopodobieństwami
p1,p2,....
Definicja
WartoÅ›ci¸ oczekiwan¸ zmiennej losowej X nazywamy
a a
liczb¸ oznaczon¸ symbolem E(X) i okreÅ›lon¸ wzorem
e a a
"
E(X) = xipi
"
i=1
o ile nieskończony szereg xipi jest zbieżny.
""
i=1
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 10 / 29
W
lasności E(X)
Niech a,b " R.
E(a) = a
E(bX) = b · E(X)
E(X + a) = E(X) + a
Niech g : D R, gdzie xi " D, i = 1,2,....
Wówczas
"
E[g(X)] = g(xi) · pi.
"
i=1
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 11 / 29
Przyk
lad
W pewnym eksperymencie wykorzystano trzy automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobieństwo wykonania poprawnej fotografii dla
każdego aparatu jest takie samo i wynosi p = 0,6. Oblicz ile średnio
aparatów udokumentuje przebieg eksperymentu.
xi 0 1 2 3
pi 0,064 0,288 0,432 0,216 1
E(X) = 0 · 0,064 + 1 · 0,288 + 2 · 0,432 + 3 · 0,216
= 1,8 H" 2
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 12 / 29
Wariancja
Niech µ = E(X).
Definicja
Wariancj¸ dyskretnej zmiennej losowej X nazywamy
a
liczb¸ oznaczon¸ symbolem D2(X) i okreÅ›lon¸ wzorem
e a a
D2(X) = E[(X - µ)2] = E(X2) - µ2.
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 13 / 29
W
lasności D2(X)
Niech a,b " R.
D2(X) e" 0 (!ZAWSZE!)
D2(X + a) = D2(X)
D2(bX) = b2 · D2(X)
D2(a + bX) = b2 · D2(X)
Definicja
Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X
nazywamy liczb¸ oznaczon¸ symbolem D(X) i okreÅ›lon¸
e a a
wzorem

D(X) = D2(X).
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 14 / 29
Próba Bernoulliego
(a) Każda próba koÅ„czy si¸ jednym z dwóch wyników:
e
sukcesem S lub porażk¸ F.
a
(b) Dla każdej próby prawdopodobieństwa sukcesu
P(S) = p oraz porażki P(F) = q = 1 - p s¸ takie
a
same.
(c) Próby s¸ niezależne  prawdopodobieÅ„stwo sukcesu
a
w jednej próbie nie zależy od wyników uzyskanych w
innych próbach.
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 15 / 29
Rozk
lad zero-jedynkowy ZJ(p)
Zmienna losowa X = 0,1

p dla k = 1
P(X = k) =
1 - p dla k = 0,
p " [0, 1].
Charakterystyki liczbowe:
E(X) = p, D2(X) = p(1 - p) = pq
Rozk lad zero-jedynkowy = rozk lad Bernoulliego
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 16 / 29
Przyk
lad
W pewnym eksperymencie wykorzystano trzy automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobieństwo wykonania poprawnej fotografii dla
każdego aparatu jest takie samo i wynosi p = 0,6. Wyznacz rozk lad
prawdopodobieÅ„stwa zmiennej losowej Y oznaczaj¸
acej
zarejestrowanie lub niezarejestrowanie przebiegu eksperymentu.
Y = 0,1 (0  niezarejestrowanie, 1  zarejestrowanie)
xi 0 1
pi 0,064 0,936 1
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 17 / 29
Rozk
lad równomierny R(x1,xn)
Zmienna losowa X = x1,...,xn
1
P(X = k) = .
n
Charakterystyki liczbowe:
x1 + xn n2 - 1
E(X) = , D2(X) =
2 12
Rozk lad równomierny = discrete uniform distribution
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 18 / 29
Przyk
lad
Eksperyment polega na rzucie kostk¸ do gry. Wyznacz rozk lad
a
prawdopodobieÅ„stwa zmiennej losowej X oznaczaj¸ liczb¸
acej e
wyrzuconych oczek.
X = 1,2,3,4,5,6
xi 1 2 3 4 5 6
pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 19 / 29
Rozk
lad dwumianowy B(n,p)
Zmienna losowa X = 0,1,2,...,n

n
P(X = k) = pkqn-k,
k
q = 1 - p, p " [0, 1].
Charakterystyki liczbowe:
E(X) = np, D2(X) = npq
Rozk lad dwumianowy = binomial distribution
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 20 / 29
Przyk
lad
W pewnym eksperymencie wykorzystano trzy automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobieństwo wykonania poprawnej fotografii dla
każdego aparatu jest takie samo i wynosi p = 0,6. Podaj rozk lad
prawdopodobieÅ„stwa zmiennej losowej oznaczaj¸ licz¸ aparatów,
acej e
które udokumentowa ly przebieg eksperymentu.
X = 0,1,2,3, p = 0,6, q = 1 - p = 0,4
3
P(X = 0) = · 0,60 · 0,43 = 0,064
0
3
P(X = 1) = · 0,61 · 0,42 = 3 · 0,6 · 0,16 = 0,288
1
3
P(X = 2) = · 0,62 · 0,41 = 3 · 0,36 · 0,4 = 0,432
2
3
P(X = 3) = · 0,62 · 0,40 = 0,216
3
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 21 / 29
Rozk
lad geometryczny
Zmienna losowa X = 1,2,... oznacza liczb¸ prób
e
poprzedzaj¸
acych pierwszy sukces
P(X = k) = p · qk-1,
q = 1 - p, p " [0, 1].
Charakterystyki liczbowe:
1 q
E(X) = , D2(X) =
p p2
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 22 / 29
Przyk
lad
W pewnym eksperymencie wykorzystano trzy automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobieństwo wykonania poprawnej fotografii dla
każdego aparatu jest takie samo i wynosi p = 0,6. Eksperyment jest
powtarzany tak d lugo, aż nie zostanie zarejestrowany co najmniej
dwoma aparatami. Jaki jest rozk lad prawdopodobieństwa zmiennej
losowej Y oznaczaj¸ liczb¸ wykonanych eksperymentów do
acej e
pierwszego zarejestrowania eksperymentu co najmniej dwoma
aparatami? Ile przeci¸ eksperymentów należy wykonać?
etnie
Y = 1,2,3,..., p = 0,648, q = 1 - p = 0,352
P(Y = 1) = 0,648 · 0,3520 = 0,648
P(Y = 2) = 0,648 · 0,3521 = 0,228
...
1
E(Y) = = 1,543 H" 2
0,648
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 23 / 29
Rozk
lad Pascala NB(m,p)
Zmienna losowa X = m,m + 1,... oznacza liczb¸ prób
e
poprzedzaj¸
acych m-ty sukces

k - 1
P(X = k) = pm · qk-m,
m - 1
q = 1 - p, p " [0, 1].
Charakterystyki liczbowe:
m mq
E(X) = , D2(X) =
p p2
Rozk lad Pascala  szczególny przypadek rozk ladu
ujemnie dwumianowego (negative binomial distribution )
Rozk lad Pascala NB(1,p) = rozk lad geometryczny
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 24 / 29
Przyk
lad
W pewnym eksperymencie wykorzystano trzy automatyczne aparaty
fotograficzne w celu dokumentowania jego przebiegu. W danych
warunkach prawdopodobieństwo wykonania poprawnej fotografii dla
każdego aparatu jest takie samo i wynosi p = 0,6. Eksperyment jest
powtarzany tak d lugo, aż nie zostanie zarejestrowany co najmniej
dwoma aparatami. Jaki jest rozk lad prawdopodobieństwa zmiennej
losowej Z oznaczaj¸ liczb¸ wykonanych eksperymentów do
acej e
dwukrotnego zarejestrowania eksperymentu co najmniej dwoma
aparatami?
Z = 2,3,..., p = 0,648, q = 1 - p = 0,352
1
2
P(Z = 2) =
1 p q0 = 0,6482 = 0,42
2
2
P(Z = 3) = ·
1 p q1 = 2 · 0,6482 0,352 = 0,296
3
P(Z = 4) = p2q2 = 3 · 0,6482 · 0,3522 = 0,156
1
...
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 25 / 29
Rozk
lad hipergeometryczny H(N,M,n)
Zmienna losowa X = max{0,M - N + n},...,min{M,n}
gdzie:
N - liczba elementów populacji
M  liczba elementów wyróżnionych
n  liczebność próby (losujemy bez zwracania)
M N-M
·
k n-k
P(X = k) = N .
n
Charakterystyki liczbowe:
npq(N - n)
E(X) = np, D2(X) = (p = M/N, q = 1-p)
(N - 1)
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 26 / 29
Przyk
lad
Na egzaminie ze statystyki student losuje trzy pytania.
Egzaminuj¸ przedstawi l do przygotowania 20 pytaÅ„. Student zna
acy
prawid lowe odpowiedzi na 15 podanych pytań. Jaki jest rozk lad
prawdopodobieÅ„stwa zmiennej losowej X oznaczaj¸ liczb¸
acej e
poprawnych odpowiedzi na egzaminie? Jakie jest
prawdopodobieństwo, że student zda egzamin, czyli odpowie co
najmniej na 2 pytania?
N = 20, M = 15, n = 3, X = 0,1,2,3
· ·
(15) (5) (15) (5)
1 5
0 3 1 2
P(X = 0) = = , P(X = 1) = = ,
114 38
(20) (20)
3 3
· ·
(15) (5) (15) (5)
35 91
2 1 3 0
P(X = 2) = = , P(X = 3) = =
76 228
(20) (20)
3 3
49
P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) =
57
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 27 / 29
Rozk
lad Poissona PO( )
Zmienna losowa X = 0,1,2,...
k

P(X = k) = e- ,
k!
 > 0  Å›rednia liczba wyst¸
apień wyróżnionych zdarzeń
Charakterystyki liczbowe:
E(X) =  , D2(X) = 
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 28 / 29
Przyk
lad
Oblicz prawdopodobieństwo, że w serii 1000 wyprodukowanych
elementów znajduje si¸ co najwyżej jeden wybrakowany, jeżeli
e
wiadomo, że przeci¸ procent braków to 0,3.
etny
n = 1000, p = 0,003, E(X) =  = np = 3
30 31
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = e-3 + e-3
0! 1!
= e-3 + 3e-3 = 4e-3 H" 0,199
K. Filipiak (Poznań, Polska) Statystyka Inżynierska 9.10.2015 29 / 29