Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
MODELOWANIE i IDENTYFIKACJA
Sprawozdanie z laboratorium 1
15 III 2012
 Eksperymentalna analiza modalna
Para Paweł
Piecuch Jakub
Pielaszkiewicz Zbigniew
Piróg Arkadiusz
Olchawski Tomasz
AiM, gr. A2, zespół II
1. Cel ćwiczenia
Celem przeprowadzonego ćwiczenia było zapoznanie się z eksperymentalną analizą modalną
poprzez wyznaczenie częstości drgań własnych oraz współczynników tłumienia badanej
konstrukcji (łopatka śmigła) za pomocą modelu ARMA oraz porównanie otrzymanych
wyników z parametrami wyznaczonymi dzięki szybkiej transformacie Fourier a (FFT).
2. Przebieg ćwiczenia
Aby zrealizować zadany cel na zawieszonym swobodnie badanym obiekcie umieszczono trzy
czujniki przyspieszenia podłączone do komputera pomiarowego oraz wzbudnik drgań
wymuszający drgania (o charakterze szumu białego) konstrukcji w zakresie 0  500Hz.
Wykonano trzy różne pomiary dla trzech różnych konfiguracji położenia akcelerometrów.
Przed każdym z pomiarów sprawdzono poprawność zamocowania czujników. Dane zostały
zarejestrowane za pomocą komputera pomiarowego. Poniższy rysunek przedstawia
umiejscowienie czujników podczas ćwiczenia.
3. Opis stanowiska
Stanowisko pomiarowe składa się z zawieszonej swobodnie łopaty ogonowej śmigłowca do
której przymocowano wzbudnik drgań połączony za pomocą wzmacniacza mocy ze
sterującym nim komputerem. W celu rejestrowania odpowiedzi układu do badanego obiektu
przyłączono trzy akcelerometry jednoosiowe PCB połączone ze środowiskiem TestLAB,
pracujÄ…cym na komputerze pomiarowym.
4. FFT przebiegów czasowych
Dla zarejestrowanych przebiegów wyznaczono szybką transformatę Fourier a:
5
Gęstość widmowa mocy
x 10
4
czujnik 1
czujnik 2
3
czujnik 3
2
1
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Częstotliwość [Hz]
4
x 10
5
czujnik 1
4
czujnik 2
czujnik 3
3
2
1
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Częstotliwość [Hz]
5
x 10
4
czujnik 1
czujnik 2
3
czujnik 3
2
1
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Częstotliwość [Hz]
Z powyższych wykresów odczytano częstotliwości drgań własnych:
" f1H"40Hz
" f2H"120Hz
" f3H"220Hz
Pomiar 1
Pomiar 2
Pomiar 3
5. Tabele z częstotliwościami drgań własnych i współczynnikami tłumienia obiektu uzyskanymi
za pomocÄ… modelu ARMA.
Po analizie uzyskanych przebiegów FFT (trzy różne czÄ™stotliwoÅ›ci drgaÅ„ wÅ‚asnych Ér) ,
przyjęto postać modelu ARMA o następujących wartościach opóz
nień: p=6 oraz q=5.
Pozwoliło to na uzyskanie trzech różnych par sprzężonych pierwiastków równania
charakterystycznego, odpowiadających trzem różnym częstotliwościom drgań własnych
układu (oraz trzem różnym współczynnikom tłumienia). Rezultaty otrzymane na podstawie
wzorów zamieszczonych w instrukcji do laboratorium, zweryfikowano przy użyciu
wbudowanej w środowisko MATLAB/SIMULINK funkcji damp (funkcja zwraca współczynniki
tłumienia oraz częstości drgań własnych na podstawie transmitancji obiektu).
Poniżej zamieszczono tabelę otrzymanych wyników (w nawiasie podano wartości obliczone
za pomocÄ… funkcji damp):
Tabela czÄ™stotliwoÅ›ci drgaÅ„ wÅ‚asnych Ér [Hz] (zaokrÄ…glone do części setnych)
czujnik 1 czujnik 2 czujnik 3
239,57 (233,95) 244,71 (238,97) 219,29 (214,14)
pomiar
114,47 (111,78) 114,15 (111,47) 112,71 (110,07)
1
39,93 (38,99) 39,68 (38,74) 39,59 (38,66)
244,71 (238,97) 231,26 (225,84) 221,51 (216,31)
pomiar
114,15 (111,47) 115,56 (112,85) 121,48 (118,63)
2
39,68 (38,74) 39,61 (38,68) 44,84 (43,78)
219,29 (214,14) 223,15 (217,91) 222,62 (217,40)
pomiar
112,71 (110,07) 115,41 (112,70) 119,03 (116,24)
3
39,59 (38,66) - * 47,50 (46,38)
Tabela współczynników tÅ‚umienia ¾r [1/s]
czujnik 1 czujnik 2 czujnik 3
0,0103 (0,0103) 0,0097 (0,0097) 0,0294 (0,0294)
pomiar
0,0089 (0,0089) 0,0078 (0,0078) 0,0149 (0,0149)
1
0,0078 (0,0078) 0,0073 (0,0073) 0,0078 (0,0078)
0,0097 (0,0097) 0,1096 (0,1096) 0,3466 (0,3466)
pomiar
0,0078 (0,0078) 0,0161 (0,0161) 0,0863 (0,0863)
2
0,0073 (0,0073) 0,0117 (0,0117) 0,0109 (0,0109)
0,0294 (0,0294) 0,0258 (0,0258) 0,5082 (0,5082)
pomiar
0,0149 (0,0149) 0,011 (0,011) 0,0691 (0,0691)
3
0,0078 (0,0078) - * 0,0158 (0,0158)
* brak wyniku liczbowego dla drugiego czujnika w trzecim pomiarze spowodowany jest
dwoma pierwiastkami rzeczywistymi (jedna z trzech par), które użyte w algorytmie
przystosowanym do pierwiastków zespolonych dały zespolone wartości parametrów.
Poniżej zamieszczono skrypt pliku wykorzystanego do uzyskania wyników przedstawionych w
punktach 4 i 5:
clc
clear all
P11=load('pomiary\mii_lab_1_11.txt');
P12=load('pomiary\mii_lab_1_12.txt');
P13=load('pomiary\mii_lab_1_13.txt');
P21=load('pomiary\mii_lab_1_21.txt');
P22=load('pomiary\mii_lab_1_22.txt');
P23=load('pomiary\mii_lab_1_23.txt');
P31=load('pomiary\mii_lab_1_31.txt');
P32=load('pomiary\mii_lab_1_32.txt');
P33=load('pomiary\mii_lab_1_33.txt');
p11=[];
p12=[];
p13=[];
p21=[];
p22=[];
p23=[];
p31=[];
p32=[];
p33=[];
for i=1:length(P32(:,1))
p11=[p11;P11(i,:)'];
p12=[p12;P12(i,:)'];
p13=[p13;P13(i,:)'];
p21=[p21;P21(i,:)'];
p22=[p22;P22(i,:)'];
p23=[p23;P23(i,:)'];
p31=[p31;P31(i,:)'];
p32=[p32;P32(i,:)'];
p33=[p33;P33(i,:)'];
end
dt=1/1024;
p=[p11,p12,p13,p21,p22,p23,p31,p32,p33];
Px=[];
O=[];
Odamp=[];
K=[];
Kdamp=[];
for i=1:9
X=fft(p(:,i),(1/dt));
XX=X.*conj(X);
Px=[Px,XX];
M=armax(p(:,i),[6,5]);
pr=polydata(M);
T=tf(M);
[W,D]=damp(T);
W=1000*W/(2*pi);
r=roots(pr);
r11=r(1,1); r12=r(2,1);
wr1=(1/dt)*sqrt(log(r11)*log(r12));
fr1=wr1/(2*pi);
ksi1=-log(r11*r12)/(2*wr1*dt);
r21=r(3,1); r22=r(4,1);
wr2=(1/dt)*sqrt(log(r21)*log(r22));
fr2=wr2/(2*pi);
ksi2=-log(r21*r22)/(2*wr2*dt);
r31=r(5,1); r32=r(6,1);
wr3=(1/dt)*sqrt(log(r31)*log(r32));
fr3=wr3/(2*pi);
 ksi3=-log(r31*r32)/(2*wr3*dt);
O=[O;fr1,fr2,fr3];
Odamp=[Odamp;W'];
K=[K;ksi1,ksi2,ksi3];
Kdamp=[Kdamp;D'];
end
okno1=figure(1);
subplot(3,1,1);
plot(Px((1:500),1),'red');
hold on
grid on
plot(Px((1:500),2),'green');
plot(Px((1:500),3),'blue');
title('Gęstość widmowa mocy','fontsize',16);
legend('czujnik 1','czujnik 2','czujnik 3');
xlabel('Częstotliwość [Hz]');
ylabel('Pomiar 1');
subplot(3,1,2);
plot(Px((1:500),4),'red');
hold on
grid on
plot(Px((1:500),5),'green');
plot(Px((1:500),6),'blue');
legend('czujnik 1','czujnik 2','czujnik 3');
xlabel('Częstotliwość [Hz]');
ylabel('Pomiar 2');
subplot(3,1,3);
plot(Px((1:500),7),'red');
hold on
grid on
plot(Px((1:500),8),'green');
plot(Px((1:500),9),'blue');
legend('czujnik 1','czujnik 2','czujnik 3');
xlabel('Częstotliwość [Hz]');
ylabel('Pomiar 3');
6. Wnioski
Eksperymentalna analiza modalna pozwala wyznaczyć parametry badanego obiektu na
podstawie przebiegu zmiennej wyjściowej. W przeprowadzonym ćwiczeniu zastosowano
model ARMA, dzięki któremu wyznaczono częstotliwości drgań własnych oraz współczynniki
tłumienia badanego obiektu. Weryfikacja otrzymanych wyników dwoma innymi metodami
potwierdza poprawność obliczeń.
Alternatywną metodą wyznaczenia częstotliwości drgań własnych jest szybka transformata
Fourier a, dzięki której wskazać można częstotliwości sygnału, które przenoszą największe
moce. W zarejestrowanym przebiegu widoczne są trzy prążki odpowiadające trzem
częstotliwościom drgań własnych (w tym jednej dominującej). Na podstawie ilości prążków
ustalono rzÄ…d modelu ARMA.
Metoda oparta na szybkiej transformacie Fouriera pozwala na szybsze i Å‚atwiejsze
oszacowanie wartości częstotliwości drgań własnych. Minusem jest jednak to, że nie pozwala
na wyznaczenie współczynnika tłumienia. W obu metodach należy wzbudzić badany obiekt w
takim zakresie częstotliwości wymuszenia, w jakim poszukujemy wyżej wymienionych
parametrów.
Aby otrzymać końcowy wynik uśredniono wartości wyznaczone przy użyciu modelu ARMA:
f1=41,55Hz ¾1=0,11981/s
f2=115,51Hz ¾2=0,02631/s
f3=229,56Hz ¾3=0,00981/s
Podane wyżej pary (częstotliwość drgań własnych  współczynnik tłumienia) spełniają
zależność odwrotnej proporcjonalności.