Wydział WiLiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
Pochodna funkcji
Zad.1 Oblicz pierwszÄ… pochodnÄ… funkcji:
7 3
1 3
3 2
1.1 y = 5x15 - x7 + 3x - 2 1.2 y = x3 - x4 + 3x + 7
3 2
" "
"
4 5
2 5 5 3
3
" "
1.3 y = 3 x - x3 + x3 1.4 y = - x3 +
7
3 x 6 2 x
"
6
2 3x-4· x5
" "
1.5 y = 1.6 y =
x3· x x· x

" "
8x3
1.7 y = 4x2 - 2x x · ( 2x + x ) 1.8 y =
x3 + x - 1
"

1+ x
1
"
1.9 y = x2 + 9 · x + 1.10 y =
x 1+2 x
4 "
1
1.11 y = + 4 1.12 y = x2 + 4
x

x2 x2-3x+2
"
1.13 y = 1.14 y =
3
x2-7x+12
x3+1
x
1.15 y = 2x + sin 2x 1.16 y =
sin x+cos x
1 2 1 7
1.17 y = 4 cos5 x 1.18 y = sin3 x - cos5 x + tg x
4 3 5 7
"
4 3 cos x
1.19 y = ctg x 1.20 y =
sin3 x

"
x sin x
3
1.21 y = tg 2x - x2 · ( sin x + x - 2 ) 1.22 y =
1+tg x




"
1
1.23 y = sin x + x + 2 x 1.24 y = 1 + tg x +
x
"
2
1.25 y = cos3 2x · sin2 3x 1.26 y = x + 1 + x2 · tg 4x
2
1.27 y = e3x + 5x + 2x 1.28 y = ecos x

1.29 y = 3x · x3 1.30 y = 10x2 - 1 e-x

1 Ä„ x
1.31 y = ln 10x 1.32 y = ln tg +
5 4 2
" "
2
tg x
1.33 y = ln x + 1 + x2 + 1.34 y = ln e2x + 1 + e4x + cos2 x
2
1.35 y = ln ( ln ( ln x ) ) 1.36 y = logx ( ln x )
"
x2+1
1.37 y = logx(sin x) 1.38 y = log2(x2 + 1) + e
"
x
1.39 y = arctg 1.40 y = arcsin 1 - 4x
2
"
x
1+x
1.41 y = arctg 1.42 y = arccos
1-x 2
"
"
x
x
1.43 y = x arctg - ln(x2 + 4) 1.44 y = 4x - x2 + 4 arcsin
2 2

1-arcsin x 1+x
1.45 y = 1.46 y = arctg x + ln
1+arcsin x 1-x
1.47 y = x5x 1.48 y = (sin x)cos x
"
x
1.49 y = (cos x)arctg x 1.50 y = (x2 + 3)
"
x
1
2
1.51 y = sin ( xtg x ) 1.52 y = (1 + )arcsin + Ä„
x
Zad.2 Oblicz drugÄ… pochodnÄ… funkcji:
2.1 y = arctg 2x 2.2 y = ln(1 + x2)
"
3
2.3 y = x esin x 2.4 y = ( arcsin x )2 + ln 1 + x2
Zad.3 Oblicz trzeciÄ… pochodnÄ… funkcji:
1+x
3.1 y = sin(1 - 3x) 3.2 y =
1-x
Zad.4 Oblicz wartość pochodnej rzędu n funkcji f(x) w punkcie x0:
ex ln x
4.1 f(x) = n = 1, x0 = 1 4.2 f(x) = n = 1, x0 = e
x+1 x
x+2
4.3 f(x) = 4x · arctg x n = 1, x0 = 0 4.4 f(x) = n = 2, x0 = 2
x2-3x
"
Ä„
4.5 f(x) = ln x + x2 + 1 n = 2, x0 = 0 4.6 f(x) = sin x · cos x n = 3, x0 =
2
1
Zad.5 Sprawdz
czy funkcja y = x e- x
spełnia równanie:
x3 y - x y + y = 0.
Zad.6 Rozwiąż równanie f (x) = -2 , jeżeli f(x) = sin2 4x .
Zad.7 Rozwiąż nierówność f (x) > f (x) , jeżeli f(x) = x3 + 9x .


x+1
Zad.8 Oblicz lim x2 · f (x) , jeżeli f(x) = .
x-1
x"
Zad.9 Zbadaj różniczkowalność funkcji:
1
9.1 f(x) = sgn x 9.2 f(x) = ( |x| + |x - 2| )
2

3
9.3 f(x) = | x2 - x - 6 | 9.4 f(x) = (x - 1)2
Å„Å‚
òÅ‚
-x x 0
9.5 f(x) = ln |x| 9.6 f(x) =
ół
x2 x > 0
Zad.10 Znajdz
te wartości parametrów a i b, dla których funkcja f(x) jest różniczkowalna:
Å„Å‚ Å„Å‚
òÅ‚ òÅ‚
x2 x 3 a ex + b x 0
10.1 f(x) = 10.2 f(x) =
ół ół
ax + b x > 3 2 - x x > 0
Zad.11 Napisz równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
ln x 1-x
11.1 f(x) = , (e, f(e)) 11.2 f(x) = arctg , (1, f(1))
x 1+x
11.3 f(x) = ( ln x )x + 1, (e, f(e)) 11.4 f(x) = xsin x + 1, (1, f(1))
Zad.12 Na wykresie funkcji y = ex znajdz
punkt, w którym styczna jest równoległa do prostej x - y + 7 = 0 .
Napisz równanie tej stycznej.
1
Zad.13 Na wykresie funkcji y = znajdz
punkty, w których styczna jest równoległa do osi ox.
1+x2
Napisz równania tych stycznych.
1+x2 1
Zad.14 Wykaż, że styczne do krzywej y = w punktach przecięcia tej krzywej z prostą y = przecinają się
3+x2 2
1
w punkcie (0, ).
4
x-8
Zad.15 W jakim punkcie styczna do linii y = tworzy z osią ox kąt równy połowie kąta prostego?
x+1
Zad.16 Pod jakim kÄ…tem przecinajÄ… siÄ™ krzywe y = sin x i y = cos x ?