6700449610

Zadanie 5.67. Niech f, g: IR -> IR, f(t) = t + 3, g(t) = t², dla t 6 IR. Wyznaczyć: g(f(x)), f(g(x) + 1), s(gM), sflf(* + 3)), f (g(f(x))), f(3 -g[f(*⁴) + (g(x))²]), 6 ■ (g(x²) + 2), ₉(x-y), f(xy)

Zadanie 5.68. Zbadać parzystość i okresowość następujących funkcji f: IR —> IR:

(a)	f(x) =	\/|sinx|,	(f)	f(x) =	= sinx + sin(
(b)	f(x) =		(g)	f(x) =	= cos(cosx),
(c)	f(x) =	sin x-cos x,	(b)	f(x) =	= sin(x^2),
(d)	f(x) =	sin2x + 2sinx,	0)	f(x) =	= [3x + 2],
(e)	f(x) =	sin 2x + cos 3x,	0)	f(x) =	= (tx]-x)^2.

Zadanie 5.69. Zbadać różnowartościowość i monotoniczność funkcji f: 2) —> IR, gdy

(a)    2) = (0,1), (0, oo), (—oo,0], IR, f(x) = 3x-4,x²,x³ + 1, ^,2* -4;

(b)    2) = (0,5), (—1,5), (—oo, 5) \{0}, IR \{0}, f(x) = £,*±1;

(c)    2) = (l,2],(l,oo),(0,oo),(-l,_OO),IR\{0},f(x) = |^⁺+¹’₎

(d)    2) = [2,5], (1,00), [-§, £), f(x) = 3* - 3^-x,

(e)    2) = (1,3], (1,00), (0,1], (0,00), f(x) = v^/2x + 3, v^2x² - 3x + 1;

(f) 2) = (0,1), (—1,1], f(x) = arcsinx²,arcsinx², arccos (^y) , ^s    1 sin(tanx), tanx + sinx;

(g)    2) = (0,1], (-1,1),[0,00),IR,

f(x) = arctan(x+ 17),sinx • arctanx,arctan ^, ** ₂ j ,arctan (ln(x² + 1));

(h)    2) = (0,1),(0,00), f(x) =log₅(2x+ 19),log₇(x^l4),ln(x² + 6x + 5),arctan(log₂x),log₂x +

•og₃(x²), log₂ x • log₃(x + 1),log,, (|log₅(|log₂ x| + 1 )| + 3).

5.1 Własności przeciwobrazu i obrazu Zadanie 5.70. Udowodnić, że jeśli f: X —» Y, A, B C X, to

(a) f(A U B) = f(A) U f(B),    (b) f(A n B) c f(A) n f(B),    (c) f(A \ B) D f(A) \ f(B).

Podać na przykładach, że inkluzji nie można zastąpić równością.

Zadanie 5.71. Udowodnić, że jeśli f:X-tY,AcX oraz Bi, B2 C Y, to

(a)    f-'(Bi nB₂) =f-^,(B₁)nf-^,(B₂)_I

(b)    f-'(B,\B₂) =f-^,(B,)\f-'(B₂),

(c)    A C f (f(A)).

Zadanie 5.72. Pokazać, że f: X —> Y jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A C X mamy, że A = f^-1 (f(A)).

Zadanie 5.73. Pokazać, że f: X —» Y jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych A, B c X mamy, że f(A \ B) = f(A) \ f(B).