067

67

3.2. Centralne twierdzenia graniczne

gdzie reszta R^{t) spełnia warunek R^(t)/t² —* O dla t —» 0. Ze wzoru (3.2.2) otrzymujemy

<p_z„w = (i-

n

oraz

—»oo

lim nR₃(t²/n) = 0.

Podstawiając w = t²/2n + RJt/y/n) otrzymujemy

\nę_Zft(t) = nln(l — u) ~n t²/2n-\-R₃ = -t²/2 + w/?₃(r/v^/n),

skąd

lim ln©₇ (t) — —t² i2,

rt—>oo    ^r x *    ¹

czyli

lim (p₇ (f)

Przyjmując w twierdzeniu 3.2.1 Pr(X. = 1) = p i Pr(X_i = 0) = 4 dla p 4* = 1, otrzymujemy następujące twierdzenia.

Twierdzenie 3.2.2. (Moivre^ya-Laplace'a)

Niech Pr(7,j = fc) = 6(/r,/:,/?), czyli Y_n ma rozkład dwumianowy z parametrami nip. Wtedy

lim Pr

Yn ~ np

\/npą

<x

(3.2.3)

Asymptotyczna Własność wyrażoną w twierdzeniu 3.2.2 można interpretować tak, że wy-normalność standaryzowana zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym

y ₌ ^Yn~ⁿP ^/npq

ma rozkład w przybliżeniu normalny N(0,1) dla dużych n albo że Y_n ma w przybliżeniu rozkład normalny N(np, yjripą). Mówimy też, że Y_n ma rozkład asymptotycznie normalny z parametrami np i yjnpą. Dokładność takiego przybliżenia podaje następujący wzór:

sup

x€R

Pr

Y_n ~ np

\fnpą