055

55

3.2. Centralne twierdzenie graniczne

3.2. Centralne twierdzenie graniczne

Przykłady

Przykład 3.2.1.

Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi 0.517. Jakie jest prawdopodobieństwo, ie wśród n = 10000 noworodków, liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewczynek? To samo obliczyć dla n = 50.

Rozwiązanie.

Niech

1 gdy urodzi się chłopiec,

0 gdy urodzi się dziewczynka,

,i=i

gdzie i = 1,2,..., n. Szukamy Pr Laplace’a otrzymujemy

Korzystając z twierdzenia Moivre’a-

Pr

_=Pr

I    ² /    v y/w s/npq

2 ~npq

<t>

l~npq

y/npq

gdzie p = 0.517, q = 1 — p = 0.483.

Dla n = 10000 mamy

(10000 \

E ^xi < 5000J « ^>(-3.402) = 1 - 4»(3.402) = 0.0003. Dla n = 50 mamy

<25

<t>(—0.24) = 0.4052.

Jak widać z powyższych obliczeń, fakt że p = 0.517 (a nie jak często się zakłada, że p = 0.5), ma zasadnicze znaczenie w populacjach dużych, a ma mniejsze znaczenie w populacjach małych.

Przykład 3.2.2.

Ile jednakowych i niezależnych doświadczeń należy dokonać, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 można było stwierdzić, że częstość interesującego nas zdarzenia będzie odchylać się od prawdopodobieństwa pojawienia się tego zdarzenia równego 0.4 nie więcej niż o 0.1?