8857686417

□

Więcej własności można znaleźć w pracach [162], [119] i [130].

2.3.2 Definicja Caputo

Praktyczne użycie definicji Riemanna-Liouville’a pociąga za sobą problemy z interpretacją warunków początkowych, określonych pochodnymi ułamkowego rzędu (patrz str. 78 [162]). O ile problem ten jest matematycznie rozwiązywalny, o tyle interpretacja fizyczna pochodnych ułamkowego rzędu jest już bardziej skomplikowana. Pewnym rozwiązaniem tego problemu jest definicja Caputo, wprowadzona w pracach [26] i [27]. Ma ona następującą postać:

Definicja 5 [162](Caputo) Różniczkocałka ułamkowego rzędu ma postać:

°^D°^m = F(^o i (t-T^-~^{dT gdzie} ("-Koo*)

Przekształcenie Laplace’a różniczko-całki wg tej definicji jest następujące:

C [₀D"/(x)] = s^aF(s) - J2 s^a-^k~^lfW (0) (n - 1 < a < n)    (2.7)

k=0

Jak można zauważyć, warunki początkowe, otrzymane przy przekształceniu Laplace’a wg tej definicji, są zdefiniowane jako pochodne całkowitego rzędu. Pochodne te mają znacznie pełniejsze fizyczne znaczenie niż pochodne ułamkowego rzędu, dlatego definicja ta ma większe znaczenie praktyczne.

Inną różnicą pomiędzy definicjami Caputo i R-L jest ich wynik różniczkowania funkcji stałej. Korzystając z definicji Caputo, dla a > 0 otrzymujemy wynik zero, natomiast korzystając z definicji R-L, zero otrzymujemy tylko dla całkowitych rzędów. Dla rzędów niecałkowitych i skończonej dolnej granicy a pochodna ta istnieje i ma postać:

o D?C =

Ct^a

r(l-a)

Dla granicy dolnej równej a = —oo obydwie definicje Caputo i R-L są równoważne [162, str. 80].

Twierdzenie 2 [ 162] Operator „ Df jest operatorem liniowym, spełnia więc następującą zależność:

20