Ćwiczenie 13. Współczynnik lepkości
Małgorzata Nowina-Konopka,Andrzej Zięba
Cel ćwiczenia
Zapoznanie się z własnościami cieczy lepkiej, wyznaczenie współczynnika lepkości
metodÄ… spadania kulki (metodÄ… Stokesa).
Wprowadzenie
Przy przepływie wszystkich cieczy rzeczywistych ujawniają się większe lub mniejsze
siły tarcia. W przeciwieństwie do ruchu ciał stałych, w którym tarcie występuje tylko
na powierzchni, w cieczach i w gazach ujawnia się ono w całej objętości. Jest więc
zwane tarciem wewnętrznym lub lepkością.
Przypuśćmy, że mamy dwie płaskie płytki o powierzchni S, a pomiędzy nimi ciecz,
tak jak to przedstawiono na rysunku Rys.1. Jeżeli jedna z płytek będzie się poruszać
względem drugiej z niewielką prędkością v, to siła potrzebna do podtrzymania ruchu
będzie proporcjonalna do powierzchni S i prędkości v, a odwrotnie proporcjonalna do
odległości płytek d
Sv
F = · . (13.1)
d
StaÅ‚Ä… · nazywamy współczynnikiem lepkoÅ›ci. JednostkÄ… · w ukÅ‚adzie SI jest [Pa·s].
Rys. 1. Rysunek pomocniczy do definicji współczynnika lepkości
Zjawisko lepkości wykazują wszystkie ciecze i gazy. (Jednym dość szczególnym wy-
jątkiem jest ciekły hel, który w temperaturach bliskich zera bezwzględnego wykazuje
zjawisko nadciekłości czyli zupełne zniknięcie lepkości.) Lepkość zależy w dużym stop-
niu od temperatury. Dla gazów rośnie proporcjonalnie do temperatury bezwzględnej.
Dla cieczy zmniejsza się znacznie ze wzrostem temperatury. Bardzo silną zależność
temperaturową obserwuje się dla cieczy o dużej lepkości jak np. dla gliceryny (patrz
dane w tabeli 1) czy dla olejów silnikowych.
13-1
Tabela 1:
Wybrane wartości współczynnika lepkości
Rodzaj cieczy · [Pa · s]
powietrze 18, 5 · 10-6
eter etylowy 0,00012
woda (20ć%C) 0,00100
gliceryna (0ć%C) 135
gliceryna (20ć%C) 1,945
gliceryna (30ć%C) 0,629
gliceryna(20ć%C, 2 % wody) 0,971
olej z oliwek 0,084
Spadanie kuli w cieczy lepkiej w zakresie opływu laminarnego
Lepkość płynów (cieczy i gazów) jest odpowiedzialna za występowanie oporów
ruchu ciała poruszającego się w płynie. Trajektorie cząstek cieczy wokół poruszającej
siÄ™ kuli przedstawia rysunek Rys. 2.
Rys. 2. Spadanie kulki w cieczy lepkiej
Jest to przykład opływu laminarnego, występującego przy małych prędkościach,
kiedy ciecz opływająca kulę nie tworzy jeszcze żadnych wirów czy turbulencji. W
analogii do równania (13.1) siła oporu lepkiego działającego na dowolny przedmiot w
zakresie opływu laminarnego jest proporcjonalna do współczynnika lepkości i prędko-
ści kuli. Siłę oporu ruchu działającą ze strony cieczy na poruszającą się w niej kulkę
13-2
wyraża wzór Stokesa"
F = 6Ä„·rv, (13.2)
gdzie:
v  prędkość kulki,
r  promień kulki.
Wzór ten jest słuszny, gdy kulka porusza się w nieograniczonej objętości cieczy. W
przypadku, gdy ruch kulki odbywa się wzdłuż osi cylindra o promieniu R wzór (13.3)
przybiera postać

r
F = 6Ä„·rv 1 + 2, 4 . (13.3)
R
Jeśli kulka spada w cieczy pod wpływem grawitacji, działają na nią następujące trzy
siły (rys.2):
1. F = mg  siła ciężkości,
2. Fw = mwg = ÁV g  siÅ‚a wyporu Archimedesa,
gdzie:
Á  gÄ™stość cieczy,
V  objętość kulki,
3. F0 = Kv  siła oporu (siła Stokesa),

r
gdzie K = 6Ä„·r 1 + 2, 4 .
R
Zgodnie z II zasadą dynamiki równanie ruchu kulki ma postać
ma = F - Fw - F0 (13.4)
lub
dv
m = F - Fw - Kv.
dt
Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu ze względu na prędkość v.
Jeżeli w chwili początkowej t = 0 prędkość v = v0, to po scałkowaniu dostajemy
zależność prędkości od czasu w postaci

t
v(t) = vgr + (v0 - vgr) exp , (13.5)
Ä
gdzie wielkość Ä = m/K nazywamy staÅ‚Ä… czasowÄ….
Zależność prędkości od czasu dla kulki poruszającej się w cieczy lepkiej przedsta-
wia rysunek Rys.3. Drugi wyraz po prawej stronie wzoru (13.5) maleje eksponencjalnie
z czasem, więc dla dostatecznie dużego t jest on zaniedbywalnie mały.
"
G.G. Stokes (1819-1903), fizyk i matematyk angielski. W kursie matematyki poznajemy twier-
dzenie Stokesa dotyczące całek krzywoliniowych i powierzchniowych.
13-3
Rys. 3. Zależność v(t) dla kulki rozpoczynającej ruch w cieczy lepkiej z prędkością
poczÄ…tkowÄ… v0 = 0
Skutkiem tego ruch kulki po czasie rzÄ™du 3Ä staje siÄ™ jednostajny z prÄ™dkoÅ›ciÄ…
graniczną równą
F - Fw (m - ÁV )g
vgr = = (13.6)
r
K
6Ä„·r(1 + 2, 4 )
R
Pomiar prędkości spadania kulki w cieczy stanowi jedną z metod wyznaczania
współczynnika lepkości cieczy. Droga jaką przebędzie kulka przed osiągnięciem pręd-
koÅ›ci granicznej wynosi okoÅ‚o 3Ävgr. Pomiar prÄ™dkoÅ›ci granicznej wykonać należy na
odcinku drogi (rys.5), na której kulka osiągnęła już ustaloną prędkość. Ze wzoru (13.6)
otrzymujemy
(m - ÁV )g
· = (13.7)
r
6Ä„rvgr(1 + 2, 4 ).
R
Wyznaczenie lepkości metodą Stokesa polega na bezpośrednim pomiarze wszyst-
kich wielkości występujących po prawej stronie wzoru (13.7). Zamiast kul wykonanych
z ciała stałego wykorzystać też można kuliste krople cieczy o większej gęstości, spa-
dajÄ…ce w cieczy badanej.
13-4
Zakres stosowalności wzoru Stokesa
Wzór Stokesa jest słuszny tylko dla przepływów laminarnych. Parametrem, który
decyduje o charakterze opływu cieczy wokół ciała jest liczba Reynoldsa, dana wzorem
ogólnym
vlÁ
Re = , (13.8)
·
gdzie:
Á  gÄ™stość cieczy,
l  wymiar liniowy poruszającego się ciała mierzony w kierunku
prostopadłym do wektora v.
W przypadku kulki przyjmujemy l = 2r.
Jak dotąd nie ma teorii pozwalającej w sposób ścisły opisać odstępstwa od wzoru Sto-
kesa ze wzrostem liczby Reynoldsa. Badania doświadczalne wskazują, że odstępstwa
pojawiają się już dla Re < 1, i narastają w sposób ciągły tak, że nie sposób podać
określoną wartość liczby Reynoldsa, poniżej której wzór Stokesa jest w pełni dokład-
ny. Jest to sytuacja odmienna od przypadku przepływu cieczy przez rurę, kiedy to
ostre przejście od przepływu laminarnego do turbulentnego pojawia się dopiero przy
<"
Re 2000.
=
Ze względu na ograniczony zakres stosowalności wzoru Stokesa, metoda spadania
kulki nadaje siÄ™ do wyznaczania · dla cieczy o stosunkowo dużej lepkoÅ›ci.
Literatura
1. Problem laminarności opływu i inne aspekty zjawiska ruchu kulki w cieczy oma-
wiane są w podręczniku: Wróblewski A.K., Zakrzewski J.A.: Wstęp do fizyki.
Warszawa, PWN 1976.
2. Ogólny opis zjawiska przejścia od przepływu laminarnego do wirowego i turbu-
lentnego oraz teoria liczby Reynoldsa podane są m.in. w podręczniku: Feynman
R.P., Leighton R.B., Sands M.: Feynmana wykłady z fizyki. T. II. Cz. 2. War-
szawa, PWN 1970, 2001.
Aparatura
Rysunek (4) przedstawia cylinder szklany wypełniony cieczą, do którego wrzuca
się kulki. Dwa poziome paski naklejone na cylinder w odległości l od siebie wyzna-
czajÄ… badany odcinek drogi kulek. Górny pasek musi być co najmniej o 3Äv poniżej
powierzchni gliceryny. Odległość pomiędzy paskami mierzy się przymiarem metro-
wym, czas ruchu kulek na tym odcinku  sekundomierzem. Kulki waży się na wadze
analitycznej, a ich promienie mierzy się śrubą mikrometryczną. Wydobycie kulek z
cylindra ułatwia zwolnienie na chwilę zacisku Z na wężu gumowym. Kulki spadają
wtedy do małej probówki założonej na końcu węża, którą po ponownym zaciśnięciu
zacisku można wyjąć, odlać ciecz i wysypać kulki.
13-5
BadanÄ… cieczÄ… jest gliceryna, niepalny zwiÄ…zek orga-
niczny CH2OH - CHOH - CH2OH. Jej lepkość sil-
nie zależy od temperatury i nawet niewielkiego do-
datku wody (por. tabela, zamieszczona na końcu).
Stosowana jest m.in. w płynach chłodniczych i ha-
mulcowych w samochodach jako składnik obniżający
temperaturę krzepnięcia.
Wykonanie ćwiczenia
A. Metoda spadania kulki z materiału stałego.
1. Pomiary wstępne.
a) Dla poszczególnych kulek wykonać pomia-
ry masy przy użyciu wagi torsyjnej lub wa-
gi analitycznej.
b) Zmierzyć średnicę 2r kulek za pomocą śru-
by mikrometrycznej.
c) Zmierzyć wewnętrzną średnicę cylindra
oraz odległość l między znaczkami górnym
i dolnym.
d) Odczytać temperaturę, w jakiej wykony-
wano pomiary.
2. Pomiar prędkości ruchu kulek: wpuszczać po-
jedynczo kulki do cylindra z cieczą (możliwie
blisko osi cylindra) i mierzyć czas w jakim
przebywajÄ… drogÄ™ l.
Opracowanie wyników
1. Określić wartości i niepewności wielkości mie-
rzonych bezpośrednio.
2. Obliczyć wartość współczynnika lepkoÅ›ci ·.
Rys. 4. Pomiar
Obliczenie wykonać osobno dla grup kulek o
współczynnika lepkości
różnych rozmiarach.
metodÄ… Stokesa
3. Obliczyć uc(·) korzystajÄ…c z prawa przenosze-
nia niepewności [z użyciem wzoru (13.7), ale
z pominięciem czynnika poprawkowego (1 +
2, 4r/R)]. Czy wartości współczynnika lepko-
ści uzyskane z pomiaru ruchu kulek o różnych
rozmiarach są różne, czy też równe w grani-
cach błędu?
4. Obliczyć wartości liczby Reynoldsa dla kulek
o różnych rozmiarach.
13-6
B. Metoda spadania kropli (wariant ćwiczenia w Zakładzie Fizyki Ciała Stałego).
Aparatura
Zestaw ćwiczeniowy stanowi cylinder szklany wypełniony olejem parafinowym
umieszczony na statywie. Szklana biureta z podziałką pozwala na precyzyjne do-
zowanie ustalonej ilości wody. Woda, jednostajnie wpadająca do oleju, formuje
się w jednakowe krople o, w przybliżeniu, kulistym kształcie. Czas przelotu kulek
na zaznaczonym paskami odcinku cylindra mierzy siÄ™ stoperem. ÅšrednicÄ™ kulek
określa się mierząc ilość utworzonych kropel ze znanej objętości wody. Gdy ilość
zebranej na dnie cylindra wody jest zbyt duża, należy wodę zlać do zlewki przez
zwolnienie zacisku na dnie cylindra.
Wykonanie ćwiczenia
1. Dla wyznaczenia średniego promienia kulek wody wypływających z biurety
wypuścić 20 cm3 wody licząc liczbę kropel.
2. Dziesięciokrotnie wyznaczyć czas spadania kropel między kreskami zaznaczo-
nymi na cylindrze. Odległość kresek wynosi 25 cm.
Uwaga. Czynności 1 i 2 muszą być przeprowadzone przy tym samym położe-
niu kurka (jednakowa objętość kropel). Koniec biurety musi być zanurzony w
oleju.
3. Pomiar powtórzyć dwukrotnie.
Opracowanie wyników
1. Na podstawie danych z punktu 1 i 2 obliczyć średni promień kropli, średnią
masę kropel, oraz prędkość opadania kropel w oleju, vgr. Ocenić niepewności
pomiaru tych wielkości.
2. Obliczyć wartość i niepewność złożoną współczynnika lepkości z równania (13.7).
Przy obliczeniach można pominąć czynnik poprawkowy (1 + 2, 4r/R). Przyjąć
Å›rednicÄ™ cylindra 2R = 4, 5 cm, oraz gÄ™stość oleju Á = 0, 80 g/cm3.
3. Obliczyć liczbę Reynoldsa.
Dodatek historyczny. Odkrycie anizotropii współczynnika lepkości
Współczynnik lepkości zwykłych cieczy jest skalarem, tj. wielkością bezkierunkową.
Anizotropia współczynnika lepkości występuje w cieczach anizotropowych, jakimi są
ciekłe kryształy.
Anizotropię lepkości ciekłych kryształów odkrył około 1933 roku Marian Mięsowicz
(1907  1992), asystent prof. Jeżewskiego w Katedrze Fizyki ówczesnej Akademii
Górniczej. Pomiary wykonał dla pazyksoanizolu (PAA), którego wydłużone cząsteczki
tworzą w zakresie temperatur od 118ć%C do 135ć%C jeden z najprostszych ciekłych
13-7
kryształów. Współczynnik lepkości wyznaczył z pomiaru tłumienia drgań cienkiej
płytki szklanej zanurzonej w prostopadłościennym naczyniu z ciekłym kryształem
(rys.5). Zastosowany układ stanowił dobre przybliżenie geometrii idealnej (por. rys.4),
jakiej używa się do definicji współczynnika lepkości.
Przy użyciu pola magnetycznego można zorientować osie cząsteczek ciekłego krysz-
tału wzdłuż trzech wzajemnie prostopadłych kierunków (rys.5).
Rys. 5. Schemat doświadczenia Mięsowicza
Dla każdego z nich wartość współczynnika lepkoÅ›ci jest inna. Tak okreÅ›lone ·1, ·2,
·3 noszÄ… dziÅ› nazwÄ™ współczynników lepkoÅ›ci MiÄ™sowicza.
Synteza związków będących ciekłymi kryształami w temperaturze pokojowej umoż-
liwiła wynalazek displejów ciekłokrystalicznych. Elementy te, stosowane w zegarkach,
cyfrowych przyrządach pomiarowych, kalkulatorach i komputerach przenośnych, cha-
rakteryzują się płaską budową i znikomym poborem mocy. Lepkość ciekłych kryszta-
łów pozostaje jednym z czynników ograniczających szybkość działania tych urządzeń.
Po wojnie prof. Mięsowicz prowadził badania promieni kosmicznych, cząstek ele-
mentarnych i zastosowań fizyki jądrowej. Był inicjatorem powstania i długoletnim
dyrektorem Instytutu Fizyki i Techniki JÄ…drowej. Instytut ten, po przeprowadzce do
budynku przy ul. Reymonta 19 i po połączeniu z Zakładem Fizyki Ciała Stałego Wy-
działu Metalurgii, przekształcił się w obecny Wydział Fizyki i Techniki Jądrowej.
Na następnej stronie zamieszczamy tabelę, ilustrującą zależność współczynnika lep-
kości gliceryny od zawartości frakcji wodnej.
13-8
Zawartość Gęstość (25ć%) Współczynnik
gliceryny [%] [kg/m3] lepkości [mPa s]
20ć% C 25ć% C 30ć% C
100 1262 1495 942 622
99 1259 1194 772 509
98 1257 971 627 423
97 1254 802 522 353
96 1252 659 434 296
95 1249 544 365 248
80 1209 61,8 45,7 34,8
50 1127 6,03 5,02 4,23
25 1061 2,09 1,8 1,59
10 1024 1,31 1,15 1,02
0 997 1 0,89 0,80
13-9