984501243

19

4. WIELOMIANY

Istotnie, jeśli a\bⁿ⁺¹c, to a\b(bⁿć). Zatem a|óⁿc, a więc na mocy założenia indukcyjnego, a|c.

Przypomnijmy, że liczbę naturalną n > 1 nazywamy liczbą pierwszą, jeśli jedynymi liczbami naturalnymi przez które daje się ona podzielić jest 1 i ona sama. Najmniejszą liczbą pierwszą jest oczywiście 2. Jest to jedyna liczba pierwsza wśród liczb parzystych, ale oczywiście nie każda liczba nieparzysta jest liczbą pierwszą. Przykładem jest 9. Zauważmy także, że każde dwie różne liczby pierwsze są względnie pierwsze. Okazuje się, że każda liczba naturalna większa od 1 jest iloczynem pewnej ilości liczb pierwszych, tzn. zachodzi twierdzenie:

Twierdzenie 4.3. Jeśli liczba naturalna a > 1 nie jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba naturalna k oraz liczby pierwsze pi,P2, ■ ■ ■ ,Pk takie, że

a = Pi-P2.....Pk-

Istotnie, gdyby to twierdzenie nie było prawdziwe, to zgodnie z Zasadą Minimum, istniałaby najmniejsza liczba naturalna ao > 1, która nie jest liczbą pierwszą, a mimo to nie jest iloczynem liczb pierwszych. Wówczas jednak oq — b • c, przy czym 1 < b < a_Q, \ < c < Oq. Wobec tego każda spośród liczb b jak i c jest liczbą pierwszą lub jest iloczynami liczb pierwszych. W konsekwencji również a₀ jest iloczynem liczb pierwszych. To daje sprzeczność.

Z tego twierdzenia wynika w szczególności, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Mówi o tym następujące twierdzenie, które wykorzystamy później.

Twierdzenie 4.4. Dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba pierwsza od niej większa.

Przypuśćmy, że tak nie jest. Wówczas zbiór P wszystkich liczb pierwszych jest skończony i możemy zapisać go w postaci

P = {Pl,P2,- -,Pn}-

Z poprzedniego twierdzenia wynika, że liczba

P = Pi-P2.....Pn + 1

jest także pierwsza. Istotnie w przeciwnym wypadku mamy P = Qi • 92.....qk,

przy czym ą* € P dla każdego i = 1,2,... ,k. W szczególności qĄp dla każdego i = 1,2,... ,k. Zatem każda z liczb ą, dzieli różnicę

P~Pi-P2.....Pn = 1,

co nie jest możliwe. To dowodzi, że p jest liczbą pierwszą. Z drugiej strony p jest większe od każdej liczby ze zbioru P, co daje sprzeczność.

Przypomnijmy, że wielomianem o współczynnikach rzeczywistych nazywamy wyrażenie

ao + a\X Ą-----1- a_nxⁿ,