2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
2. POMIAR TEMPERATURY I BADANIE ELEKTRYCZNYCH
CZUJNIKÓW TERMOMETRYCZNYCH
2.1. WPROWADZENIE
2.1.1. Temperatura ciała i skala temperatur
Temperatura ciała jest wielkością określającą jego stan cieplny, który jest efektem
różnych nieuporządkowanych procesów uzyskiwania i wzajemnego przekazywania przez
cząstki ciała energii kinetycznej. Im wyższa jest temperatura ciała T tym wyższa jest jego
energia wewnętrzna (średnia energii kinetyczna cząstek) i entropia s [1] (stopień chaosu
wewnętrznego układu energetycznego ciała). Entropia ciała s zależy od jego temperatury T
i wszystkich fizycznych cech zależnych od temperatury dalej nazywanymi parametrami
termicznymi ciała XT ; s =� f T, X . W efekcie zmiany stanu cieplnego ciała (ciepła Q)
(� )�
T
d Q
zmienia się jego entropia: D� s =� . Ogólny przebieg zależności entropii ciała s od jego
��
T
temperatury T i wybranych parametrów termicznych (XT1, XT2) przedstawiono na rys.2.1.
Z zależności pokazanej na
s
XT1
rys.2.1.wynikają wnioski:
A
�� ze wzrostem temperatury T ciała
rośnie jego entropia s ,
XT2
�� zmniejszenie entropii ciała s
(porządkowanie jego wewnętrznego
układu energetycznego) może
przebiegać izotermicznie (TA = TB)
C
B
poprzez zmianę jego parametrów
termicznych (XT1 �� XT2),
�� temperatura ciała może zmieniać
się (TB �� TC) w wyniku zmian
TC
0 TA,B T
jego parametrów termicznych (XT1
Rys.2.1. Zależność entropii ciała s od jego
�� XT2) przy niezmiennej jego
temperatury T i parametrów termicznych XT.
entropii (s = const.),
�� temperatura ciała może być równa
zeru (T = 0) tylko wtedy, gdy jego wewnętrzny układ energetyczny jest całkowicie
uporządkowany (s = 0). Wynika stąd, że w temperaturze  zera absolutnego (T = 0)
zanika ruch całkowicie ruch cząstek ciała,
�� uzyskanie temperatury  zera absolutnego w praktyce jest niemożliwe gdyż jak to
wynika z przebiegów na rys.1.1 nie można tego dokonać w skończonej liczbie zmian
parametrów XT (przejścia: A�� B �� C �� ... ).
Wzrost temperatury ciała powoduje nieuporządkowany wzrost prędkości ruchu jego
cząstek oraz skrócenie średniej drogi ich swobodnego ruchu. Wzrost energii kinetycznej
cząstek ciała powoduje zmianę ich wzajemnych oddziaływań skutkiem czego jest zmiana
właściwości fizycznych ciała takich jak rozszerzalność, przewodność elektryczna,
przenikalność magnetyczna, siła termoelektryczna itp. Temperatura ciała może być
określana poprzez pomiar jego parametru termicznego (na przykład XT1 jak na rys.2.1).
21
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
W procesie pomiaru temperatury obiektu mamy do czynienia z badanym obiektem,
otoczeniem oraz termometrem wyposażonym w czujnik, którego wybrany parametr
termiczny XT jest mierzony w układzie pomiarowym termometru. W ogólnym przypadku
pomiaru temperatury kontakt czujnika z badanym obiektem odbywa się za pośrednictwem
ciała pośredniczącego, którym zwykle jest obudowa czujnika. W tym przypadku do
określenia temperatury obiektu nie wystarcza zależność temperaturowa mierzonego
parametru termicznego czujnika XT = f(T). Trzeba wówczas uwzględnić skutki wymiany
cieplnej pomiędzy elementami termometru, badanym obiektem i otoczeniem. Nie można
tego dokonać metodami analitycznymi. Dlatego w praktyce najczęściej mierzy się
temperaturę obiektu w warunkach równowagi termodynamicznej układu; badany obiekt 
termometr w, którym ustaliła się wymiana ciepła. Wynikiem pomiaru temperatury jest
wartość liczbowa wyrażona w jednostkach przyjętej skali temperaturowej. Skala
temperaturowa może być utworzona na podstawie zależności temperaturowej dowolnego
parametru XT ciała jeśli przyporządkuje się określonym temperaturom ciała wartości
liczbowe i jednostkę. W ten sposób można utworzyć wiele różnych skal temperaturowych.
Spośród wielu skal temperaturowych najbardziej praktyczne okazały dwie temperaturowe
skale stopniowe: bezwzględna stopniowa skala temperatur z początkiem w  zerze
absolutnym oraz względna stopniowa termodynamiczna skala Celsjusza, w której
przyjęto dwa punkty stałe tj. wartość 0 dla temperatury topnienia lodu pod normalnym
ciśnieniem (J�l = 0��C) i wartość 100 dla temperatury wrzenia wody pod normalnym
ciśnieniem (J�w = 100��C). Aktualnie używana skala Celsjusza powstała w wyniku
zmodyfikowania przez astronoma M. Str��mera pierwotnej skali Celsjusza w ten sposób, że
zamienił on wzajemnie wartości dla temperatury topnienia lodu i temperatury wrzenia
wody oraz podzielił ten przedział wartości na sto równych części nazywanych stopniami
Celsjusza. Istnienie w skali Celsjusza ujemnych wartości temperatur utrudnia jej
stosowanie w określaniu relacji energetycznych w zjawiskach fizycznych. Bezwzględna
termodynamiczna skala temperatur z  zerem absolutnym wyrażana w stopniach Kelvina
nie ma tej niedogodności. Do utworzenia tej skali wykorzystano zasady termodynamiki
oraz właściwości przemiany gazowej opisanej prawem Boyle a:
T =� a(�pV )� (2.1)
p��0
gdzie: a  stała, p.  ciśnienie gazu, T  temperatura bezwzględna ,V  objętość gazu.
Przyjmując podobnie jak w sali Celsjusza, że różnica temperatur wrzenia wody Tw
i topnienia lodu Tl pod normalnym ciśnieniem jest równa 100 K można wyznaczyć stałą a
z zależności:
100
a =� (2.2)
lim(�pV )� -� lim(�pV )�
w l
p��0 p��0
gdzie: Tl =� lim(�pV )� , T =� lim(�pV )� .
l w w
p��0 p��0
Na podstawie badania przemiany gazowej różnych gazów w warunkach stałego
ciśnienia gazu (p.= const), a także w warunkach stałej objętości gazu (V = const)
wykorzystując prawo Boyle a w postaci zależności (2.2) wyznaczono temperaturę
22
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
topnienia lodu Tl = 273,15K . Zasadę wyznaczania temperatury topnienia lodu Tl,, a także
stałych temperatur faz przemian innych ciał przedstawiono na rys.2.2.
Bezwzględna skala temperatur
jest niezależna od właściwości ciał
i warunków fizycznych.
T [ K ]
Temperatura ciała wyrażona w
Tl
tej skali zależy jedynie od stanu
273,20
cieplnego ciała oraz przyjętej
273,15
jednostki temperatury. Właściwym
przyrządem do odtwarzania
termodynamicznej bezwzględnej
273,00 skali jest termometr gazowy
p
działający zgodnie według prawa
0,1 MPa
0
Boyle a. Odtwarzanie tej skali za
Rys.2.2. Eksperymentalny sposób wyznaczania pomocą termometru gazowego jest
temperatury topnienia lodu Tl . kłopotliwe i mało dokładne dla
temperatur powyżej temperatury
topnienia lodu Tl.
Z tego względu wykorzystując bezwzględną skalę temperatur i względną skalę
Celsjusza utworzono praktyczną Międzynarodową Skalę Temperatur (ITS) zbliżoną do
termodynamicznej skali względnej Celsjusza, którą można odtwarzać z dowolną możliwie
dużą dokładnością. Ponieważ skala ta nie zależy od właściwości ciał można ją odtwarzać
za pomocą wybranych punktów termometrycznych, których wartości mogą być uściślane
wraz ze wzrostem dokładności przyrządów i metod pomiaru temperatury tych punktów.
Ponadto przyjęcie w tej skali początku w  zerze absolutnym usuwa niedogodność jaką ma
skala Celsjusza wynikające z ujemnych wartości. Temperaturę w międzynarodowej skali
temperatur oznacza się symbolem T i wyraża się w stopniach Kelvina [K] równych
stopniom w skali Celsjusza (1 K = 1��C).
Można także w tej skali wyrażać temperaturę w stopniach Celsjusza, wtedy
temperaturę definiuje się wzorem:
J�[��C]�=� T-� T0 (2.3)
gdzie T0 = 273,15 K.
Skala międzynarodowa (ITS) pokrywa się ze skalą Celsjusza z tym, że temperaturze
0��C w skali Celsjusza odpowiada temperatura 273,15 K.
W wielu krajach używa się skali względnej Fahrenheita, która jest związana ze skalą
Celsjusza relacją:
J�F [��F] = 1,8 J� [��C] + 32. (2.4)
Do odtwarzania międzynarodowej skali temperatur ITS-90 wykorzystuje się wiele
stałych łatwo odtwarzalnych punktów termometrycznych [3] (temperatur przemian
fazowych wybranych ciał dających się odtwarzać z dużą dokładnością) takich jak:
temperatura parowania helu 3He ,4He (0,65 ��3,2) K, punkt potrójny wodoru 13,8033 K,...,
punkt potrójny neonu 24,5561K,..., punkt potrójny argonu 83,8058 K,..., punkt potrójny
wody 0,0100��C, punkt krzepnięcia cyny 231,9681��C,...,punkt krzepnięcia złota 1064,43��C,
punkt krzepnięcia miedzi 1084,62��C itp.
23
)
st
n
o
c
=
p
(
He
)
t
s
n
o
c
=
p
(
H
2
)
t
s
n
o
c
=
V
(
e
H
H
(
V
=
c
o
n
s
2
t
)
N
(
p
2
=
c
o
N
n
s
t
)
(
2
V
=
c
o
n
s
t
)
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
Do sprawdzania temperatur punktów termometrycznych według ITS-90 używa się
następujących przyrządów:
- interpolacyjnego termometru gazowego w zakresie niskich temperatur od 1,25 K do
24,5561 K,
- rezystancyjnego termometru platynowego w zakresie od 13,8033 K do 961,78��C,
- termometru termoelektrycznego w zakresie temperatur od 630,74��C do 1064,43��C,
- standardowego pirometru optycznego powyżej temperatury 1064,43��C.
Ze względu na praktyczne znaczenie średniego zakresu temperatur oraz właściwości
rezystancyjnego termometru platynowego przyjęto, że jest on podstawowym przyrządem
do odtwarzania skali temperaturowej ITS-90 raz do wzorcowania laboratoryjnych
i przemysłowych termometrów [3]. Istotną cechą Międzynarodowej Skali Temperatur jest
jej początek w  zerze absolutnym 0 K, niezmienność jednostki (1 K = 1��C), niezmienność
jej stałych punktów tj. temperatury topnienia lodu 0��C i wrzenia wody 100��C oraz
możliwość jej odtwarzania z dokładnością ograniczoną jedynie przez stan techniki. Punkty
termometryczne tej skali mogą być uściślane przez co zwiększa się dokładność
odtwarzania skali. Pozwala to budować coraz dokładniejsze termometry a, tym samym na
coraz dokładniejsze pomiary temperatur.
2.1.2. Pomiar temperatury metodą dotykową
Pomiar temperatury ciała najczęściej odbywa się poprzez zetknięcie termometru
z powierzchnią badanego ciała w sposób jak na rys.2.1.3. Jeśli temperatura początkowa
termometru Ts0 różni się od temperatury Tx badanego obiektu to w chwili zetknięcia
termometru z tym obiektem następuje przepływ ciepła w kierunku miejsca o niższej
temperaturze. Przepływ ten trwa do chwili wyrównania się temperatur miejsc pomiędzy ,
którymi odbywa się przepływ ciepła (na rys.2.1.1 jest to chwila, w której temperatura Ts
przetwornika pomiarowego zrówna się z temperaturą wewnątrz osłony czujnika). W stanie
wyrównania temperatur przetwornika i osłony czujnika zanikają strumienie cieplne Qs0
oraz Qs. W praktyce, zwykle pomiar temperatury odbywa się w otoczeniu o temperaturze
Ta różnej od mierzonej temperatury Tx , zaś konstrukcja termometru jest złożona (czujnik,
osłona czujnika, elementy mocujące itp.).
W tej sytuacji w stanie ustalonym
Otoczenie
przy Tx ą� Ta występuje wymiana ciepła
Qa pomiędzy badanym ciałem a
T
a
otoczeniem poprzez osłonę czujnika, ale
Obiekt
Przetwornik
nie występuje wymiana ciepła pomiędzy
Qa
osłoną czujnika a czujnikiem (Qs = 0).
Qx Qso
Temperatura czujnika Ts różni się od
Y = j� ( XT , t )
T
x
temperatury Tx obiektu o wartość D�Ts
Qs
T
XT= f ( T )
zależną od temperatury otoczenia Ta oraz
s
s
od konstrukcji termometru. Różnica
temperatur D� T =� T -� T jest błędem
Osłona czujnika s x s
systematycznym, który można
eliminować uwzględniając temperaturę
Rys.2.3. Wymiana ciepła w układzie:
otoczenia Ta.
obiekt  czujnik  otoczenie.
24
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
Jeśli pomiar odbywa się bez wymiany ciepła termometru z otoczeniem co ma miejsce
przy równości temperatur Ta = Ts to wówczas temperatura czujnika jest równa
temperaturze obiektu (Ts = Tx). Praktycznie takie warunki występują w pomiarach
temperatury w komorach termostatycznych. Opisane tu sytuacje pomiarowe dotyczą stanu
ustalonej wymiany cieplnej w elementach termometru.
Często w praktyce pomiar odbywa się w warunkach nieustalonej wymiany cieplnej
co ma miejsce wtedy gdy temperatura obiektu Tx zmienia się lub wtedy gdy przy stałej
temperaturze obiektu dokonuje się odczytu wskazania Y termometru w chwili tm., w której
jeszcze nie ustaliła się wymiana cieplna w elementach termometru (rys.2.4).
Wtedy wskazanie termometru Y zależy
nie tylko od temperatury T, parametru
termicznego przetwornika XT, ale
T
D�T
s
D�T
również od chwili jego odczytu tm:
T sm
x
Y =� j� (�X ,t)� =� j� f T ,t
T (� )�
T [� ]�
s
T
gdzie:j� X  funkcja przetwarzania
sm (� )�
T
termometru,
XT = f (T)  parametr termiczny
Przetwornika.
T
s0
Oprócz błędu statycznego D�Ts
t t t
0
m s
występuje wtedy także błąd
dynamiczny D� T =� T -� T zależny
Rys.2.4. Przebieg czasowy temperatury Ts sm s sm
czujnika po zetknięciu termometru z badanym od chwili tm odczytu wskazania
obiektem o temperaturze Tx. termometru. Błąd ten można pomijać
jeśli chwila odczytu wskazania spełnia
warunek; t ł� ts .Wtedy temperatura przetwornika Ts jest praktycznie ustalona. Czas ts po,
którym praktycznie ustala się wskazanie termometru zależy od inercji układu: obiekt 
termometr  otoczenie. Inercja ta zależy przede wszystkim od konstrukcji termometru oraz
od rodzaju otoczenia termometru. W praktyce chwilę odczytu wskazania termometru
wybiera się tak, aby spełniony był warunek: tm. ł� (3��5)t�. Stała czasowa t� termometru
podawana jest jako parametr i odnosi się do określonego ośrodka (zwykle powietrza lub
wody ). Przy spełnieniu warunku tm. ł� 5t� jednocześnie spełnione są relacje: Tsm � Ts oraz
D�Tsm � 0. Spełnienie tego warunku pomiaru nie wyklucza błędów pomiaru wynikających z
czasowej fluktuacji parametru termicznego XT czujnika. Tego rodzaju błędy są
uwzględnione w wartości granicznej niepewności określonej klasą termometru.
Właściwości metrologiczne termometru istotnie zależą od rodzaju materiału przetwornika
temperatury (parametr termiczny XT), jego charakterystyki statycznej, dynamicznej oraz
stabilności czasowej parametru termicznego w odwracalnych procesach termicznych,
a także od możliwości odtwarzania tego parametru w warunkach przemysłowych.
Najczęściej wykorzystywane w przetwornikach temperatury parametry termiczne to:
 przewodność elektryczną ciała (termometry rezystancyjne),
 siła termoelektryczna (termometry termoelektryczne),
 napięcie kontaktowe na złączu (elektroniczne termometry diodowe),
 częstotliwość drgań sieci krystalicznej (termometry kwarcowe i wibracyjne),
 propagacja fal mechanicznych w ciele (termometry ultradz
więkowe),
 absorpcja światła (pirometry).
25
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
Termometry rezystancyjne zwłaszcza z termorezystorem platynowym odznaczają się
najlepszymi właściwościami metrologicznymi. Tego rodzaju termometry są powszechnie
wykorzystywane w pomiarach laboratoryjnych i przemysłowych.
Termometry rezystancyjne z czujnikiem platynowym typu Pt-100 obecnie budowane
są jedynie w dwóch klasach dokładności (klasa A, klasa B) [3].
Opracował Jan Leks
2.2. Właściwości statyczne i dynamiczne czujników temperatury
2.2.1. Wprowadzenie
Termometry elektryczne są przyrządami elektrycznymi, w których sygnał wyjściowy
(wskazanie termometru) jest funkcją mierzonej temperatury. Ogólnie funkcja
przetwarzania termometru jest zależnością temperaturową i czasową wybranego parametru
termicznego XT (rezystancji, napięcia, częstotliwości, przenikalności magnetycznej itp.)
przetwornika termometru. Sygnał wyjściowy Y przetwornika opisuje ogólna zależność:
Y =� j� xT ,t (2.5)
(� )�
gdzie xT =� f Ts lub xT =� f J�s - funkcja przetwarzania przetwornika temperatury -
(� )� (� )�
charakterystyka statyczna przetwornika temperatury,
Ts lub J�s - temperatura czujnika.
Analityczna postać zależności (2.5) jest uwikłaną funkcją temperatury i czasu. Dla
konkretnej konstrukcji termometru można ją określić jedynie w przybliżeniu wyznaczając
zależności temperaturowe i czasowe przetwornika doświadczalnie. W praktyce można
wyznaczyć funkcję przetwarzania termometru z pomiaru jego charakterystyki statycznej
i dynamicznej. Najczęściej pomiar temperatury odbywa się w stanie ustalonej wymiany
cieplnej, w którym sygnał wyjściowy Y czujnika zależy jedynie od temperatury. Wtedy
sygnał ten można określić na podstawie charakterystyki statycznej czujnika termometru.
Z charakterystyki statycznej termometru można wyznaczyć jego podstawowe parametry
takie jak czułość, nieliniowość, histerezę i inne parametry. W ogólnym przypadku
parametry te są funkcjami temperatury. Charakterystyka statyczna przetwornika
termometru jest niezbędna przy opracowaniu konstrukcji termometru.
W dalszym ciągu opisuje się czujniki termometryczne będące przedmiotem badań w
ćwiczeniach laboratoryjnych.
2.2.2. Termorezystory
Czujniki termorezystancyjne są to konstrukcje zawierające przetwornik temperatury
w postaci rezystora o specjalnej konstrukcji wykonanego z materiału o możliwie
stabilnych i powtarzalnych charakterystykach przynajmniej jednego parametru
termicznego. W przetwornikach rezystancyjnych parametrem termicznym XT jest
rezystywność właściwa r�s materiału termorezystora. Mierzoną wielkością wyjściową
26
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
przetwornika jest jego rezystancja, która jest wprost proporcjonalna do rezystywności r�s
materiału termorezystora:
l
RT =� r�s (2.6)
A
gdzie: l; A  odpowiednio długość i powierzchnia przekroju poprzecznego
przewodnika termorezystora.
l
Przyjmując w zależności (2.6) stałość wymiarów rezystora ( =� const. ) można
A
opisać charakterystykę statyczną czujnika termometru ogólną zależnością:
Y =� j� X �� RT =� j� r�s (2.7)
(� )� (� )�
T
gdzie: RT =� R0 f r�s T lub RT =� R0 f r�s J�
(� )�
(� )� [� ]�
[� ]�
R0  rezystancja termorezystora w temperaturze T0 lub J�0 w skali względnej,
zwykle przyjmuje się T0 = 273,15K (J�0 = 0��C) lub T0 = 295K (J�0 = 22��C).
Wyznaczając charakterystykę statyczną czujnika temperatury z pomiaru zależności
temperaturowej rezystancji jego przetwornika można wyznaczyć parametry statyczne
termometru bez znajomości materiału z, którego wykonany jest termorezystor czujnika.
2.2.2.1. Termorezystory metalowe
Metale przewodzą prąd elektryczny dzięki rozpraszanym elektronom swobodnym
powstających w wyniku defektów sieci krystalicznej metalu. Przewodność metalu jest tym
większa im większa jest liczba n wolnych elektronów, im większa jest ich średnia prędkość
u� i średnia droga swobodna lśr. Liczba wolnych elektronów i ich prędkość prawie nie
zależą od temperatury. Średnia droga swobodna ruchu elektronu zależy od amplitudy
drgań sieci krystalicznej oraz wzajemnych odległości atomów w sieci. Wynika stąd, że
przewodność metalu zależy od rodzaju materiału i temperatury. Wzrost temperatury
powoduje wzrost entropii metalu co jest przyczyną wzrostu częstości chaotycznych drgań
sieci krystalicznej oraz częstości zderzeń elektronów i skrócenia tym samym średniej drogi
swobodnego ruchu elektronów.
Przewodność elektryczną metalu można opisać zależnością:
1 nq2lśr
g� =� =� (2.8)
S
r�s mu�
gdzie: q  ładunek elektronu,
lśr  średnia droga swobodna elektronu,
m.  masa elektronu,
n  liczba elektronów swobodnych,
u�  średnia prędkość elektronu na poziomie Fermiego.
27
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
Energia elektronów związanych może przewyższać poziom Fermiego
EF = (1,6 �� 11,2)10 -19J .Takie wartości energii mogą uzyskiwać elektrony swobodne
w temperaturach T ł� 20000 K. Elektrony te nie biorą udziału w procesie przewodzenia
prądu elektrycznego przy niższych temperaturach. W tych warunkach mogą przewodzić
jedynie elektrony swobodne, elektrony rozpraszane przez drgające jony i współdrgające
zespoły atomów formujących sieć krystaliczną (fonony), a także elektrony powstałe
w wyniku defektów sieci krystalicznej wywołanych atomami zanieczyszczeń metalu.
Średnia prędkość tych elektronów praktycznie nie zależy od temperatury. Przewodność
elektryczna metalu zależy przede wszystkim od średniej drogi swobodnej wolnych
elektronów, która zależy od struktury sieci krystalicznej metalu oraz od temperatury.
Różne metale mają różną strukturę, wielkości cząstek, ich wzajemnych odległości oraz
wynikającą stąd częstość drgań, przy której elektrony swobodne mogą przenosić
największe energie. Częstość ta jest określona poprzez charakterystyczną temperaturę ciała
TD. nazywaną temperaturą Debye a:
h
TD =� (2.9)
max
k
gdzie: h = 6,6256 10  34Js  stała Plancka,
k = 1,3805��10  23 J/K  stała Boltzmanna,
max  częstość drgań przy, której rozpraszana jest największa energia w sieci;
9N
=� ,
max
ć� ��
1 2
3
�� ��
4ĄV +�
��u� 3 3 ��
u�
Ł� l t ł�
N  liczba atomów w objętości V ,
u� ,u�  prędkości propagacji drgań w metalu odpowiednio dla fali podłużnej
l t
i poprzecznej.
Zanieczyszczenie metalu innymi atomami w przeważającej liczbie przypadków
wiążą wolne elektrony przez co wzrasta rezystywność metalu oraz osłabia się zależność
rezystywności metalu od temperatury.
Rezystywność przetwornika metalowego r�s można przedstawić jako sumę
rezystywności r�i metalu wynikającej z drgań termicznych sieci krystalicznej oraz
rezystywności r�r wynikającej z zanieczyszczeń i defektów statycznych sieci:
r�s =� r�i +� r�r (2.10).
Dla temperatur wyższych od temperatury Debye a (T > TD) składowa rezystywności
właściwej r�r praktycznie nie zależy od temperatury. Uwzględniając
w zależności (2.9) zależność (2.10) można napisać dla czułości termorezystora:
1 dRT 1 d f (�r�s )� 1 d f (�r�i )� d f [�r�i(�T )�]�
S =� �� =� �� � �� =� (2.11) .
RT dT RT dT RT dT f [�r�s(�T )�]�
28
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
Dla większości pierwiastków metalicznych czułość S jest praktycznie stała dla
temperatur T > TD/3 zaś dla temperatur niższych maleje tak, że przy temperaturze
T = TD / 50 jest praktycznie równa zeru. Im większa jest czystość metalu tym większa jest
czułość temperaturowa S (mniejsza wartość r�r) oraz liniowość zależności jego rezystancji
RT od temperatury. Dla miedzi TD. � 100 K a, dla platyny TD. � 225 K.
Spośród wszystkich metali platyna ma najlepsze właściwości metrologiczne mimo
stosunkowo wysokiej temperatury Debye a, gdyż ma najlepszą liniowość charakterystyki
temperaturowej rezystancji w szerokim zakresie temperatur oraz małą aktywność
chemiczną co sprawia, że charakterystyka ta jest stabilna w czasie. Ogólnie, w szerokim
zakresie temperatur charakterystyka temperaturowa rezystancji metalu jest nieliniowa.
Przykładowo na rys.2.5 przedstawiono charakterystyki termiczne termorezystora
miedzianego dla szerokiego zakresu temperatur. Z przebiegu tych charakterystyk wynika,
1
że termorezystor metalowy jest prawie liniowy dla temperatur wyższych od /3TD zaś
poniżej tej temperatury jego czułość szybko maleje z temperaturą. Znaczenie miedzi jako
materiału do budowy termometrów jest niewielkie ze względu na jej znaczną aktywność
chemiczną oraz wynikającą stąd małą stabilność parametrów termicznych. Jednak często w
praktyce określa się temperaturę uzwojeń maszyn elektrycznych na podstawie pomiaru ich
rezystancji. Pomiar ten dotyczy zwykle stosunkowo wąskiego zakresu temperatur powyżej
temperatury otoczenia (znacznie powyżej temperatury Debye a) w, którym można pomijać
nieliniowość charakterystyki temperaturowej rezystancji miedzi.
RT /RT0
S
x
10-3
1,4
1,2
4,0
1,0
S
3,0
0,8
RT / RT0
0,6
2,0
0,4
1,0
0,2
0
0
T�0 T�
T�D/3
Rys.2.5. Charakterystyki termorezystora miedzianego.
Statyczne charakterystyki temperaturowe termorezystorów metalowych dla
1
temperatur T > /3��TD zwykle przedstawia się w postaci wielomianu potęgowego
temperatury [3].
Według międzynarodowej normy DIN-IEC-751 dla termorezystorów platynowych
Pt-100 i Pt-10 obowiązują zależności:
2 3
RT =� R0[�1 +� AJ� +� BJ� +� C(�J� -� 100 )�J� ]� (2.12)
29
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
dla zakresu temperatur J� = (- 200��C �� 0��C)
2
oraz RT =� R0(�1 +� AJ� +� BJ� )�
(2.13)
dla zakresu temperatur: J� = (0��C �� 850��C)
W zależnościach (2.12) i (2.13) oznaczono:
RT - rezystancja termometru w temperaturze J�,
R0 - rezystancja termometru w temperaturze 0��C,
A = 3,90802��10-3; B = -5,802��10 7; C = -4,27350��10 12.
Dla platynowych termorezystorów pt-100 klasy A dopuszczalna odchyłka w zakresie
temperatur J� = (- 200��C �� 650��C) jest równa:
D�J� =� ą� 0,15��C +� 0,002 J� (2.14),
(� )�
a dla termorezystorów platynowych klasy B w zakresie temperatur J� = (-200��C �� 850��C)
dopuszczalna odchyłka jest równa:
D�J� =� ą� 0,3��C +� 0,005 J� (2.15).
(� )�
Charakterystykę termorezystora niklowego Ni-100 zgodnie z normą DIN 43760 opisuje się
zależnością:
2 4
[� ]�
RT =� 100 +� 0,5485J� +� 0,665 ��10-�3 ��J� +� 2,805 ��10-�9 ��J� W� (2.16)
przy czym dopuszczalną odchyłkę D�J� w zakresach temperatur od -60��C do 0��C i od 0��C
do 180��C wyznacza się odpowiednio z zależności (2.17) i (2.18):
D�J� =� ą� 0,4 -� 0,028J� (2.17),
(� )�
D�J� =� ą� 0,4 +� 0,007J� (2.18)
(� )�
Termorezystory metalowe według norm europejskich powinny spełniać warunki:
RT (�100��C)�
=� 1,3850 - dla termorezystora platynowego, 1,617 - dla termorezystora
RT (�0��C)�
niklowego.
W tablicy 2.1 podano charakterystyki oraz dopuszczalne odchyłki przemysłowych
termometrów rezystancyjnych według europejskich norm DIN 43760 i DIN-IEC 751.
Tablica.2.1.
Termometr niklowy Termometr platynowy Pt-100
Temp Ni-100 Klasa A Klasa B
30
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
RT Dopuszczalna RT Dopuszczalna Dopuszczalna
odchyłka, odchyłka odchyłka
[��C] [W�] [W�] [��C] [W�] [W�] [��C] [W�] [��C]
-200 - - - 18,89
ą�0,24 ą�0,55 ą�0,56 ą�1,3
-100 - - - 60,25
ą�0,14 ą�0,35 ą�0,32 ą�0,8
-60 69,5 - - - -
ą�1,0 ą�2,1 -
0 100,0 100,00
ą�0,2 ą�0,4 ą�0,06 ą�0,15 ą�0,12 ą�0,3
100 161,8 138,50
ą�0,8 ą�1,1 ą�0,13 ą�0,35 ą�0,30 ą�0,8
180 223,2 - - - -
ą�1,3 ą�1,7 -
200 - - - 175,84
ą�0,20 ą�0,55 ą�0,48 ą�1,3
300 - - - 212,02
ą�0,27 ą�0,75 ą�0,64 ą�1,8
400 - - - 247,04
ą�0,33 ą�0,95 ą�0,79 ą�2,3
500 - - - 280,90
ą�0,38 ą�1,15 ą�0,93 ą�2,8
600 - - - 313,59
ą�0,43 ą�1,35 ą�1,06 ą�3,3
650 - - - 329,51
ą�0,46 ą�1,45 ą�1,13 ą�3,6
700 - - - 345,13 - -
ą�1,17 ą�3,8
800 - - - 375,51 - -
ą�1,28 ą�4,3
850 - - - 390,26 -
ą�1,34 ą�4,6
Przykład konstrukcji przemysłowego termorezystora metalowego pokazano na rys.2.6.
.
a ) b )
6
Rys.2.6. Szkic konstrukcji czujnika
3
rezystancyjnego
3
a)  z płaskim termorezystorem;
2
1  uzwojenie bifilarne, 2  karkas z
5
miki, 3  wyprowadzenia,
b)  lite dopełnienie do przekroju
1
okrągłego, c)  dopełnienie sprężyste ze
srebrzonej blachy miedzianej; 4 
c )
termorezystor, 5  warstwa izolacji z miki,
7
6  profilowany pręt aluminiowy, 7 
sprężysty kształtownik ze srebrzonej
4
blachy miedzianej.
5
Konstrukcja termorezystora pokazana na rys. 2.6b odznacza się małą rezystancją
cieplną i dużą pojemnością cieplną zaś konstrukcja jak na rys.2.6c ma mniejszą niż
poprzednia przewodność i pojemność cieplną stąd ma ona także mniejszą inercję w
przewodzeniu ciepła od badanego obiektu do termorezystora pomiarowego. Inercja
czujnika zależy nie tylko od konstrukcji ale również od właściwości cieplnych ośrodka,
w którym znajduje się czujnik.
31
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
2.2.2.2. Termorezystory półprzewodnikowe
Do termorezystorów półprzewodnikowych zalicza się termistory i monolityczne
rezystory półprzewodnikowe. Termistory zbudowane są ze spieków lub stopów proszków
tlenków metali takich jak: mangan, nikiel, miedz
, tytan, cynk itp. Monolityczne
termorezystory półprzewodnikowe wykonywane są głównie z krzemu domieszkowanego
atomami innych pierwiastków. Procesy przewodzenia prądu elektrycznego w obydwu
rodzajach termorezystorów istotnie się różnią od siebie. W termistorach w wyniku wzrostu
temperatury rośnie średnia częstość i amplituda drgań sieci krystalicznych poszczególnych
ziaren proszku wskutek czego mogą zachodzić procesy rozpraszania elektronów w sposób
jak opisano w p.2.1 oraz rekombinacji elektronów sąsiednich ziaren. Im wyższa jest
temperatura tym więcej elektronów jest uwalnianych zaś sąsiednie ziarna ulegają związaniu.
Wzrost liczby rozpraszanych i uwalnianych elektronów skutkuje zmniejszeniem się
rezystancji termistora. W monolitycznych termorezystorach ze wzrostem temperatury i
drgań sieci krystalicznej występują jednocześnie procesy generacji i rekombinacji nośników
prądu, którymi są zarówno elektrony jak i ich braki w sieci czyli dziury. Znacznie niższa niż
w metalach energia elektronów na poziomie walencyjnym ułatwia ich rozpraszanie oraz
ruch pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. Zależnie od rodzaju atomów
domieszek w sieci krystalicznej półprzewodnika może ze wzrostem temperatury dominować
jako wypadkowy proces wzbogacania (zwiększania liczby swobodnych elektronów 
przewodnictwo typu  n ) lub zubożania (zwiększania liczby braków elektronów w
wiązaniach atomowych sieci krystalicznej półprzewodnika  przewodnictwo typu  p ).
W pierwszym przypadku rezystancja termorezystora maleje ze wzrostem temperatury
zaś w drugim rośnie. Temperaturowa charakterystyka statyczna rezystancji
półprzewodników jest nieliniowa i nie tak dobrze powtarzalna jak w przypadku
termorezystorów metalowych. Ogranicza to wykorzystywanie przetworników
półprzewodnikowych w termometrii zwłaszcza precyzyjnej.
2.2.2.3. Termistor.
Termistor jest przetwornikiem temperatury o silnie nieliniowej charakterystyce
statycznej rezystancji. Charakterystykę statyczną termistora z dostateczną dla praktyki
dokładnością można opisać zależnością:
B
RT =� R0 expć� �� (2.15)
�� ��
T
Ł� ł�
gdzie RT, R0 - rezystancja termistora odpowiednio w temperaturze T i T0,
B = (2000��5000) K (najczęściej B = 3820 K)  stała materiałowa termistora.
Dla przyrostu temperatur D� T =� T -� T0 rezystancję termistora opisuje zależność:
�� ł�
ć� ��
1 1
�� ��ś�
R(�T )� =� R(�T0 )�expę�B -� (2.16)
��
T T0 ����
Ł� ł�
��
32
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
Termometrami termistorowymi mierzy się temperatury od ok. -70��C do 450��C (w
pomiarach krótkotrwałych do ok. 600��C) [3]. W zakresie temperatur od 25��C do 45��C
graniczny błąd pomiaru nie przekracza 0,1��C, a czasowa niestałość charakterystyki
termistora nie przekracza 0,02��C w pierwszym roku pracy oraz 0,04��C po dziesięciu
latach. W pomiarach laboratoryjnych wykorzystuje się modelową charakterystykę
statyczną termistora opisaną zależnością:
�� ł�
ć� ��
ć� ��
1 1 1 1
�� ��ś�
�� ��
R(�T )� =� R(�T0 )��� exp B -� -� (2.17)
ę�
�� 2 2
T T0 ��+�C �� T
T0 ��ś�
ę� Ł� ł�
Ł� ł�
�� ��
gdzie: B, C - współczynniki wyznaczone dla zakresu temperatur od T0 do T.
W praktyce laboratoryjnej wyznacza się nieznaną temperaturę T z pomiaru
rezystancji termistora RT w tej temperaturze wykorzystując zależność:
3
-�1
T =� a� +� b� logRT +� g� (�logRT )� (2.18)
gdzie: a�, b�, g�  stałe wyznaczone na podstawie zależności (2.17).
Na rys.2.7 pokazano przykładowe konstrukcje termistorów wykorzystywanych
w termometrach oraz układ linearyzacji charakterystyki termistora.
a ) d )
1
2 3
RT
R
s
R
p
1 3
b ) c )
2
0,5 mm
3
1 2
Rys.2.7. Wybrane konstrukcje termistorów; a)  termistor bagietkowy,
b)  termistor perełkowy, c)  termistor na płytce metalowej , d)  prosty układ linearyzacji
termistora RT; 1  termistor, 2  obudowa szklana, 3 - wyprowadzenia,
1  termistor pastylkowy, 2  płytka metalowa.
Różniczkując zależność (2.15) można wyznaczyć współczynnik temperaturowy
rezystancji termistora:
33
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
1 dRT B
-�1
a� =� =�-� [�K ]� (2.19).
R
2
RT dT T
Parametry termistora a�R oraz R0 zwykle określane są w temperaturze T0 = 298 K.
Współczynnik temperaturowy rezystancji termistora termistorów zawiera się
w przedziale wartości (0,03 �� 0,05) K-1. Błąd nieliniowości termometrów termistorowych
można wyeliminować za pomocą układów linearyzujących. Prosty układ linearyzacji
charakterystyki czujnika termistorowego pokazano na rys.2.7d.
W układzie tym dobierając odpowiednio stałe rezystory Rs i Rp. można uzyskać błąd
nieliniowości mniejszy od 0,1��C w zakresie temperatur od  50��C do 50��C [2], [3].
2.2.2.4. Monolityczne termorezystory półprzewodnikowe
Termorezystory monolityczne są to rezystory o konstrukcji przestrzennej zbudowane
z półprzewodnika samoistnego zwykle krzemu domieszkowanego pierwiastkami 5-cio
wartościowymi (donorami) albo 3-wartościowymi (akceptorami). Uzyskuje się w ten
sposób materiał o przewodnictwie elektronowym (typu  n ) albo dziurowym (typu  p ).
Stosuje się także domieszkowanie mieszane uzyskując materiał, którego charakter
przewodnictwa zależy od temperatury oraz zewnętrznego pola elektrycznego lub
magnetycznego. Termorezystory monolityczne najczęściej wykonuje się z krzemu.
Przykład budowy krzemowego termorezystora monolitycznego pokazano na rys.2.5.
Doprowadzenia termorezystora półprzewodnikowego przyłączone są do elektrod
metalowych M naniesionych na powierzchnie półprzewodnika w sposób dyfuzyjny tak aby
nie występowały diodowe złącza kontaktowe.
Działanie termorezystora
M
polega na ruchu elektronów oraz
N+
dziur w zaznaczonej na rys.2.5
stożkowej przestrzeni walca
Si
krzemowego  Si . Taki przepływ
nośników przez obszar dyfuzyjny
 N+ przy elektrodach powoduje,
że prąd pływający przez
termorezystor zależy prawie
N+
liniowo od temperatury niezależnie
M
od kierunku przepływu. Wraz ze
zmianą temperatury zmieniają się
Rys.2.5. Zasada konstrukcji monolitycznego
ruchliwości nośników prądu
termorezystora krzemowego. Oznaczono;
wskutek czego zmienia się
Si  monokryształ krzemu, SiO2  pasywacja,
rezystancja rozproszona obszaru
M  elektroda metalizowana, N+ obszar dyfuzyjny.
 Si ,a tym samym rezystancja
termorezystora.
Rezystywność właściwą półprzewodnika opisuje ogólna zależność:
-�1
r� =� q(�nm�e +� pm�p )� (2.20)
gdzie: q  ładunek elektronu,
34
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
n, p - odpowiednio liczba elektronów i liczba dziur,
qt�e
m�e =� - ruchliwość elektronów,
me
qt�
p
m�p =�  ruchliwość dziur,
mp
me , mp.  odpowiednio masa elektronu i masa dziury,
t�e , t�p.  odpowiednio czas swobodnego ruchu elektronu i dziury.
Przy temperaturach T < 20000 K średnia prędkość nośników prądu jest prawie
niezależna od temperatury. Stąd zarówno średnia droga swobodna l jak i średni czas
swobodnego ruchu nośników t� zmieniają się w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalnie do
temperatury T. W tych warunkach rezystancja termorezystora rośnie wraz ze wzrostem
temperatury. Jednak w szerokim zakresie temperatur wskutek występowania w
półprzewodniku wielu różnych mechanizmów przewodzenia prądu elektrycznego
rezystywność półprzewodnika zmienia się w różny sposób. Na rys. 2.8 przedstawiono
zależność rezystywności r� domieszkowanego krzemu o przewodnictwie typu  n od
temperatury bezwzględnej T. Obszar zakreskowany obejmuje dopuszczalny zakres
temperatur dla termorezystora półprzewodnikowego. W tym zakresie temperatur słuszna
jest zależność (2.20). Powyżej temperatury ok. 500��C następuje proces lawinowego
wzrostu ilości nośników prądu prowadzący do zniszczenia struktury wewnętrznej
termorezystora, a poniżej temperatury Debay a (ok.160 K) maleje liczba i energia
kinetyczna elektronów rozpraszanych przez sieć krystaliczną co powoduje w przybliżeniu
wykładniczy wzrost rezystywności termorezystora.
r�
W� �m
krzem samoistny (czysty)
1
krzem domieszkowany
10 - 2
10 - 3
10 - 4
T� �D
T� �-�1�
10 - 5
0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 K-1
Rys.2.8. Zależność rezystywności krzemu od temperatury.
Popularne monolityczne termorezystory np. typu KTYxx mają zastosowanie
w termoregulatorach, urządzeniach klimatyzacyjnych, w układach zabezpieczeń
przeciążeniowych urządzeń elektrycznych i innych. Zaletą termorezystorów
35
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
półprzewodnikowych jest ich duża czułość oraz większa niż w przypadku termorezystorów
metalowych rezystancja (np. ok.16W�/��C przy RT = 2 kW� - dla KTY10).
Na rys.2.9 przedstawiono nominalną charakterystykę temperaturową popularnego
termorezystora półprzewodnikowego typu KTY10. Termorezystory tego typu
wykorzystywane są w termoregulatorach bojlerów elektrycznych w zakresie temperatur
(40��90)��C. W tym zakresie temperatur zwykle pomija się nieliniowość termorezystora.
Rozrzut charakterystyk seryjnie produkowanych termorezystorów półprzewodnikowych
jest na tyle mały, że można wyznaczyć temperaturę na podstawie ich nominalnej
charakterystyki z błędem rzędu ą�(0,1��0,5)��C. Zwykle w praktyce w układach
mikroprocesorowych wykorzystujących termorezystory półprzewodnikowe dokonuje się
linearyzacji ich charakterystyk. Dla przykładu w tablicy 2.2. podano wartości poprawek
dla linearyzowanej charakterystyki termorezystora KTY10 zaznaczonej na rys.2.9 linią
przerywaną. Poprawki te obliczono dla zlinearyzowanej charakterystyki opisanej
przybliżoną zależnością: RT [�W�]��15,587J�[��C]�+�1681,35.
RT
[W�]�
4000
KTY10
3500
3000
2500
2000
1500
J�
1000
-50 -25 0 25 50 75 100 125[oC]
Rys.2.9. Charakterystyka temperaturowa nominalna termorezystora KTY10;
linią przerywaną przedstawiono aproksymację liniową charakterystyki rzeczywistej.
Tablica 2.2.
J� [��C] p [W�] J� [��C] p [W�] J� [��C] p [W�]
-50 -138,49 10 54,24 70 45,85
-45 -114,75 15 61,22 75 36,09
-40 -92,40 20 66,80 80 24,91
-35 -71,45 25 70,99 85 12,34
-30 -51,90 30 73,79 90 -1,63
-25 -33,75 35 75,18 95 -16,99
36
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
-20 -16,99 40 75,18 100 -33,75
-15 -1,63 45 73,79 105 -51,91
-10 12,34 50 70,99 110 -71,45
-5 24,91 55 66,80 115 -92,40
0 36,08 60 61,22 120 -114,75
5 45,85 65 54,24 125 -138,49
2.2.2.5. Półprzewodnikowe przetworniki złączowe
Działanie półprzewodnikowych złączowych przetworników temperatury polega na
wykorzystaniu temperaturowej zależności spadku napięcia na złączu półprzewodnika typu
 n i półprzewodnika typu  p spolaryzowanego w kierunku przewodzenia. Zmiana
spadku napięcia na złączu wywołana jest zmianą liczby nośników swobodnych
rozpraszanych w obszarze złącza w wyniku drgań sieci krystalicznej. Nośniki te (elektrony
i dziury) generowane są w złączu niezależnie od jego polaryzacji. W praktyce
wykorzystuje się złącza spolaryzowane w kierunku przewodzenia. Zależność prądu
przepływającego przez złącze spolaryzowane napięciem U opisuje zależność:
�� ł�
ć� qU ��
�� ��
I =� IS ę�exp �� -�1��ś� (2.21)
nkT
Ł� ł�
�� ��
gdzie IS  prąd nasycenia,
n = 2 dla złącza krzemowego w, którym występuje termiczna rekombinacja
nośników oraz n = 1 dla złącza typu dyfuzyjnego.
Prąd nasycenia złącza IS zależy od temperatury T i przerwy energetycznej
półprzewodnika Eg:
E
ć� ��
g
r
�� ��
IS =� KT exp -� (2.22)
�� ��
nkT
Ł� ł�
gdzie: K, n, r  stałe zależne od rodzaju półprzewodnika, charakteru złącza oraz
rodzaju przewodnictwa.
Przy niezbyt małych wartościach napięcia polaryzacji złącza [3] z zależności
(2.21) i (2.22) wynika:
qU -� E
ć� ��
g
r
�� ��
I � KT exp (2.23).
�� ��
nkT
Ł� ł�
Dla stałego natężenia prądu przepływającego przez złącze z zależności (2.23)
otrzymuje się:
r
E
ć� ��
kT KT
g
�� ��
U � -� ln�� �� (2.24)
q q I
Ł� ł�
E
g
przy czym jest � 1,1557V - dla krzemu (Si);,ok. 0,7412V - dla germanu (Ge),
q
a dla arsenku galu (GaAs) ok.3,024V.
37
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
Dla złącz krzemowych w, których dominuje jeden rodzaj przewodnictwa można
przyjąć r � 0 w zależności (2.24). Przy stałym prądzie (I = const.) przepływającym przez
takie złącze spadek napięcia U na złączu jest praktycznie liniową malejącą funkcją
temperatury. Błąd nieliniowości charakterystyki U = f (T) typowych diod krzemowych jest
rzędu 1% w zakresie temperatur od  50��C do 100��C. Można wyselekcjonować diody
krzemowe, dla których błąd ten jest rzędu 1o/oo. Proces selekcji takich diod jest żmudny i
czasochłonny. Z tego względu do budowy termometrów półprzewodnikowych
wykorzystuje się złącza baza-emiter pary tranzystorów wytwarzanych na wspólnym
podłożu w postaci układu scalonego. Tak wykonane złącza bardzo mało się różnią się od
siebie. Do pomiaru temperatury wykorzystuje się wtedy różnicę napięć na złączach przy
różnych ustalonych wartościach prądów płynących przez te złącza. W praktycznych
konstrukcjach takich przetworników temperatury w układzie scalonym oprócz pary złącz
pomiarowych znajdują się zwykle z
ródła prądowe oraz wzmacniacze napięcia
różnicowego na złączach. W zaawansowanych konstrukcjach półprzewodnikowych
układów scalonych np. w mikroprocesorach stosuje się coraz częściej zintegrowane z nimi
układy  inteligentnych czujników temperatury bazujących na opisywanych układach
czujników złączowych. W układach  inteligentnych czujników temperatury znajdują się
przetworniki analogowo-cyfrowe, pamięci, układy przeliczające oraz układy komunikacji z
zewnętrznymi urządzeniami cyfrowymi. Przykładem konstrukcji półprzewodnikowego
przetwornika różnicowego jest popularny układ scalony typu LM35, którego uproszczony
schemat przedstawiono na rys.2.10 [5]. W układzie tym wykorzystuje się zależność
temperaturową różnicy napięć na złączach baza-emiter tranzystorów T1 i T2:
kT jE1
D�U =�U -�U =� ln (2.25)
BE BE1 BE 2
q jE2
gdzie jE1, jE2  gęstości prądu w złączach emiterowych tranzystorów T1 i T2.
Z zależności (2.25) dla złącz o powierzchniach różniących się dziesięciokrotnie
jE1 1 D�U mV
BE
( =� ) wynika: �0,2 .
jE 2 10 T K
Na bazie układu jak na rys.2.10 buduje się czujniki temperatury, na wyjściach
których napięcie UT odpowiada liczbowo temperaturze bezwzględnej (układ LM135x),
temperaturze wyrażonej w stopniach Celsjusza (LM35x) lub temperaturze w stopniach
Fahrenheita (układ LM34x). Podstawowe układy pracy opisywanych czujników
temperatury pokazano na rys.2.11.
38
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
+UZ
RC
RC
UB
A1
UPT
IC1 IC2
UT�
R1 T1
A2
T2
10E
E
m R2
Układ
n R1
UBE 1
UBE 2
kompensacji
D
R2
nieliniowości
I
UI = UI0 +� �a�UI T
UE
Rys.2.10. Uproszczony schemat zastępczy układu monolitycznego czujnika
temperatury typu LM35x.
b ) +U
a )
z
+U
z
R = I-U I / 50 m�A
z z
LM
LM
35
35
UT
R UT
z
UT = 0 mV + 10 mV/oC
o -U
dla �J� �= ( 2 - 150 ) C z
UT = -550 mV dla �J� = - 55oC
UT �= +250 mV dla �J� �= +25oC
UT = +1500 mV dla J� �= +150oC
Rys.2.11. Podstawowe układy pracy czujników monolitycznych typu LM35xx.
W układach typu LM35x i LM34x wartości elementów pokazanych na rys.2.10 są
dobrane tak, że w temperaturze odniesienia T0 = 298K (J�0 = 25��C = 77��F) przy
współczynnikach odpowiednio do typu układu; n = 23, m.= 0,125 oraz n = 26,5, m.= 0,8
napięcie UPT na wyjściu układu kompensacji nieliniowości jest równe odpowiednio do
rodzaju układu 1,38V i 1,59V. Współczynnik temperaturowy napięcia UPT wytwarzanego
w układzie z parą tranzystorów taką jak T1 i T2 w wymienionych układach wynosi
odpowiednio:
39
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
J
-�23
dU nk I1 23��1,38��10 mV
PT K
dla LM35x - a� =� =� ln =� ln 10 � 4,47 ,
PT -�19
dT q I2 1,6 ��10 C K
J
-�23
dU nk I1 26,5��1,38 ��10 mV
PT K
dla LM34x - a� =� =� ln =� ln10�5,3 .
PT -�19
dT q I2 1,6 ��10 C K
Temperaturową zależność napięcia D�UBE w dowolnej temperaturze T różnej od T0
można aproksymować zależnością [5] :
ć� �� ć� �� T0 kT
ć� IC ��
T T nkT ć� ��
�� �� �� �� �� ��
D�U =�U0��1-� ln +� ln�� (2.26)
�� ��
BE
T0 ��+�U BE0�� T0 ��+� q T q IC 0 ��
Ł� ł�
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
Dwa ostatnie nieliniowe składniki w zależności (2.26) są małe w porównaniu ze
składnikami liniowymi. Wpływ tych składników na napięcie UI jest kompensowany przez
układ kompensacji nieliniowości. Przyjmując, że napięcie UB na wyjściu wzmacniacza A1
jest proporcjonalne do temperatury bezwzględnej : U =�k1T można napisać dla napięcia
B
UE na emiterach tranzystorów:
ć� �� ć� ��
T T
�� �� �� ��
U =�U -�U =� k1T -�U (2.27)
E B BE 0
��1-� ��-�U BE0�� ��
T0 T0
Ł� ł� Ł� ł�
U +�k2
BE0
Przyjmując w zależności (2.27) k1=�
można napisać:
T0
ć� T -�T0 ��
T
�� ��
U =�k +�U0�� �� (2.28)
E 2
T0 Ł� T0 ł�
Współczynnik temperaturowy napięcia UE jest równy:
dU k2 +�U0
E
a�TE =� =� (2.29).
dT T0
Można tak dobrać elementy układu (rys.2.7) aby w temperaturze T = T0 = 0��C spełniony
był warunek; ��UE��= k2 = 0, przy którym współczynnik temperaturowy napięcia UE jest
U0 1,22 V mV
równy: a�TE =� � �4,47 . Wtedy nie zależy on ani od napięcia UB ani też od
T0 273,15 K ��C
napięcia UBE i wzmocnienia prądowego b� tranzystora.
Napięcie UI w temperaturze J�0 = 25��C dla układu LM35x jest równe:
mV
U (�25��C)�=�U -�(�U +�U )�+�2a�TE �1380mV-�2 ��581mV+�2 ��4,47 ��25��C�222mV
I PT BE D
��C
mV
przy współczynniku temperaturowym: a�TI �2a�TE �8,89 .
��C
40
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
Napięcie wyjściowe UT wymienionych układów ma współczynnik temperaturowy równy
odpowiednio; 10mV/K, 10mV/��C oraz 10mV/��F.
Na rys.2.12 pokazano uproszczony schemat funkcjonalny monolitycznego
programowalnego czujnika temperatury typu DS1621 z interfejsem  I2C  . Czujnik ten
zawiera w swej strukturze monolityczny przetwornik działający na takiej samej zasadzie
jak wyżej opisany czujnik typu LM35, przetwornik analogowo-cyfrowy oraz
mikroprocesorowy system przetwarzania sygnałów. Czujniki tego rodzaju przeznaczone są
do współpracy z układami mikroprocesorowymi. Graniczny błąd pomiaru temperatury w
zakresie od -35��C do +125��C nie przekracza ą�0,2��C. Na wyjściach czujnika oprócz
cyfrowego sygnału pomiarowego generowane są sygnały logiczne sygnalizujące
przekroczenie zaprogramowanych wartości progowych mierzonych temperatur (wyjście
YT).
a)
Rejestr stanu
i logika sterująca
SCL
SDA
Czujnik temperatury
Układy
sterowania
We / Wy
Układy progu górnego
i adresowania
A0
temperatury ( TH )
A1
A2
Układy progu dolnego
temperatury ( TL)
SDA VDD
b)
SCL A0
YT
Komparator cyfrowy /
YT A1
układy logiki wyjściowej
GND A2
Rys.2.12. Schemat funkcjonalny zintegrowanego monolitycznego cyfrowego
przetwornika temperatury.
2.2.2.6. Przetworniki termoelektryczne.
W przetwornikach termoelektrycznych wykorzystuje się zjawisko odkryte przez
Seebeck a polegające na przepływie prądu elektrycznego w zamkniętym obwodzie
połączonych ze sobą dwóch metali, których spoiny znajdują się w różnych temperaturach.
Przepływ prądu spowodowany jest siłami termoelektrycznymi Thomsona (Kelvina) oraz
termoelektrycznymi siłami kontaktowymi Peltiera.
Z opisów w rozdziałach 2.1 i 2.2.2 wynika, że przyczyną powstawania różnicy
potencjałów ET na końcach przewodnika (także półprzewodnika) znajdujących się
w różnych temperaturach (rys.2.13a) jest gradient entropii wzdłuż przewodnika w wyniku
czego występuje różnica koncentracji wolnych elektronów rozpraszanych przez drgania
sieci krystalicznej przewodnika. Różnica potencjałów ETh  siła termoelektryczna
41
DS 1621
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
Thomsona zależy jedynie od różnicy temperatur końców przewodnika oraz rodzaju
materiału przewodnika. Dla sił tych można napisać:
ć� ��
kT n k n
B B
�� ��
E =� V -� V +� ln =� ln (�T -� T0 )�
T A B
�� ��
q n q n
A Ł� A ł�
oraz
T
ETh =� (�T )�-�s� (�T )�]�dt � [�s� (�T )�-� s� (�T )�]�(�T -� T0 )� =� s� (�T -� T0 )�
(2.30)
A B A B Th
��[�s�
T0
gdzie : VA , VB , nA, nB -� odpowiednio potencjały wyjścia elektronów oraz objętościowe
koncentracje elektronów w przewodnikach A i B termopary,
k -� stała Boltzmana; k = 1,38��10 - 23 J K- 1,
q -� ładunek elektronu ; q = 1,602��10 - 19 C.
T -� temperatura w skali bezwzględnej.
s�A , s�B s�Th  współczynniki Thomsona dla materiałów A, B oraz termopary.
Wartości współczynników Thomsona w temperaturze 0��C wynoszą na przykład:
-23m�V/K dla konstantanu, -10m�V/K dla platynorodu (PtRh10), -9m�V/K dla platyny (Pt), -
8m�V/K dla żelaza (Fe), +2m�V/K dla miedzi (Cu), � 0m�V/K dla ołowiu (Pb).
W miejscu styku dwóch różnych przewodników lub półprzewodników następuje
wyrównanie koncentracji elektronów swobodnych w wyniku dyfuzji elektronów z
materiału o większej ich koncentracji do materiału uboższego w wolne elektrony.
Skutkiem tego w miejscu styku tych materiałów powstaje kontaktowa różnica potencjałów
 siła termoelektryczna Peltiera Ep. Podobnie jak siła termoelektryczna Thomsona ETh siła
termoelektryczna Peltiera zależy od rodzaju materiałów przewodników A i B oraz od
temperatury. Napięcie na zaciskach przetwornika termoelektrycznego (rys.2.13b) jest sumą
wszystkich sił termoelektrycznych w obwodzie przetwornika termoelektrycznego:
ET =�EP(�T1 )�-�EP(�T2 )�+�EThA +�EThB1-�EThB2 =�=�EP(�T1 )�-�EP(�T2 )�+�s� (�T1-�T2 )�+�s� (�T1-�T2 )�.
A B
Siła termoelektryczna na zaciskach termoelementu (termopary) do, której wolnych
końców przyłączono przewody z materiału C (rys.2.13c) jest równa:
ET =�EP1+�EP2 -�EP3+�s� (�T1-�T2 )�-�s� (�T1-�T2 )�.
A B
42
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
ET
a ) b ) c ) T3 T3
EThA
T2
C C
s�,� � n
A
EP2 T2
T1 EP1
ET'
T1 T2 T2
EThB2
EThB1 2
1
B B 2 3
Q
ET A B
1
T1
Rys.2.13. Siły termoelektryczne w przetworniku termoelektrycznym;
a)  zasada powstawania siły termoelektrycznej Thomsona ETh,
b)  układ sił termoelektrycznych w spoinach 1 i 2 przetwornika w temperaturach
T1 i T2, c)  siła termoelektryczna na wyprowadzeniach.
Siły termoelektryczne Thomsona w przewodach C znoszą się, a więc napięcia UT i
UT są sobie równe. Jeśli temperatury końców przewodnika C są jednakowe (T2 =T3 =T0 )
to napięcie termopary UT jest równe:
UT =�EPAB (�T1 )�+�s� (�T1-�T0 )� -�s� (�T1-�T0 )�=� s� (�T1-�T0 )� (2.31)
A B M
gdzie: s�M - wypadkowy współczynnik termoelektryczny termopary.
Współczynnik termoelektryczny s�M zależy od temperatury T gdyż procesy
rozpraszania, ruchu i dyfuzji elektronów w materiałach zależą od temperatury. Zależność
(2.31) można zapisać w postaci ogólnej:
UT =� [�s� (�T )�]�(�T -�T0 )��s� (�T -�T0 )� (2.32).
M M
W praktyce często przyjmuje się że współczynnik termoelektryczny termopary jest
stały s� (�T )��s� =�const. Współczynnik termoelektryczny termopary można określić na
M M
podstawie sił termoelektrycznych (STE) materiałów, z których wykonana jest termopara.
Siły termoelektryczne różnych metali i stopów tworzą szereg termoelektryczny. Wyznacza
się je w temperaturze 100��C przy temperaturze odniesienia 0��C względem platyny. Na
przykład STE wynosi: -3,51mV dla konstantanu, -1,48mV dla niklu, +0,42mV dla
aluminium, +0,643mV dla platynorodu, +0,76mV dla miedzi, +1,89mV dla żelaza,
+2,81m�V dla chromoniklu.
Współczynnik termoelektryczny s�T wyznaczony na podstawie podanych sił
termoelektrycznych dla termopary miedz
-konstantan jest równy:
+� 0,76mV-�(�-� 3,51)�mV źV
s� =� =�42,7
T
100��C ��C
43
h
T
E
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
W praktyce używa się kilka rodzajów konstrukcji termometrów z metalowymi
przetwornikami termoelektrycznymi dalej nazywanych termoparami.
Podstawowe parametry techniczne oraz metrologiczne najczęściej używanych
przemysłowych termopar [3] podano w tablicach: 2.3oraz 2.4 oraz zilustrowano na
rys.2.14.
Tablica 2.3.
Oznaczenie Elektroda Elektroda Zakres kT Uwagi
 +  - pomiarowy
[m�V/K]
[��C]
Typ S 90% Pt Pt 1) osłona krzemionkowa
0 ��1300 � 10
PtRh10/Pt 10% Rh 2) stop dyfuzyjny
Typ R 87% Pt Pt Jak wyżej
0 ��1400 � 10
PtRh13/Pt 13% Rh
Typ B 70% Pt 94% Pt b. mała STE w temp.
100 ��1500 � 9 przy
Pt18, 30% Rh 6% Rh
0��C ��100��C
1000��C
Pt EL18
wykonanie jak S i R
WRe3/ 97% W 75% W do 2800 1) atmosfera
�20 przy
WRe25 3% Re 25% Re beztlenowa
1000��C
(powietrze)
� 2 przy
2) nie stosuje się
2800��C
w obecności węgla
Typ J Fe
45% �� - 200 ��700 �50 > 0��C
Fe/Konst
60% Cu
Fe/CuNi
reszta Ni
Typ T Cu 45% - 200 ��400 �50 > 0��C
Cu/Konst
�� 60% Cu
�25 < 0��C
Cu/CuNi
reszta Ni
Typ E 45% do 700
�90% Ni �70 > 0��C
NiCr/CuNi
�� 60% Cu
�10% Cr �40 < 0��C
Chromel/
reszta Ni
+ inne
Kopel
skł.
Typ K 98% Ni - 250 1) bardzo redukcyjna
�90% Ni �40 > 0��C
NiCr/Ni 2% Al. atmosfera
��1000
�10% Cr �30 < 0��C
Cromel/ + inne skł 2) promieniowanie
+ inne
Alumel neutronowe
skł.
Khantal 3) specjalne wykonanie
(- 100 ��1300)��C
Tablica 2.4
Termopara Klasa Zakres pomiarowy Dopuszczalny błąd graniczny
[��C] ą� D�J� [��C ]
Typ T 1
- 40 �� + 350
0,5��C lub 0,004 �� J�
2
- 40 �� + 350
1��C lub 0,0075�� J�
44
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
3
- 200 �� + 40
1��C lub 0,015�� J�
Typ E 1
40 �� + 800
1,5��C lub 0,004 �� J�
Typ J
40 �� + 750
Typ K
- 40 �� + 1000
2
40 �� + 900
2,5��C lub 0,0075�� J�
40 �� + 750
- 40 �� + 1200
3
- 200 �� + 40
2,5��C lub 0,015�� J�
-
- 200 �� + 40
Typ R i S 1
0 �� + 1600
1,5��C lub 1+� J� -�1100 �� 0,003
{� (� )� }�
Typ B
-
2
0 �� + 1600 1,5��C lub 0,0025��J�
+ 600 �� + 1700
3
+ 600 �� + 1700 4��C lub 0,005��J�
Wartości podane w tablicach 2.3 i 2.4 są odniesione do temperatury J�0 = 0��C.
2.3. Właściwości dynamiczne termometrów.
Jak wykazano w p.2.1.2 wskazanie termometru Y zależy nie tylko od jego
właściwości statycznych określonych charakterystyką termiczną parametru termicznego
czujnika, ale także jest ono funkcją czasu jeśli odczyt wskazania następuje
w nieustalonym stanie termodynamicznym. Wynika to ze skończonej prędkości wymiany
cieplnej pomiędzy czujnikiem termometru, badanym obiektem i otoczeniem. Prędkość
wymiany cieplnej zależy od materiału i konstrukcji czujnika termometru oraz właściwości
cieplnych ośrodka, w którym się on znajduje. Jeśli czujnik termometru zostanie nagle
zanurzony w otoczeniu o temperaturze T to temperatura czujnika Ts będzie zmieniać się w
czasie. Na przykład jeśli czujnik będzie charakteryzował się inercją I-go rzędu, to jego
temperatura będzie zmieniać się według zależności:
t
-�
t�
Ts =� T -�[�T -�Ts(�0)�]�e (2.33)
gdzie: Ts(0) = Ts(t = 0)  temperatura czujnika w chwili t = 0,
t� - stała czasowa czujnika [3];
VCs
t� =� �� (2.34)
a� A
przy czym: V  objętość czujnika,
A  powierzchnia wymiany ciepła czujnika z otoczeniem,
Cs  pojemność cieplna czujnika,
a� - współczynnik wymiany ciepła czujnik-otoczenie.
Stałe czasowe czujników o kształcie cylindrycznym i kulistym [3] (porównaj rys.2.6
i rys.2.8) można opisać odpowiednio zależnościami (2.35) i (2.36):
45
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
2
Csg� r r r r
Csg� V
s s s a
t� =� ��ln =� �� ��ln (2.35),
2l� ra A l� rs
2
ć� ��
Csg� r ć� �� r r
Csg� V
s s s s
��1-� r �� ��1-� ��
t� =� �� =� �� �� (2.36)
�� �� ��
3l� ra A l� ra ��
Ł� ł� Ł� ł�
gdzie: l� - przewodność cieplna osłony czujnika,
g� - gęstość właściwa,
ra  promień zewnętrzny osłony,
rs  promień wewnętrzny osłony czujnika ( promień czujnika ).
Wartości Cs i l� w zależnościach (2.35) i (2.36) zależą nie tylko od rodzaju materiału
czujnika ale również od stanu termodynamicznego ośrodka, w którym jest on zanurzony.
Na przykład stała czasowa t� termometru umieszczonego w strumieniu powietrza
o prędkości 3m/s jest taka sama jak w przypadku umieszczenia go w strudze wody
o prędkości 0,4m/s. W podanych warunkach współczynniki wymiany ciepła a� dla
powietrza i wody są takie same. W jednakowych warunkach kinetycznych tych ośrodków
współczynniki a� są różne. Dla czujników o zwartej budowie zapewniającej równomierny
przepływ ciepła w całej ich objętości (objętościowy typ przewodnictwa cieplnego) można
przyjmować model inercyjny I-go rzędu. Nie można przyjmować tego modelu dla
czujników w osłonach wielowarstwowych z izolacją termiczną. Wtedy zwykle przyjmuje
się model inercyjny II-go rzędu. Na rys.2.14 przedstawiono przykładowe przebiegi
czasowe odpowiedzi czujników o inercji I-go i II-go rzędu na skok temperatury.
Charakterystyki te przedstawiają wartości czasowej funkcji przejścia (transmitancji)
temperatury dla czujnika termometru opisanej zależnością:
Ts(�t)�-�Ts(�0)�
h (�t)� =� (2.37)
T -�T (�0)�
s
gdzie: Ts (t)  temperatura czujnika w chwili odczytu t,
TT (0)  temperatura czujnika w chwili początkowej (t = 0),
T  temperatura mierzona (wartość ustalona).
t�  stała czasowa termometru.
Na rys.2.14 przedstawiono także graficzny sposób wyznaczania stałych czasowych
(t� przy inercji I-go rzędu oraz t� i �t�op przy inercji II-go rzędu; t�op  czas opóz
nienia)
czujników za pomocą stycznych do krzywych odpowiedzi skokowej.
46
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
t�
h(t)
1
d�
x
inercja I-go rzędu
inercja II-go rzędu
Punkt przegięcia
0 t
t
t�
t� x
op
Rys.2.14. Odpowiedz
czujników o inercji I-go i II-go rzędu na skok temperatury
[T  Ts (0)]��1(t).
Jeśli termometr będzie zanurzony w badanym ośrodku od chwili t = 0 to w chwili tx
to jego wskazanie będzie obarczone błędem względnym d�x:
t
ć� ��
x
d� =�1 -� h (�tx )�=� exp �� �� (2.38).
x
��-� ��
t�
Ł� ł�
W praktyce często przyjmuje się d�x = 0 wtedy, gdy odczytu wskazania termometru
dokonuje się po czasie tx ł� 5��t� od chwili zanurzenia czujnika w badanym ośrodku.
W wielu przypadkach czujników o wielowarstwowej konstrukcji, której warstwy
otaczające czujnik różnie przewodzą ciepło przyjęcie dla czujnika modelu inercyjnego I-go
rzędu nie pozwala wyznaczyć z dostateczną dokładnością mierzonej temperatury na
podstawie wskazania termometru zwłaszcza w pomiarach dynamicznych (impulsowe
pomiary wysokich albo szybkozmiennych temperatur)  w stanie ustalonym nie ma to
znaczenia. W tych przypadkach wykorzystuje się model inercyjny II-go rzędu lub inny [3].
Konieczność stosowania bardziej złożonych modeli niż model inercyjny I-go rzędu wynika
ze złożonego procesu wymiany ciepła pomiędzy warstwami czujnika odbywającego się z
różnym natężeniem i prędkością w poszczególnych warstwach oraz badanym otoczeniem.
Wtedy najczęściej wystarcza do opisu sygnału wyjściowego termometru model
inercyjny II-go rzędu. Charakterystykę dynamiczną takiego czujnika określa się za pomocą
mość stałej czasowej t� � oraz czasu opóz
nienia t�op Błąd wyznaczenia rzeczywistej
temperatury na podstawie sygnału czujnika oraz charakterystyki dynamicznej czujnika
(rys.2.12) zwłaszcza przy krótkim czasie pomiaru t < t� � � jest duży (mały i szybko
zmieniający się sygnał wyjściowy czujnika).
47
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
Z przebiegu charakterystyk dynamicznych czujników temperatury wynika, że dla
dostatecznie długiego czasu pomiaru tx ł� 5��t� błąd pomiaru temperatury praktycznie nie
zależy od właściwości dynamicznych czujnika. W praktyce w przypadkach pomiaru
zmiennych temperatur, pomiaru w ośrodkach o dużej agresywności chemicznej albo
wysokich temperatur stosuje się impulsową metodę pomiaru. Wówczas czas pomiaru jest
krótki, często tx < t�. W tych przypadkach korzysta się z charakterystyki dynamicznej
czujnika w celu przeliczania wskazań termometru na rzeczywiste wartości mierzonych
temperatur. Istotne znaczenie ma tu dokładność określenia charakterystyki dynamicznej
czujnika. W praktyce najczęściej wyznacza się ją z pomiaru czasowej odpowiedzi czujnika
na skok temperatury. w zależności od przebiegu zmierzonej charakterystyki dobiera się
odpowiedni model matematyczny charakterystyki dynamicznej [3]. W automatycznych
termometrach cyfrowych model dynamiczny czujnika termometru jest uwzględniony
w algorytmach przetwarzania sygnału czujnika na wskazanie termometru. Pozwala to
wyeliminować konieczność przeliczeń wskazań termometru oraz w dużym stopniu
uniezależnić dokładność ich pomiaru od czasu zanurzenia czujnika w badanym ośrodku.
W termometrach tych mierzony jest jednocześnie z sygnałem czujnika czas pomiaru
Prostsze konstrukcje termometrów wymagają dokonywania tych przeliczeń.
Opracował Jan Leks
2.3. BADANIE WA
AŚCIWOŚCI STATYCZNYCH TERMOMETRÓW
ELEKTRYCZNYCH
2.3.1. Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie charakterystyk statycznych oraz podstawowych
parametrów wybranych rodzajów czujników termometrycznych na podstawie pomiarów
laboratoryjnych. Ponadto należy porównać otrzymane w ten sposób charakterystyki
z odpowiednimi dla badanych czujników charakterystykami modelowymi oraz
wyprowadzić wynikające stąd wnioski.
2.3.2. Przebieg ćwiczenia.
W ćwiczeniu laboratoryjnym wyznacza się parametry statyczne wybranych
czujników termometrycznych opisanych w rozdziałach 2.1 i 2.2, które bada się na
stanowisku laboratoryjnym w układzie pomiarowym pokazanym na rys.2.15. Badane
czujniki umieszczone są w kąpieli olejowej, której temperaturę reguluje się i stabilizuje za
pomocą termostatu oraz mierzy się termometrem cyfrowym TC. Wyjścia badanych
czujników T1,...,T4 przyłącza się bezpośrednio do odpowiednich przyrządów
pomiarowych (Wh, MC1, MC2 i VC1) przy czym czujnik oznaczony T4 stanowią dwa
rodzaje termopar, które wybiera się poprzez przyłączenie miliwoltomierza cyfrowego VC1
do odpowiednich zacisków Z. VC2. Czujniki półprzewodnikowe złączowe T5,...,T8 (D, T,
TW, US) przyłączone są do układu komutacyjnego K (rys.2.16). W układzie tym dokonuje
się wyboru badanego czujnika, odwrócenia polaryzacji napięć sygnałów z czujników T5,
T6, T7 oraz takie ich wzmocnienie aby sygnały wyjściowe miały nachylenie ok. 10 mV/��C.
Ponadto za pomocą potencjometrów oznaczonych symbolami D, T, Tw, US można
48
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
poziomować sygnał wyjściowy tak aby uzyskać zerowe wskazanie woltomierza cyfrowego
VC2 dla początkowej temperatury mierzonej. Napięcia poziomowania U0D i U0T reguluje
się od 570mV do 790mV dla czujników T5 i T6 (D i T) a napięcia U0Tw i U0S dla
czujników T7 i T8 (Tw i US) reguluje się w zakresie od 2,8V do 3,0V. Czujniki T5,...,T8
zasilane są prądem 1mA ze z
ródeł prądowych (rys. 2.16). Charakterystyki statyczne
badanych czujników należy wyznaczać z pomiarów ustalonych temperatur
kąpieli przy czym jej pole temperaturowe powinno być jednorodne (temperatury
wszystkich zanurzonych w niej czujników powinny być takie same). Jednorodność pola
temperaturowego w kąpieli uzyskuje się za pomocą mieszadła elektrycznego M.
W obliczeniach parametrów statycznych badanych czujników należy uwzględnić
funkcję przetwarzania układu komutacyjnego K. Napięcie wyjściowe Uwy tego układu
mierzone woltomierzem VC2 opisuje zależność:
U =� [� UT (�J� )�-�U ]� ku (2.39)
wy 0
gdzie UT (J�)  spadek napięcia na wybranym czujniku Ti; (T5 ,...,T8),
U0  napięcie odniesienia nastawione dla wybranego czujnika,
ku  wzmocnienie napięciowe.
Współczynnik wzmocnienia napięciowego dla poszczególnych czujników wynosi:
ku = - 4,88 dla czujnika T5 (D), ku = - 4,90 dla czujnika T6 (T),
ku = - 1,02 dla czujnika T7 (Tw), ku = +1,00 dla czujnika T8 (US).
ć� ��
R1
�� ��
Spadek napięcia na czujniku T7 opisuje zależność: UCE (�J� )� =� U (�J� )� .
��1+� ��
R2 BE
Ł� ł�
49
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
MC 2
Wh MC 1 VC 1 VC 2
[kW�]
[W�] [W�] [mV] [mV]
T1 T2 T3 T4
Z T5
K
D
T6
T
T7 Tw
P0"
"
T8
US
TK
TC
M
[oC]
Reg. nap. odniesienia
Termostat
T1T2T3T4 T5T6T7T8 TK
Olej
G
Woda
Rys.2.15. Układ pomiarowy do badania właściwości statycznych elektrycznych czujników
temperatury.
Na rys.2.15 oznaczono:
T1  termorezystor metalowy np. Cu, Ni lub Pt100 (R0 = 100 W�),
T2  termistor (R25 � 470 W�� 1 kW�),
T3  termorezystor półprzewodnikowy (np. KTY10),
T4 termopary (wyboru termopary dokonuje się poprzez przyłączenie do odpowiednich
zacisków Z),
T5  czujnik półprzewodnikowy (dioda krzemowa  D),
T6 czujnik półprzewodnikowy (tranzystor krzemowy w układzie diodowym  T),
T7  czujnik półprzewodnikowy (tranzystor w układzie wzmacniacza  TW),
T8  czujnik półprzewodnikowy scalony (np. typu LM35  S),
TK  termorezystor kontrolny (Pt-100),
Wh  mostek Wheatstone a ,
MC1, MC2  multimetr cyfrowy (omomierz),
VC1, VC2  miliwoltomierz cyfrowy.
50
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
A1
D D"
"
U0D
A2
T
T"
" U0T
K
VC
U
wy
R1
A3
TW
TW
R2
"
" U0Tw
Przetwornik
+ UZ
U / f
fwy
1000Hz/K
UT
LM
A4
35
US
US
S "
U0S
"
Rys.2.16. Schemat funkcjonalny układu pracy badanych czujników termometrycznych.
Pytania kontrolne.
1. Wymienić i porównać ze sobą podstawowe skale temperatur.
2. Wymienić rodzaje elektrycznych czujników temperatury i podać ich podstawowe
charakterystyki statyczne.
3. Porównać czujniki temperatury pod względem zakresu pomiarowego i liniowości
charakterystyki statycznej.
4. Dlaczego nieliniowość charakterystyki termicznej termorezystora
półprzewodnikowego jest większa niż metalowego?
5. Co to są punkty termometryczne przy odtwarzania skali temperatur?
6. Dlaczego termorezystor metalowy Pt-100 jest podstawowym przyrządem do
odtwarzania międzynarodowej skali temperatur?
7. Porównać elektryczne czujniki temperatury pod względem czułości.
8. Czy właściwości dynamiczne czujnika temperatury wpływają na jego czułość oraz
powtarzalność jego charakterystyki statycznej?
9. Czy duża stabilność czasowa charakterystyki statycznej termometru jest
równoznaczna z małą nieliniowością termometru?
10. Jakie właściwości półprzewodnikowych czujników złączowych decydują o ich
popularności zwłaszcza w układach elektronicznych?
51
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
11. Jakie będzie wskazanie miliwoltomierza przyłączonego do termopary, której
wszystkie elementy znajdują się w tej samej temperaturze? Uzasadnić odpowiedz
.
2.3.3. Program ćwiczenia.
1. Przeprowadzić identyfikację badanych czujników temperatury na stanowisku
laboratoryjnym.
2. Włączyć przyrządy pomiarowe w celu ustabilizowania ich warunków termicznych.
3. Zmierzyć temperaturę otoczenia J�0 na stanowisku pomiarowym.
4. Ustawić za pomocą odpowiednich potencjometrów układu komutacyjnego
początkowe wskazania miernika VC2 (domyślnie  0 ) osobno dla każdego czujnika.
5. Dokonać odczytów wszystkich przyrządów pomiarowych dla temperatury
początkowej.
6. Przeprowadzić pomiar charakterystyk statycznych Y = f (J� ) przy J�0 = const.
7. poszczególnych czujników oraz sporządzić wykresy tych charakterystyk
(wykorzystać wzory i opisy charakterystyk podane w rozdz. 2)
8. Na podstawie zmierzonych charakterystyk wyznaczyć charakterystyki:
współczynnika temperaturowego rezystancji a�R = f (J� ), czułości ST = f (J� ) przy J�0
= const. dla poszczególnych termometrów oraz sporządzić ich wykresy.
9. Sporządzić wykresy zależności błędu nieliniowości termometrów od temperatury :
d�nl = f (J� ) przy J�0 = const.
10. Sporządzić wykresy zależności błędu nieliniowości termometrów od temperatury :
d�nl = f (J� ) przy J�0 = const.
11. Przeprowadzić analizę porównawczą wyznaczonych charakterystyk termicznych
12. i parametrów statycznych badanych czujników.
13. Przeprowadzić dyskusję wyników pomiarów zakończoną wnioskami.
Należy oszacować dokładność wyznaczanych parametrów czujników według
zasad podanych w rozdziale 1.
Zakres opracowania wyników pomiaru może być ustalony przez prowadzącego
ćwiczenie laboratoryjne.
Opracował: Jan Leks
2.4. BADANIA PORÓWNAWCZE TERMOREZYSTANCYJNYCH
CZUJNIKÓW TEMPERATURY
2.4.1. Cel ćwiczenia.
Przedmiotem badania jest losowo wybrana grupa czujników temperatury tego
samego typu. Celem badań porównawczych czujników temperatury jest wyznaczenie
rozrzutu parametrów statycznych tych czujników na podstawie pomiaru ich charakterystyk
statycznych.
2,4.2. Wprowadzenie.
52
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
W badaniach porównawczych termometrów bardzo ważne jest zapewnienie im
jednakowej temperatury. W ćwiczeniu laboratoryjnym wykorzystuje się do tego celu
termostatyczną komorę klimatyczną, w której umieszczono badane czujniki. Do badań
przyjęto termorezystory półprzewodnikowe typu KTY10. Badane termorezystory
umieszczono w masywnym bloku aluminiowym w celu wyrównania ich temperatury.
Duża pojemność cieplna bloku zmniejsza wrażliwość układu pomiarowego na szybkie
wahania temperatury zapewnia małe wahania temperatury. Na stanowisku laboratoryjnym
bada się charakterystyki temperaturowe rezystancji termorezystorów w układzie
dzielników rezystancyjnych mierząc spadki napięć na badanych termorezystorach.
Schemat elektryczny układu pomiarowego do badań porównawczych termorezystorów
pokazano na rys.2.17.
Zasilacz
U
VC
stabilizowany
R1 R2 R
. . .
n
Przetwornik
pomiarowy
1
8 we /10bit
n A / C
RT1 RT2 RTn
Komputer
UTn
Komora termostatyczna
Rys.2.17. Układ elektryczny do badań porównawczych termorezystorów
połprzewodnikowych.
W układzie tym termorezystor RT1 wchodzi w skład badanych czujników oraz
jednocześnie spełnia rolę termometru (spadek napięcia na tym czujniku wyskalowano
w stopniach Celsjusza w procesie wzorcowania za pomocą termometru laboratoryjnego).
Ponadto spadek napięcia na tym czujniku wykorzystywany jest do inicjacji procesu
pomiaru spadków napięć na pozostałych czujnikach za pomocą przetwornika
pomiarowego A/C. Inicjacja przetwornika A/C następuje w chwilach, w których spadek
napięcia na termorezystorze RT1 osiąga wartości odpowiadające przyjętym temperaturom
pomiaru.. Z pomiarów otrzymuje się charakterystyki termiczne badanych czujników
w formie tabel wartości zapisanych w komputerze jako plik danych.
W układzie pomiarowym (rys.2.17) rezystory R1,..., Rn znajdujące się poza komorą
termostatyczną są rezystorami o wysokiej stabilności, których wartości spełniają relację:
R1 � R2 �...� R =� R .
n
Przy założeniu nominalnie jednakowych warunków pracy badanych czujników
RT1,..., RTn zmierzone charakterystyki postaci:
UT i =� f (�J�)�; i =� 1,...n (2.40)
można łatwo przekształcić w charakterystyki termiczne rezystancji:
53
.
.
.
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
RT i =� f (�J�)�; i =� 1,...n (2.41)
przy czym RTi wyznacza się z zależności:
UTi
RTi =� R (2.42)
U -�UTi
gdzie U  napięcie zasilające dzielniki pomiarowe ( Ri , RTi ).
Przykładowe przebiegi charakterystyk termicznych rezystancji (2.40) dwóch
czujników RTj i RTk dowolnie wybranych spośród grupy czujników RT1,..., RTn
przedstawiono na sposób poglądowy na rys.2.18.
RT�
i-ty czujnik
k-ty czujnik
RTj(�J�2� �)�
D� �Ri-k �(� �J�2�)�
RTk (�J�2�)�
RTk(J�1� �)�
D� �Ri-k �(� �J�1� �)�
RTj(�J�1� �)�
J�2� J�
J�1�
Rys.2.18. Przykładowy przebieg charakterystyk termicznych dwóch dowolnych
czujników tego samego typu; D�R i-k (J� )  różnice rezystancji czujników
1, 2
w temperaturach J� i J� .
1 2
Na podstawie zmierzonych charakterystyk (2.40) można dla dowolnej pary
czujników RTi i RTk wyznaczyć różnicę ich rezystancji D�R i-k (J� ) z zależności:
UTi(�J� )�-�UTk (�J� )�
D�Ri-�k (�J� )� =� RTi(�J� )�-� RTk(�J� )� =� RU
[�U -�UTi(�J� )�]���[�U -�UTk (�J� )�]� (2.43)
Miarą rozrzutu charakterystyk statycznych badanej grupy czujników w określonym
zakresie temperatur J�min, J�max może być stosunek:
54
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
RTi (�J� )�-� R(�J� )�
Max
d� (�J�min ,J�max )�=� ą� (2.44)
r
R(�J� )�
n
1
gdzie R(�J�)� =� (�J�)�.  charakterystyka nominalna badanej grupy czujników.
��Ri
n
i=�1
Sposób wyznaczania różnic rezystancji podanych w zależności (2.44)
pokazano na rys.2.18. Należy wyznaczać różnice D�Ri-k(J�) dla każdego czujnika
względem średniej wartości rezystancji wszystkich czujników grupy w temperaturze J�.
Można także wyznaczać charakterystykę rozrzutu parametrów poszczególnych
czujników względem czujnika odniesienia np. czujnika RT1 spełniającego funkcję
termometru.
2.4.3. Pytania kontrolne
1. Porównać charakterystyki oraz podstawowe parametry termiczne różnych
elektrycznych czujników temperatury.
2. Dlaczego w układzie pomiarowym jak na rys.2.17 korzystniej jest badać
termorezystory półprzewodnikowe niż termorezystory metalowe np. Pt-100?
3. Porównać termorezystory półprzewodnikowe i metalowe ze względu na czułość oraz
liniowość charakterystyk termicznych.
4. Naszkicować przykładowe charakterystyki czułości termorezystorów - metalowego,
półprzewodnikowego oraz termistora w funkcji temperatury.
5. Czy przewodność cieplna bloku, w którym umieszczono badane czujniki może mieć
wpływ na dokładność wyznaczanych charakterystyk? Uzasadnić odpowiedz
.
2.4.4. Program ćwiczenia
1. Dokonać rozpoznania układu pomiarowego (zwrócić uwagę na konstrukcję
i usytuowanie bloku metalowego w, którym umieszczone są badane czujniki
w komorze termostatycznej).
2. Przygotować stanowisko laboratoryjne do pracy (uruchomić komputer na stanowisku
laboratoryjnym i wywołać właściwy program).
3. Sprawdzić stan komory termostatycznej (jeśli jest ona nagrzana rozpocząć pomiary
w warunkach stygnięcia - przy otwartej komorze).
4. Uruchomić program pomiaru i rejestracji danych (postępować według instrukcji
wyświetlanej na ekranie monitora  wpisywać nazwy bez rozszerzeń !), naciśnięciem
przycisku  RESET w przetworniku pomiarowym (dla pewności nacisnąć
dwukrotnie) uruchomić automatyczny proces pomiaru
Uwaga ! 1. Badania czujników można dokonywać w warunkach:
- nagrzewania od 30��C do 130��C (opcja  3-13 ),
- nagrzewania od 40��C do 100��C oraz stygnięcia od 100��C do 40��C
(opcja  4-10 ).
2. Podczas automatycznie przebiegającego procesu pomiarowego przystąpić do
innego ćwiczenia zgodnie z harmonogramem lub poleceniem prowadzącego.
55
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
5. Po zakończeniu się programu pomiarów automatycznych dokonać czynności
związane z zapisem danych pomiarowych, a następnie zamknąć program
pomiaru i wyłączyć komputer (zamknięcie programu i wyłączenie komputera po
uzgodnieniu z prowadzącym ćwiczenie).
6. Na podstawie zmierzonych spadków napięć na badanych czujnikach
wyznaczyć charakterystykę nominalną (średnią dla wszystkich czujników)
R =� f (�J�)�  wykorzystać zależności (2.40), ...,(2.44)
T
Przyjąć do obliczeń R =� 50773 ą� 6W� .
7. Wyznaczyć błąd nieliniowości d� (�J� )�charakterystyki nominalnej w zakresie
nl
temperatur, w których badano czujniki lub podanym przez prowadzącego
ćwiczenie.
8. Wyznaczyć bezwzględne i względne rozrzuty charakterystyk badanych
czujników.
9. Sporządzić wykresy charakterystyk zmierzonych oraz obliczonych na podstawie
podanych w ćwiczeniu zależności.
10. Wnioski z pomiarów.
Opracował: Jan Leks
2.5. WYZNACZANIE PR
DU DOPUSZCZALNEGO
REZYSTANCYJNYCH CZUJNIKÓW TEMPERATURY
2.5.1. Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia jest poznanie zasad oraz praktyczny dobór prądu dopuszczalnego
przemysłowych czujników rezystancyjnych, zbadanie wpływu wybranej temperatury
pomiaru prądu dopuszczalnego na błąd czujnika, a także zbadanie błędów od prądu
zasilającego czujnik w zależności od temperatury i rodzaju badanego ośrodka.
2.5.2. Wprowadzenie.
Błąd pomiaru temperatury elektrycznym termometrem z czujnikiem rezystancyjnym
(metalowym, półprzewodnikowym monolitycznym lub termistorem) zależy nie tylko od
dokładności czujnika pomiarowego, ale także w znacznym stopniu zależy on od prądu
zasilania przepływającego przez czujnik oraz wymiany ciepła pomiędzy czujnikiem
i badanym otoczeniem. W układach termometrów elektrycznych wykorzystuje się spadek
napięcia na termorezystorze czujnika bezpośrednio lub pośrednio (układy mostkowe),
którego rezystancja zmienia się wraz z temperaturą. Im większy jest prąd zasilania
czujnika tym większa jest czułość termometru. Prąd zasilania czujnika nie może
przekroczyć wartości wynikającej z wytrzymałości termicznej czujnika (nie może być
przekroczona dopuszczalna moc tracona w termorezystorze). Wraz ze wzrostem prądu
przepływającego przez czujnik wzrasta jego temperatura wskutek czego zmienia się
rezystancja czujnika.
W warunkach ustalonej wymiany cieplnej czujnika z badanym ośrodkiem,
niezmiennych warunków termodynamicznych oraz ustalonego natężenia prądu zasilania
56
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
czujnika można doświadczalnie wyznaczyć przyrost jego rezystancji spowodowany
podgrzewaniem go prądem zasilającym i uwzględnić go w pomiarze temperatury ośrodka.
Nie można tego dokonać metoda analityczną ze względu na nieznane rzeczywiste
parametry wymiany cieplnej czujnika z badanym otoczeniem. W praktyce ustala się prąd
zasilania czujnika na tyle duży, aby termometr miał dostateczną czułość zaś błąd pomiaru
temperatury wynikający podgrzewania czujnika tym prądem nie przekroczył wartości
dopuszczalnej wynikającej z klasy dokładności termometru.
Dla czujników rezystancyjnych można określić dopuszczalny prąd zasilania Idop
odpowiadający przyjętej wartości dopuszczalnej błędu pomiaru d�dop temperatury
wynikający z podgrzewania czujnika prądem zasilającym. W praktyce podaje się zwykle
wartość graniczną błędu termometru wynikającą z samopodgrzewania czujnika jako jeden
z parametrów termometru. Moc tracona na rezystancji RT czujnika jest z
ródłem strumienia
cieplnego q przenikającego przez powierzchnię A zewnętrznych ścian czujnika do
badanego ośrodka o temperaturze J�. Przy założeniu, że pojemność cieplna badanego
ośrodka jest znacznie większa od pojemności cieplnej czujnika termometru można przyjąć
że, temperatura J� badanego ośrodka nie zależy od przyrostu temperatury czujnika D�J� (I)
wywołanego samopodgrzewaniem czujnika (tego założenia nie można przyjmować dla
obiektów małych w stosunku do masy czujnika termometru). Przyrost temperatury
czujnika D�J� (I) w wyniku podgrzewania prądem zasilającym można wyznaczyć z bilansu
cieplnego:
2
I RT =� qA =� aAD�J�I (2.45)
gdzie: a -� współczynnik wymiany ciepła w układzie: termometr - badany ośrodek,
2
I RT (� I )�
D�J�(� I )�=�
stąd (2.46).
aA
Przyjmując dopuszczalną wartość dodatkowego błędu pomiaru d�dop i odpowiadający mu
dopuszczalny przyrost temperatury czujnika D�J�dop wywołany samopodgrzewaniem można
z zależności (2.46) wyznaczyć dopuszczalny prąd zasilania czujnika Idop dla mierzonej
temperatury J� :
aAD�J�(�Idop )� aAD�J�dop
Idop =� =�
(2.47)
RT (�Idop )� RT (�Idop )�
D�J� (�Idop )�=� D�J�dop
gdzie (2.48)
W przypadku czujników metalowych (np. Pt100, Ni100) pracujących w niezbyt
szerokim zakresie pomiarowym można przyjmować liniową zależność ich rezystancji RT
od temperatury:
RT =� RT 0[�1+�a�R(�J� -�J�0)�]� (2.49)
gdzie: a�R -� współczynnik temperaturowy rezystancji termometru,
RT -� rezystancja termometru w temperaturze J�,
57
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
RT0 -� rezystancja termometru w temperaturze odniesienia J�0.
Zależność (2.49) nie uwzględnia przyrostu rezystancji wywołanego podgrzewaniem
termorezystora prądem zasilającym. Po uwzględnieniu w zależności (2.49) zależności
(2.47) i (2.48) otrzymuje się:
RT (�Idop )�=� RT 0[�1+�a� (�J� +� D�J�dop -�J�0)�]�=� RT +� RT 0 a� D�J�dop =�
R R
(2.50)
=� RT +� D� RT (�Idop )�
gdzie D� RT (� Idop )�=� RT 0 a�R D�J�dop (2.51).
Przykład 1
Dla termorezystora Pt100 przy założonej wartości dopuszczalnego błędu od
podgrzewania go prądem zasilającym d�dop = 0,2% dla mierzonej temperaturyJ� = 25��C
dopuszczalny przyrost rezystancji nie powinien przekraczać wartości:
1
-� 3
D� RT (�Idop )�=� 100 W��� 3,85 ��10 �� 25��C ��0,002 � +� 0,0193W� , a jego rezystancja powinna
��C
wtedy wynosić: RT (�Idop )�=� RT +� D� RT (�Idop )�� 101,925W� +� 0,0193W� � 101,944W� ,
a w temperaturze J� = 100��C odpowiednio: D� RT (�Idop )� � 0,077W� oraz
RT (�Idop )�=� RT +� D� RT (�Idop )�� 135,8W� +� 0,077W� � 135,877W� .
Jeśli przyjąć D� RT (�Idop )� � +� 0,0193W� jako wartość dopuszczalną to przy mierzonej
temperaturze J� = 100��C błąd samopodgrzewania obliczony na podstawie zależności (2.48)
oraz (2.51) wyniesie d� � 0,05% , jeśli zaś przyjąć jako dopuszczalną wartość
I
D� RT (�Idop )�� 0,077W� obliczoną dla temperatury J� = 100��C to błąd ten przy temperaturze
J� = 25��C będzie równy d� � 0,8% .
I
Z przykładu 1 wynika, że błąd samopodgrzewania termorezystora d�I nie przekroczy
wartości dopuszczalnej w zakresie pomiarowym (J�min �� J�max ) wtedy, gdy spełniony będzie
warunek: d� (�J� )� Ł� d� .
I min dop
Biorąc pod uwagę zależności (2.47),...,(2.51) można napisać dla dopuszczalnego
prądu zasilania czujnika:
aAD�J�dop D�J�dop D�J�dop
Idop =� =� ka(�J� )��� =� ka(�J� )�
(2.52)
RT (�Idop)� RT +� D�RT (�Idop)� RT +� RT 0a� D�J�dop
R
gdzie ka� (�J�)� =� a A (2.53).
Z zależności (2.52) wynika, że dopuszczalny prąd zasilania czujnika Idop zależy nie
tylko od założonego dopuszczalnego błędu samopodgrzewania czujnika d�dop ale również
58
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
od współczynnika przejmowania ciepła a badanego ośrodka, mierzonej temperaturyJ� oraz
konstrukcji czujnika (rzeczywistej powierzchni wymiany ciepła A).
Analityczne wyznaczenie prądu dopuszczalnego z zależności (2.47) lub (2.52) nie
jest możliwe ze względu na nieznane rzeczywiste wartości współczynnika wymiany ciepła
a oraz rzeczywistej powierzchni wymiany ciepła A czujnika z badanym ośrodkiem. Jednak
można z dostateczną dla praktyki dokładnością wyznaczyć dopuszczalny prąd zasilania
czujnika metodą laboratoryjną. Metoda ta polega pomiarze zależności przyrostów
rezystancji czujnika w zależności od prądu zasilającego i znalezieniu takiego prądu przy,
którym w temperaturze dolnej granicy zakresu pomiarowego spełniona jest zależność
(2.51). Jeśli znany jest prąd dopuszczalny czujnika Idop to można przy pomocy zależności
(2.47) albo (2.52) wyznaczyć iloczyn (a�A) dla czujnika w temperaturze J� przy, której
został on wyznaczono prąd dopuszczalny. Można także wyznaczyć charakterystykę ka�(J�).
Charakterystyka ka�(J�) jest pomocna w przeliczaniu wskazań termometru na
wartości rzeczywistej temperatury badanego ośrodka innego niż ten, w którym
wzorcowano termometr. W przypadku termometru termistorowego mamy do czynienia z
nieliniową charakterystyką statyczną rezystancji termistora. Zwykle przedstawia się
charakterystykę statyczną termistora w odniesieniu do temperatury T0:
ć� ��
1 1
B �� -� ��
�� ��
T T0
Ł� ł�
RT =� RT e
(2.54)
0
gdzie: B  stała materiałowa termistora (dla większości termistorów B � 3820 K ),
RT0  rezystancja termistora w temperaturze odniesienia T0 ; T0 = 293K
(20��C) albo częściej przyjmowana temperatura T0 = 298K. (25��C).
Przyjmując dopuszczalny błąd pomiaru temperatury D�J� =� D�J� (�Idop)� można
dop
wyznaczyć dopuszczalny prąd zasilania termistora Idop oraz odpowiadający mu przyrost
rezystancji termistora. D�RT (I dop).
Na podstawie zależności (2.50) i (2.51) można wyznaczyć przyrost rezystancji oraz
rezystancję termistora zasilanego prądem dopuszczalnym w mierzonej temperaturze T
odpowiednio:
�� ��
ć� �� �� ł�
ć� ��
�� 1 1 1 1 ��
��
D� RT (�Idop)�=� RT (�Idop)� -� RT =� RT 0 exp B�� �� -� -� RT exp =�
ę�B �� -� ��ś� ż�
��
T +� D�Tdop T0 �� 0 �� �� T T0 ���� ��
��
Ł� ł�
Ł� ł�
�� ��
��
ć� D�Tdop ł�
��
��-� B ��
=� RT exp �� -�1
ę� ś�
��
T T +� D�Tdop �� ś�
ę�
Ł� ł�
�� ��
(2.55)
��
T0 -� T -� D�Tdop ł�
RT (�Idop )�=� RT +� D� RT (�Idop )�=� RT 0 exp (2.56).
ę�B ś�
T0 (�T +� D�Tdop)�
ę� ś�
�� ��
59
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
Przykład 2
Dla termistora o rezystancji początkowej RT0 = 1000W� w temperaturze T0 = 298K
(25��C) i stałej materiałowej B = 3820K w temperaturze T = 298K i przyjętym
dopuszczalnym przyroście D�Tdop � 0,6K z zależności (2.55) oraz (2.56) wyznacza się
wartości odpowiednio;
RT =� 1000W� , D�RT (�Idop)�� -� 25,4W� oraz RT (�Idop)�� 974,6W� zaś dla temperatury
T = 373K (100��C) wyznacza się:
RT =� 75,96W� , D�RT (�Idop)�� -�1,24W� , RT (�Idop)�� 24,72W� .
Dla przyjętego dopuszczalnego przyrostu temperatury termistora od prądu zasilania
D�Tdop � 0,6K względne zmiany jego rezystancji wynoszą odpowiednio:
D�RT (�Idop)�
-� 25,4W�
d� (�298K)� =� =� ��100% � -� 2,54%
R
RT 1000W�
-�1,24W�
oraz d� (�373K)�=� ��100% � -�1,63% .
R
75,96W�
Jeśli przyjąć dopuszczalny przyrost temperatury termistora równy
D�Tdop =�0,002 �� 373K � 0,75K to odpowiadający mu w tej temperaturze przyrost
rezystancji (5.10) wyniesie D�RT (�Idop)�� -�1,55W� co stanowi względny dopuszczalny
przyrost rezystancji termistora d� (�373K)�� -� 2,03% , a w temperaturze T = 298K będzie
R
wtedy odpowiednio: D�RT (�Idop)�� -� 31,67W� oraz d� (�298K)�� -� 3, .
17%
R
Przy tak dobranej wartości dopuszczalnego przyrostu temperatury termistora błąd pomiaru
temperatury T = 298K wynosiłby d� (�298K)�=� +� 3,0% zaś w temperaturze T = 373K byłby
T
równy założonej wartości d� (�373K)�=� +� 0,2% .
T
Z przytoczonych przykładów wynika, że zawsze należy wyznaczać prąd
dopuszczalny termorezystora dla dolnej granicy zakresu pomiarowego termometru, gdyż
wtedy w całym zakresie pomiarowym błąd samopodgrzewania nie przekroczy wartości
dopuszczalnej. Na rys.2.19 przedstawiono schemat układu pomiarowego do wyznaczania
prądu dopuszczalnego termometrów rezystancyjnych. W układzie tym mierzy się
rezystancję RJ� czujnika w połączeniu czterozaciskowym (metoda techniczna). Cyfrowe
przyrządy pomiarowe powinny zapewnić pomiar rezystancji badanych termorezystorów
z rozdzielczością 1mW� (10mW�).
60
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
UJ� IJ�
VC AC
Powietrze
M
Zasilacz
stabilizowany
Położenie A
czujnika
Rd
Położenie B
czujnika
Olej
Woda
Czujnik badany
Termostat kalorymetryczny
Rys.2.19. Schemat układu pomiarowego do wyznaczania prądu dopuszczalnego
termometrów rezystancyjnych.
2.5.3. Pytania kontrolne.
1. Co to jest prąd dopuszczalny czujnika temperatury?
2. Jak wpływa na błąd termometru wybór temperatury, przy której dobiera się prąd
dopuszczalny?
3. Czy rodzaj badanego ośrodka wpływa na błąd termometru wywoływany
podgrzewaniem prądem zasilającym?
4. Jakie są kryteria dobory prądu dopuszczalnego czujników rezystancyjnych? Uzasadnić
odpowiedz

5. Czy współczynnik wymiany ciepła ka zależy od konstrukcji termometru? W jaki sposób
można wyznaczyć ten współczynnik? Uzasadnić odpowiedz
.
6. Czy można wyznaczyć prąd dopuszczalny termometru dokonując jego pomiaru przy
dowolnej znanej temperaturze ośrodka i znanej charakterystyce statycznej termometru?
7. Czy o maksymalnej wartości prądu dopuszczalnego czujnika rezystancyjnego decyduje
jedynie jego dopuszczalna moc strat? Uzasadnić odpowiedz
.
2.5.4. Program ćwiczenia.
1. Przeprowadzić identyfikację układu pomiarowego na stanowisku laboratoryjnym.
2. Włączyć zasilanie przyrządów pomiarowych w celu ustabilizowania ich właściwości
termicznych.
3. Ustawić odpowiednie zakresy przyrządów pomiarowych (szczególną uwagę zwrócić
na zakres miliamperomierza).
61
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
4. Dla przyjętego dopuszczalnego błędu samopodgrzewania d�dop lub przyrostu
temperatury D�J�dop (D�Tdop - dla termistora) w podanych punktach zakresu
pomiarowego J�i obliczyć dopuszczalny przyrost rezystancji odpowiednio dla
badanego czujnika.
5. Przeprowadzić pomiary prądu dopuszczalnego w różnych temperaturach w dwóch
ośrodkach rozpoczynając od pomiarów powietrzu o temperaturze otoczenia
(położenie A czujnika na rys.2.19), a po ich zakończeniu w kąpieli olejowej w
termostacie (położenie B czujnika na rys.2.19). Warunki pracy termostatu ustalić tak,
aby temperatura kąpieli zmieniała się na tyle wolno, żeby możliwy był pomiar kilku
wartości prądów przy praktycznie stałej temperaturze kąpieli).
6. Dla przyjętego w trakcie ćwiczenia lub podanego przez prowadzącego
dopuszczalnego błędu wyznaczyć prąd dopuszczalny dla badanych środowisk
pomiarowych.
7. Dla przyjętych w ćwiczeniu wartości błędu d�dop lub D�J�dop wykonać obliczenia oraz
sporządzić wykresy zależności: d� RI =� f (�Idop)� , d� RI =� f (�J�)� oraz
J� =� const IJ� =�const
dRT
S =�
Idop =� const
d J�
8. Obliczyć współczynniki ka badanego czujnika dla ośrodka powietrznego i olejowego
lub wodnego.
1
Dla czujnika Pt100 przyjąć do obliczeń a�R =� 3,91��10-�3�� ł� .
ę��C ś�
�� ��
9. Porównać wyniki pomiaru i wyprowadzić wnioski.
Opracował Jan Leks.
2.6. BADANIE WA
AŚCIWOŚCI DYNAMICZNYCH
REZYSTANCYJNYCH CZUJNIKÓW TEMPERATURY
2.6.1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest eksperymentalne wyznaczenie charakterystyki dynamicznej
przemysłowych czujników termometrycznych w różnych ośrodkach pomiarowych.
Należy wyznaczyć parametry charakterystyczne badanych czujników opisane w p.2.3 oraz
dalej w części opisowej ćwiczeni. Ponadto należy znalez
ć funkcję do przeliczania
wskazania termometru na wartość rzeczywistej temperatury oraz określenie błędu
dynamicznego dla wybranych czasów pomiaru.
2.6.2. Wprowadzenie
W czasie ustalania się warunków termicznych w czujniku termometru w pomiarach
stałej temperatury (T = const.) albo w pomiarach szybko zmieniającej się temperatury
sygnał wyjściowy termometru Y zmienia się w czasie: Y = f(T, t). Wtedy wskazanie
termometru (w dalszym ciągu opisu zamiast wskazania termometru przyjmuje się dla
uproszczenia rozważań wartość sygnału Y na wyjściu czujnika) nie odpowiada
rzeczywistej wartości mierzonej temperatury. Jak wynika z p.2.2 rzeczywistą wartość
62
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
mierzonej temperatury można wyznaczyć na podstawie wskazania termometru tylko
wtedy, gdy znany jest przebieg czasowy sygnału czujnika. Przebieg ten może być
określony na podstawie charakterystyki statycznej i dynamicznej czujnika.
W praktyce zwykle znana jest rzeczywista charakterystyka statyczna termometru,
gdyż łatwo ją można wyznaczyć doświadczalnie w sposób opisany w ćwiczeniu 2.3 albo w
ćwiczeniu 2.4. W przedmiotowym ćwiczeniu rozpatruje się charakterystyki dynamiczne
rezystancyjnych czujników temperatury. Z treści opisu zamieszczonego w p.2.1 i p.2.2.3
tego rozdziału wynika, że właściwości dynamiczne czujnika zależą od jego konstrukcji
(cech konstrukcyjnych określających właściwości wymiany cieplnej w elementach
czujnika oraz z badanym ośrodkiem). Z tego opisu wynika także, że nie można wyznaczyć
rzeczywistej charakterystyki dynamicznej czujnika w sposób analityczny, gdyż nie znane
są rzeczywiste wartości współczynników wymiany cieplnej pomiędzy elementami czujnika
i badanym ośrodkiem. Można jednak wyznaczyć przybliżoną charakterystykę dynamiczną
czujnika metodą doświadczalno-analityczną.. Można w tym celu zmierzyć przebieg
czasowy sygnału wyjściowego czujnika będącego jego odpowiedzią na określony przebieg
czasowy temperatury badanego ośrodka (na przykład na skok lub rzadziej impuls
temperatury),a następnie wyznaczyć postać analityczną i parametry charakterystyki
dynamicznej czujnika za pomocą odpowiedniego dla konstrukcji czujnika modelu
dynamicznego. Strukturę i formułę matematyczną modelu dynamicznego czujnika zwykle
dobiera się tak, aby przy możliwie małej ilości uwzględnionych w nim parametrów
czujnika oraz ośrodka pomiarowego możliwe było wyznaczenie wartości mierzonej
temperatury z dostateczną dokładnością. Na rys.6.1 przedstawiono szkic fragmentu
konstrukcji czujnika rezystancyjnego (porównaj rys.2.2) oraz uproszczone modele
matematyczne przenoszenia ciepła w tej konstrukcji. Dynamiczne procesy cieplne
przebiegające w konstrukcji czujnika są odwzorowane w modelu przedstawionym na rys
rys.6.1b za pomocą odpowiedniej dla danej warstwy czujnika skupionej rezystancji
termicznej Rth i skupionej pojemności cieplnej Cth przy czym założeniu ich niezależności
od czasu i temperatury. Ponadto przyjęto równomierny rozkład temperatur na
powierzchniach poszczególnych elementów (warstw) czujnika. Na podstawie pomiaru
parametru termicznego XT czujnika (tutaj rezystancji RT termorezystora zależnej od
temperatury), charakterystyki statycznej i modelu dynamicznego czujnika można
wyznaczyć mierzoną temperaturę T. Przedstawiona na rys.2.20b struktura modelu
dynamicznego jest analogiem elektrycznego liniowego układu inercyjnego III-go rzędu. W
układzie tym temperatura odpowiada napięciu elektrycznemu, strumień cieplny jest
analogiem prądu elektrycznego, a rezystancje termiczne i pojemności cieplne odpowiadają
rezystancjom i pojemnościom elektrycznym. Poszczególne elementy (warstwy czujnika i
termorezystor pomiarowy) przez które przepływa ciepło od badanego obiektu do
termorezystora odwzorowane są w modelu jako kolejne wzajemnie obciążające się ogniwa
złożone z odpowiedniej dla elementu czujnika rezystancji Rth i pojemności cieplnych Cth.
63
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
a) b)
Osłona
qo Rtho qi Rthi qT RthT
l
T Ctho Ti1 Cthi Ti2 TT
CthT
qos
qT
T
qo
Termorezystor
c)
A-A
o
qo R qT RT
A A
T C TT
CT
o
Termorezystor
Warstwa izolacyjna
Rys.2.20. Szkic fragmentu konstrukcji czujnika rezystancyjnego  a), model
dynamiczny procesów cieplnych w czujniku  b), zredukowany model dynamiczny  c).
Dla struktury modelu pokazanej na rys.2.20b można wyznaczyć operatorową
funkcję przenoszenia mierzonej temperatury T (transmitancję operatorową) przez elementy
konstrukcyjne czujnika w postaci:
1
D�TT (�s)� =�
CT [�t� t� s2 +� (�t� t� +� CT Ri)�s +�1]���Y (�s)��� D�T(�s)� (2.57)
i T i T
gdzie:
D�T(� s )� =� D�[�T -�T0]�(� s )�, D�TT (� s )� =� D�[�TT -�T0]�(� s )�,
T0 - temperatura początkowa czujnika
�� ł�
Ci
t� t�T Co �� s2 +� (�t� +�t�T )�Co +�t�Ti Ci +� Co t� s +�
ę�
i i
CT 1 ś���
ę� ś�
�� ��
Y (�s)� =�
ć� ��
Ci ��
CT
��t� o i o T
t� t� t�T �� s3 +� t� +�t� t� +�t�o t�T +�t� t� +�t� t� �� s2 +�1
o i o i T o
��
Ci Co ��
,
Ł� ł�
+� Co +� Ci +� CT
ć�
CT Ci CT ��
��t�o ��
+� +�t�i +�t�T +�t�i +�t�o +�t� �� s +�1
��
Ci Co o Co ��
Ł� ł�
64
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
t� =� Rtho Ctho =� Ro Co , t� =� Rthi Cthi =� Ri Ci , t� =� RthT CthT =� RT CT .
o i T
Pojemność cieplną elementu x czujnika można opisać ogólną zależnością:
J
Cthx =� kx mx cpx �� ł� (2.58)
ę�
Kś�
�� ��
gdzie: kx  współczynnik zależny od kształtu elementu,
mx  masa elementu, cpx  ciepło właściwe materiału elementu.
Rezystancję cieplną elementu x czujnika cylindrycznego i płaskiego opisują
odpowiednio zależności:
1 1 dx+�1
Rthx =� �� �� ln (2.59)
p� l 2l� dx
x
1 gi 1
Rthx =� +� +� (2.60)
a�x A l�i A a�
x+�1
gdzie: dx i dx+1  odpowiednio średnica warstwy x i warstwy następnej,
l  długość elementu cylindrycznego,
gi  grubość warstwy izolacyjnej,
l�i i l�x  przewodności cieplne odpowiednio warstwy izolacyjnej i warstwy x,
a�x i a�x+1  współczynniki przejmowania ciepła warstwy x i następnej.
Zależności (2.59) i (2.60) opisują rezystancję termiczną termorezystorów, których
konstrukcję pokazano na rysunkach 2.6b i 2.6c. Obie pokazane tam konstrukcje mają
płaskie ściany warstw wymieniających ciepło z termorezystorem. Ze względów
praktycznych w wyrażeniach na funkcję przejścia temperatury dla czujnika przyjęto
przyrosty temperatur względem temperatury początkowej T0, którą najczęściej jest
temperatura otoczenia. Postać czasową funkcji przenoszenia temperatury w czujniku
można wyznaczyć z zależności (2.57) dokonując odwrotnej transformaty Laplace a. Ze
względu na złożoną postać formuły matematycznej odpowiadającej strukturze modelu
pokazanej na rys.2.20b w praktyce wykorzystuje się prostsze modele dynamiczne [3],
które można uzyskać w wyniku uproszczeń modelu podstawowego. W rzeczywistych
konstrukcjach czujników rezystancyjnych zwykle stosuje się cienką warstwę izolacyjną
wykonaną z materiału o możliwie dużej przewodności cieplnej l�. Warstwa ta zwykle
spełnia warunki: Cthi << Ctho oraz Cthi < Ctho.
Wynika stąd że, można pominąć w strukturze pokazanej na rys.2.20b pojemność
cieplną izolacji Cthi i zastąpić ją strukturą pokazaną na rys.2.20c. W strukturze modelu
pokazanej na rys.2.20c oznaczono: Ro , Co odpowiednio rezystancję i pojemność cieplną
osłony czujnika, CT pojemność cieplną termorezystora oraz RT zastępczą rezystancję
termiczną warstwy izolacyjnej Rthi i termorezystora RthT. Postać operatorową funkcji
przenoszenia temperatury (transmitancję operatorową) w czujniku odpowiadającą
modelowi dynamicznemu przedstawionemu na rys.2.20c opisuje wyrażenie:
D�TT (�s)� 1
HT (�s)� =� =� (2.61).
D�T(�s)� ć� ��
CT
��
t� t� s2 +� +�t� +�t�o �� s +�1
o T
��t� o T Co ��
Ł� ł�
65
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
Po przekształceniach zależności (2.61) otrzymuje się:
ć� ��
t� t�
1
1 2
�� ��
HT (�s)� =� (2.62)
��t� -�
t� -�t� s +� 1 t� s +� 1��
1 2 1 2
Ł� ł�
gdzie: t� , t�  stale czasowe czujnika;
1 2
��C ć� CT �� 2 ��ć� CT �� ł� CT ć� CT �� 2 ��
t� t�
�� ��
T T
T
�� ��
t� =� �� �� -� +�1�� +� 2 +� 1�� -� 2ś� �� +� �� �� (2.63),
��
1 ę��� �� ż�
�� ��
2 t� Co Co �� Co �� ��
o Ł� ł� Ł� ł�
��Co Ł� Co ł� �� ��
�� ��
��C ć� CT �� 2 ��ć� CT �� ł� CT ć� CT �� 2 ��
t� t�
�� ��
T T
T
�� ��
t� =� �� �� +� +� 1�� +� 2 +� 1�� -� 2ś� �� +� �� �� (2.64).
��
2 ę��� �� ż�
�� ��
2 t� Co Co �� Co �� ��
o Ł� ł� Ł� ł�
��Co Ł� Co ł� �� ��
�� ��
Z odwrotnej transformaty Laplace a zastosowanej do zależności (2.61) wyznacza się
postać czasową odpowiedzi czujnika na skok temperatury o amplitudzie D�T:
�� ��
�� ł�
ć� �� ć� ��
��1 1 t t
�� �� �� ��ś���
D�TT (�t)� =� -� t� exp -� -� t�2 exp -� D�T ��1(�t)� =�
ę�
��
1
�� �� �� ��ś�ż�
t� -� t� t� t�
�� 1 2 ę� 1 2
Ł� ł� Ł� ł�
�� ����
�� ��
(2.65)
��
��1 t� �� t� ć� t� -� t� ��ł� ć� ����
1 2
��-� 1 2 t ��ś� exp ��-� t ���� D�T ��1(�t)�
=� -� 1 -� exp
ę�
��
�� ��ś� �� ��ż�
t� -� t� t� t� t� t�
�� 1 2 ę� 1 1 2 1
Ł� ł� Ł� ł���
�� ��
�� ��
z warunkami; TT (�0)� =� T(�0)� =� T0 oraz D�TT (�0)� =� 0 .
Z zależności (2.65) wynika, że przebieg czasowy odpowiedzi termometru na zmianę
mierzonej temperatury T zależy przede wszystkim od stałych czasowych czujnika t� i t� ,
1 2
które są określone przez rezystancje i pojemności cieplne elementów czujnika
wymieniających ciepło w procesie pomiarowym.
Rozważając typowe konstrukcje czujników rezystancyjnych takie jak na rys.2.6
i rys.2.20a oraz zależności (2.57),...,(2.65) można stwierdzić, że właściwości dynamiczne
tych konstrukcji można odwzorowywać modelami, które można uzyskiwać poprzez
odpowiednie uproszczenie struktury modelu przedstawionej na rys.2.6b. Na przykład
w przypadku konstrukcji czujnika pokazanej na rys.2.20a, w której termorezystor
zbudowany w sposób jak na rys.2.6b, osłona jest cienka metalowa mamy do czynienia
z małą stałą czasową t�o (duża przewodność cieplna materiału osłony l�o, oraz mała wartość
Co wynikająca z małej masy osłony mo). Jeśli zaś osłona czujnika będzie grubościenna
metalowa to stała czasowa t�o zwiększy się w stosunku do wartości w poprzednim
przypadku w przybliżeniu proporcjonalnie do wzrostu masy osłony.
Analiza konstrukcji czujnika (porównaj rys.2.6b, rys.2.6c, rys.2.20a oraz wartości
współczynników cieplnych podanych w tablicy 2.5) pozwala na zgrubnie oszacowanie
66
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
stałych czasowych elementów czujnika oraz wybór odpowiedniego modelu dynamicznego.
Dla czujnika, którego rezystor ma budowę jak na rys.2.6c, a osłona jest cienka metalowa
można przyjmować model inercyjny II-go rzędu o małych wartościach stałych czasowych.
Jeśli zaś jego osłona jest metalowa grubościenna to mamy wówczas do czynienia z dużą
pojemnością cieplną i małą rezystancją termiczną osłony oraz rezystancją termiczną
termorezystora ale większą, a pojemność cieplną mniejszą niż dla poprzedniej konstrukcji.
W tym przypadku charakterystyka dynamiczna czujnika zależy przede wszystkim od
parametrów cieplnych osłony czujnika. Można więc pomijać wpływ parametrów cieplnych
pozostałych elementów czujnika i przyjmować dla takiego czujnika model inercyjny I-go
rzędu. Jeśli czujnik ma ceramiczną osłonę, która zwykle jest grubościenna należy
uwzględniać zarówno pojemność jak i rezystancję cieplną osłony. Wyznaczenie
charakterystyki dynamicznej czujnika z zależności (2.57) lub (2.62) jest możliwe
wówczas, gdy znana jest konstrukcja oraz parametry cieplne występujących w niej
materiałów. Wtedy posługując się zależnościami (2.58), (2.59) i (2.60) można wyznaczyć
stałe czasowe czujnika z zależności (2.63) i (2.64). Parametry cieplne elementów czujnika
można wyznaczyć posługując się odpowiednimi tablicami fizycznymi. W tablicy 2.5
podano przeciętne wartości współczynników cieplnych cp i l� wybranych materiałów
najczęściej wykorzystywanych w konstrukcjach czujników rezystancyjnych. oraz
ośrodków pomiarowych.
Tablica 2.5 .
Materiał cp [J/kg K]
l� [ J/s m K] Temperatura [��C]
Aluminium 909 210
0 �� 100
Miedz
390 384
0 �� 100
Nikiel 461 58,5
0 �� 100
Platyna 134 69,5
0 �� 100
Srebro 235 400
0 �� 100
Mika 871 0,53 20
Porcelana 1081 1,05 100
Powietrze suche 1000 0,026 20
Woda destylowana 4185 0,60 20
W ten sposób można wyznaczyć jedynie przybliżoną charakterystykę dynamiczną
pomimo konieczności przeprowadzenia wielu żmudnych obliczeń. W praktyce zwykle
korzysta się z tego sposobu w fazie projektowania konstrukcji czujników przy czym
dokonuje się zgrubnych oszacowań parametrów termicznych elementów projektowanej
konstrukcji. Użyteczne dla praktyki pomiarowej jest wyznaczenie rzeczywistej
charakterystyki dynamicznej czujnika z pomiarów jego sygnału wyjściowego przy
wymuszonym przebiegu zmian temperatury czujnika. Zwykle jest to wymuszenie skokowe
lub rzadziej impulsowe [3]. Znajomość charakterystyki dynamicznej czujnika jest
szczególnie istotna w przypadku krótkotrwałych pomiarów temperatury albo pomiarów
impulsowych. W taki sposób dokonuje się pomiaru wysokich temperatur lub pomiarów
w ośrodkach o dużej agresywności chemicznej. Można wówczas dokonywać przeliczeń
wskazań termometru na wartości rzeczywistych temperatur. Zapisanie rzeczywistej
charakterystyki dynamicznej czujnika w pamięci cyfrowego termometru automatycznego
[3] pozwala uniknąć konieczności przeliczania wskazań termometru oraz praktycznie
uniezależnić dokładność pomiaru temperatury od czasu pozostawania czujniku w badanym
ośrodku. W metodzie laboratoryjnej wyznaczania charakterystyki dynamicznej czujnika
67
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
nieistotna jest znajomość budowy czujnika gdyż polega ona jedynie na określeniu relacji
czasowej pomiędzy sygnałem wyjściowym (wskazaniem termometru) a sygnałem
wejściowym (przebiegiem czasowym mierzonej temperatury). Praktycznym sposobem
wyznaczania charakterystyki dynamicznej czujnika [3] jest pomiar czasowej odpowiedzi
skokowej termometru, a następnie wyznaczenie stosunku czasów przy, których sygnał
wyjściowy termometru osiąga określone poziomy na przykład 50% i 90% wartości
ustalonej. W zależności od wartości tego stosunku przyjmuje się odpowiednią funkcję
przejścia (transmitancję) h(t) termometru. Sposób wyznaczania czasów z pomiarów
czasowej odpowiedzi skokowej czujnika przedstawiono na rys.2.21. Dla wyznaczonych
tak czasów odpowiedzi wyznacza się z przyjętej funkcji h(t) stałe czasowe termometru.
Stałe czasowe można wyznaczyć rozwiązując układ równań uzyskanych z funkcji h(t)
poprzez podstawienie w miejsce h(t) wartości 0,5 oraz 0,9, a w miejsce t wartości t0,5 oraz
t0,9.
Y(�t)�
[%]
h(�t)�=�
YU
100
90
P0,9
80
70
60
50
P0,5
40
30
20
10
0 t
t0,5 t0,9
Rys.2.21. Sposób wyznaczania czasów t0,5 i t0,9 ze skokowej odpowiedzi Y(t)
czujnika temperatury.
W zależności od wartości stosunku czasów t0,5 i t0,9 wyznaczonych z pomiaru
odpowiedzi skokowej czujnika Y(t) przyjmuje się funkcję przejściową h(t) według
następującego kryterium:
t
t0,9 -�
t
ć� ��
dla <� 2,32 �� h (�t )� =� 1-� 1+� e
�� ���� t�
(2.66),
t0,5 t�
Ł� ł�
t t
-� -�
t0,9 t� t�
1 t� 2 t�
1 2
dla 2,32 Ł� <� 3,16 �� h (� t )� =� 1-� �� e +� �� e (2.67),
t0,5 t� -�t� t� -�t�
1 2 1 2
t
-�
t0,9
t�
dla 3,16 Ł� <� 3,50 �� h(�t )� =� 1 -� e (2.68),
t0,5
68
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
t
-�
t0,9 ć� t� ��
t�
op
�� ��
dla 3,50 Ł� <� 50 �� h (� t )� =� 1 +� -�1 e (2.69)
�� ��
t0,5 t�
Ł� ł�
gdzie; t�, t�1, t�2  stałe czasowe,
t�op  czas opóz
nienia odpowiedzi impulsowej,
(geometryczną interpretację tych stałych przedstawiono w p.2.2.3 na rys.2.14).
Funkcje przejściowe czujnika przedstawione wzorami (2.66),...,(2.69) odpowiadają
modelom dynamicznym termometrów, których odpowiedzi skokowe można opisać
ogólnymi zależnościami:
t
n -�
t�
i
T (� t )� =� T -�[�T -� T (� t =� 0 )�]��� e (2.70)
s s ��k i
i =�1
t
n -�
t�
i
oraz h (� t )� =� 1-� e (2.71)
��k i
i =�1
gdzie: ki  współczynniki stałe,
T  temperatura ustalona badanego ośrodka,
Ts(t)  temperatura bieżąca czujnika,
Ts(t = 0)  temperatura czujnika w chwili początkowej t = 0,
t�i  stałe czasowe.
Zależności (2.66),...,(2.69) wyprowadzono na podstawie ogólnych modeli
matematycznych oraz aproksymowanych przebiegów czasowych odpowiedzi skokowej
rzeczywistych czujników bez względu na budowę czujnika. Zaś zależność (2.65)
wyprowadzono przy uwzględnieniu konstrukcji czujnika. uwzględniają budowy czujnika.
Charakterystyki dynamiczne czujników przedstawione. Wzory (2.66),...,(2.69) są
dogodne do uwzględnienia w algorytmach przeliczających automatycznych termometrów
cyfrowych. Działanie automatycznych termometrów cyfrowych polega na pomiarze
sygnału wyjściowego czujnika w chwilach określonych częstotliwością zegarową
mikroprocesora, zapamiętywanie kolejnych chwilowych wartości tego sygnału, a następnie
dokonywaniu przeliczeń według algorytmu zapisanego w pamięci układu
mikroprocesorowego. Zwykle wskazywany wynik pomiaru jest średnią wartością
w określonym przedziale czasu np.0,5s. Duża liczba pomiarów sygnału czujnika w krótkim
czasie (znacznie krótszym od stałej czasowej czujnika), uśrednianie wyników pomiarów
oraz możliwość dokonywania ich przeliczeń według algorytmu uwzględniającego
charakterystykę dynamiczną czujnika pozwala uzyskiwać dużą dokładność pomiaru
temperatury praktycznie niezależną od czasu jego trwania. Dokładność pomiaru
temperatury w pomiarach krótkotrwałych albo przeprowadzanych metodą impulsową
istotnie zależy od dokładności określenia charakterystyki dynamicznej czujnika.
W praktyce zwykle wyznacza się funkcję przejścia temperatury dla czujnika z pomiaru
odpowiedzi czujnika na skok temperatury. W ćwiczeniu laboratoryjnym mierzy się
odpowiedz
skokową czujnika, a następnie poszukuje się odpowiedniej formuły
matematycznej wykorzystując zależności (2.66),...,(2.69).
Jeśli w czasie pomiaru czujnik jest wynurzony z ośrodka o temperaturze T na krótki
czas q� albo jeśli w tym czasie zmieni się temperatura ośrodka to temperatura czujnika
zmienia się według zależności:
69
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
t
dT(�q� )�
Ts(�t)� =� Ts(�0)�+� h(�t)���[�T(�0)�-� Ts(�0)�]�+� h(�t -�q� )��� �� dq� (2.72).
��
dq�
0
W przypadku liniowej zmiany temperatury badanego ośrodka i spełnionych
warunków;
T (�t)� =� T(�t)� =� T0 dla t <� 0
s
oraz T(�t)� =� u�T t +� T0 dla t ł� 0
gdzie u�T  prędkość wzrostu temperatury (może być także ujemna)
otrzymuje się z zależności (2.72) dla temperatury czujnika:
t
�� ł�
T (�t)� =� T(�t)�+�u�T ę� )�dq� -� tś� (2.73).
s
��h(�q�
��0 ��
Stąd dla czujnika o inercji I-go rzędu otrzymuje się:
t
-�
ć� ��
t�
�� ��
T (�t)� =� T(�t)�+� u�T t� -�1�� (2.74).
s
��e
Ł� ł�
W praktyce często można przyjmować liniową zmianę temperatury badanego
ośrodka, gdyż zwykle ma on dużą pojemność cieplną.
Producent termometru zwykle podaje jego stałą czasową czujnika w powietrzu oraz
w wodzie jako jeden z jego parametrów. Jeśli dokonuje się pomiaru temperatury w
warunkach dynamicznych w innym ośrodku to należy wówczas wyznaczyć dla tego
ośrodka stałą czasową gdyż ma on inną wartość współczynnika przejmowania ciepła
(zobacz p.2.2.3 zależność (2.34)). Współczynnik przejmowania ciepła dla powietrza
W W
wynosi a� � 33,6 zaś dla wody wynosi on a�w � 3654 . Według normy
p
K �� m2 K �� m2
VDE/VDI-3522 stałą czasową czujnika w ośrodku innym niż powietrze lub woda należy
wyznaczać ze wzoru:
W W
p
t� � t�w -� 0,01t� +� (�t� -�t�w)�a� jeśli 33,6 Ł� a�x Ł� 1500 (2.75)
x p p
a�w K �� m2 K �� m2
W W
w
albo t� � t� -� 0,01t� +� (�t� -�t�w)�a� jeśli 1500 Ł� a�x Ł� 3645 (2.76)
x w p p
a� K �� m2 K �� m2
p
gdzie t�x, t�p, t�w  stała czasowa odpowiednio w danym ośrodku, w powietrzu i w wodzie.
Charakterystykę dynamiczną czujnika temperatury można także wyznaczyć w sposób
graficzny albo graficzno-analityczny polegający na wyznaczeniu stałych czasowych
czujnika metodą stycznych do przebiegu czasowego odpowiedzi skokowej. Najlepiej
przeliczyć w tym celu wartości zmierzonego sygnału odpowiedzi skokowej czujnika Y(t)
(w ćwiczeniu laboratoryjnym jest to napięcie nierównowagi mostka UM) na wartości
�� ł�
Y (�t)�
z(�t)� =� lnę�1 -�
funkcji , sporządzić jej wykres, a następnie wyznaczyć stałe czasowe
YU ś�
�� ��
70
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
metodą stycznych. Należy przy tym określić na podstawie wykresu rząd inercji czujnika
(zwykle przyjmuje się inercję I-go albo II-go rzędu).
W przypadku badania termorezystora pracującego w układzie mostka jak na rys.2.26
mierzonym sygnałem Y jest napięcie nierównowagi mostka UM zależne od temperatury:
RN Rs -� R1R2
Y (�T )� =� UM (�T )� =� UZ =� kM (�T )���UZ (2.77)
(�R1 +� R )�(�R2 +� RN )�
s
Gdzie kM(T)  funkcja przetwarzania mostka. (wyrażenie zapisane w postaci ułamka).
Jeśli badanym czujnikiem jest termorezystor metalowy np. Pt100 to w zależności
(2.77) można przyjąć dla rezystancji Rs liniową jej zależność od temperatury:
R =� R [�1+�a� (�T -� T0 )�]� .
s s0 R
Ogólnie, funkcja przetwarzania mostka kM(T) jest nieliniowa. Dla przykładu na
rys.2.22 przedstawiono przebieg funkcji kM(T) w zakresie temperatur (0��100)��C dla
termorezystora Pt100. Do obliczeń tej funkcji przyjęto ponadto: T0 =293K (J�0 =20��C),
R1=100W�, R2=1000W� oraz RN =928,5W�.
x10 - 3 kM(T)
70,0
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
J�
0,0
0
[oC]
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-10,0
-20,0
Rys.2.22. Wykres funkcji przetwarzania mostka kM(T) dla przykładu podanego
powyżej. Linią przerywaną zaznaczono aproksymację liniową tej funkcji.
Z przebiegu funkcji kM(T) pokazanego na rys.2.22 wynika, że można w ćwiczeniu
laboratoryjnym w wąskim zakresie temperatur np. (20��80)��C pominąć nieliniowość tej
funkcji. Dla czujnika o inercji I-go rzędu przy dodatnim (narastającym)skoku temperatury
D�T=T-T0 sygnał wyjściowy zmienia się w czasie według zależności:
71
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
t
-� ��
t�
�� ��
Y (t) =� kM (�D�T )�ć�1-� e
(2.78)
�� ��
Ł� ł�
albo w przypadku ujemnego (opadającego) skoku:
t
-�
t�
Y (t) =� kM (�D�T )�e (2.79).
W stanie ustalonym jest : Y(�t)� =� YU =� kM (�D�T )� stąd można wyznaczyć:
YU
kM (�T )� =� (2.80).
T -� T0
t
-�
Y (�t)�
t�
h(�t)� =� =� 1-� e
Dla skoku narastającego oblicza się funkcję przejścia , a następnie
YU
przekształca się ją do postaci:
t
z(�t)� =� ln[�1-� h(�t)�]�=� -� (2.81).
t�
1
Wykresem zależności (2.81) jest prosta o współczynniku kierunkowym -�
t�
przechodząca przez początek układu współrzędnych {�t =� 0,h(�t)� =� 0}� pokazana na rys.2.23.
z(t)
0
t1 t2 t
z(t1)
D�z
z(t2)
D�t
Rys.2.23. Przebieg zależności h(t) w przypadku czujnika o inercji I-go rzędu.
Biorąc dwie dowolne chwile czasu t1 i t2 na podstawie rys.2.23 oraz zależności (2.81)
oblicza się stałą czasową t� �z zależności:
D�t t2 -� t1
t� =� -� =� -� (2.82)
D�z z(�t2)�-� z(�t1)�
albo na podstawie wartości ustalonej sygnału YU i wartości sygnału Y(t) w chwili t
z zależności:
72
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
-�1
�� ł�
ć� (�t)� ��
Y
��ś�
t� =� -� t -� (2.83).
ę�ln��1
��
YU ��ś�
ę�
Ł� ł�
�� ��
Jeśli zmierzony przebieg czasowy odpowiedzi skokowej czujnika jest taki jak na
rys.2.21 to można przyjąć, że mamy do czynienia z inercją II-go rzędu i zastosować
formułę taką jak dla układu inercyjnego I-go rzędu lecz z opóz
nieniem t�op (interpretację
graficzną takiego opisu przedstawiono na rys.2.12). Podobnie jak w poprzednim
przypadku można wyznaczyć zależność z(t). Na rys.2.24 przedstawiono przebieg funkcji
dla czujnika o inercji II-go rzędu.
z(t)
z
a
1,0
z(t1)
z(t2)
0 t1 t2 t
Rys.2.24. Przebieg zależności z(t) przy inercji II-go rzędu.
Na podstawie wykresu jak na rys.2.24 wyznacza się stałe czasowe:
t2 -� t1 za
t� =� t�op =� t� (2.84).
oraz
z(�t1)�-� z(�t2 )� za -�11
Należy zauważyć, że wyznaczanie charakterystyki dynamicznej na podstawie
wykresu może być obarczone znacznym błędem wynikającym zwykle z małej
rozdzielczości jego skali oraz z przyjmowania niedostatecznie dużej wartości dla chwili t1
zwłaszcza przy inercji wyższego rzędu niż pierwszy. Problematyczne jest tu określenie
rzędu inercji przy małych czasach opóz
nienia. Korzystniejsze jest wyznaczania tej
charakterystyki w sposób poprzednio opisany za pomocą zależności (2.66),...,(2.69).
2.6.2. Stanowisko laboratoryjne
Na rys.2.25 przedstawiono schemat stanowiska laboratoryjnego do badania
charakterystyki dynamicznej termorezystorów. Badany czujnik (termorezystor RT)
umieszcza się w sposób skokowy w ośrodku pomiarowym o określonej temperaturze.
Temperatura ośrodka pomiarowego jest stabilizowana za pomocą naczynia
kalorymetrycznego 1. W ćwiczeniu laboratoryjnym wykorzystuje się jako ośrodek
73
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
pomiarowy otoczenie (powietrze o temperaturze T0) oraz kąpiele wodne 2 o różnych
temperaturach. Kąpiele te znajdują się w dwóch naczyniach kalorymetrycznych1.
Temperaturę kąpieli kontroluje jest termometrem 3. Badany termorezystor RT włączony
jest w układ mostka 4 zasilanego stabilizowanym napięciem UZ. Mierzonym sygnałem
wyjściowym Y(t) jest napięcie nierównowagi mostka UM. Ponieważ napięcie UM jest
proporcjonalne do rezystancji Rs czujnika to przebieg czasowy tego napięcia jest taki sam
jak przebieg czasowy zmiany rezystancji czujnika. Rezystor RN w mostku pomiarowym
służy do równoważenia mostka (mostek zwykle równoważy się w temperaturze
początkowej T0). W chwili zanurzenia czujnika w kąpieli rozpoczyna się automatycznie
proces pomiaru i rejestracji napięcia nierównowagi mostka UM za pomocą
mikroprocesorowego rejestratora współpracującego z komputerem. Bieżące wartości
napięcia nierównowagi mostka są zapisywane w komputerze do pliku w formacie Excela
oraz przedstawiane w postaci wykresu h(t) na ekranie monitora.
4
T0
R1
3
R
s
A/D +
R2 RN
Rejestrator
UM
(� �m�P )
Zasilacz
UZ
stab.
T
Komputer
1 2
Rys.2.25. Schemat stanowiska do wyznaczania charakterystyki dynamicznej
termorezystorów w środowisku ciekłym.
Zapisane w komputerze wyniki pomiaru mogą być kopiowane na inne dyski
(dyskietki) i opracowywane dalej za pomocą innych urządzeń. W ćwiczeniu
laboratoryjnym dokonuje się jedynie pomiaru charakterystyk dynamicznych badanych
czujników rezystancyjnych zaś czynności związane z opracowaniem wyników pomiarów
dokonuje się w póz
niejszym czasie. Badania właściwości dynamicznych czujnika mogą
być dokonywane zarówno dodatnim jak i ujemnym skokiem temperatury. Dodatni skok
temperatury realizuje się przenosząc szybko badany czujnik z ośrodka o niższej
temperaturze do ośrodka o wyższej temperaturze. Ujemnym skok temperatury realizuje się
tak samo lecz przy odwrotnej relacji temperatur tych ośrodków.
Ze względu na właściwości pomiarowe przetwornika analogowo-cyfrowego
w układzie rejestratora cyfrowego należy zwracać uwagę na stan równowagi mostka
pomiarowego przed pomiarem każdej charakterystyki (napięcie UM na wejściu
przetwornika A/D powinno mieć dodatnią polaryzację).
2.6.3. Pytania kontrolne
1. Podać interpretację stałej czasowej czujnika
74
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
2. Czy w stanie ustalonym wskazania dwóch termometrów różniących się jedynie
stałymi czasowymi będą jednakowe? Uzasadnić odpowiedz
.
3. Czy wyższy rząd inercji czujnika oznacza większą stałą czasową? Uzasadnić
odpowiedz
.
4. Czy czas ustalania się odpowiedzi skokowej czujnika zależy od rzędu jego inercji?
Podać uzasadnienie odpowiedzi.
5. Czy stała czasowa czujnika temperatury od rodzaju ośrodka pomiarowego?
6. Jak wpływa konstrukcja czujnika temperatury na jego inercję?
7. Omówić wpływ właściwości cieplnych istotnych elementów konstrukcji czujnika
na jego charakterystykę dynamiczną.
8. Dlaczego charakterystykę dynamiczną czujnika temperatury wyznacza się
z pomiarów odpowiedzi skokowej?
9. Czy można wyznaczyć charakterystykę dynamiczna czujnika przy innych niż
skokowe rodzajach wymuszenia?
10. Jaki jest związek matematycznego modelu dynamicznego z budową czujnika?
Uzasadnić odpowiedz
.
11. Jak wpływa charakterystyka dynamiczna czujnika na dokładność pomiaru
temperatury? Uzasadnić odpowiedz
.
12. Czy właściwości cieplne elementów konstrukcji czujnika rezystancyjnego mają
wpływ na jego charakterystykę statyczną?
2.6.4 Program ćwiczenia
1. Przeprowadzić identyfikacje przyrządów pomiarowych i badanych czujników na
stanowisku laboratoryjnym.
2. Przyłączyć badany czujnik do zacisków układu mostkowego (rys.2.25), włączyć
napięcie zasilania mostka i zrównoważyć mostek za pomocą rezystora dekadowego
RN. Napięcie nierównowagi mostka kontrolować woltomierzem cyfrowym.
Zanotować wartości rezystancji w układzie mostka pomiarowego.
3. Załączyć zasilanie grzejnika w naczyniu kalorymetrycznym i po ustabilizowaniu
się temperatury kąpieli zmierzyć temperaturę kąpieli T oraz otoczenia T0.
4. Uruchomić komputer i wywołać program  Dynamika Termometrów .
5. Ocenić metodą oględzin konstrukcję czujnika i wybrać w programie komputera
odpowiedni dla niej czas rejestracji odpowiedzi skokowej.
6. Szybkim ruchem przenieść badany czujnik z ośrodka w, którym się dotychczas
znajdował do ośrodka o innej temperaturze np. z ośrodka o temperaturze T0 do
ośrodka o temperaturze T jednocześnie uruchamiając proces pomiaru i rejestracji
napięcia nierównowagi UM. W ten sposób zmierzyć odpowiedzi dla skoku
dodatniego i ujemnego badanych czujników. Dokonać pomiaru odpowiedzi
skokowych dla tego samego oraz różnych rodzajów ośrodka (woda-woda,
powietrze-woda i woda-powietrze).
7. Skopiować wyniki pomiarów zapisanych w pliku  Wyniki do zewnętrznego dysku
(dyskietki).
8. Na podstawie zmierzonych odpowiedzi skokowych badanych czujników obliczyć
oraz sporządzić wykresy funkcji h(t).
9. Na podstawie wykresów określić rząd inercji badanych czujników oraz wyznaczyć
ich stałe czasowe w powietrzu oraz w wodzie według opisanych sposobów.
75
2. Pomiar temperatury i badanie elektrycznych czujników termometrycznych
10. Wyznaczyć błędy dynamiczne jako różnice wartości zmierzonej odpowiedzi
skokowej czujników i wartości obliczonych ze znalezionych charakterystyk
dynamicznych.
11. Porównać wyznaczone charakterystyki z charakterystykami zmierzonymi oraz
przeprowadzić dyskusję ich różnic.
12. Wnioski z pomiarów.
Opracował: Jan Leks
76