6. OBWODY PR
DU ZMIENNEGO - WIADOMOÅšCI PODSTAWOWE
6.1. Klasyfikacja prądów ze względu na zmienność w czasie
Prąd zmienny jest to taki prąd, którego natężenie zmienia się w czasie. Podstawowymi
parametrami służącymi do opisywania podobnych, zależnych od czasu zjawisk fizycznych, są
wartości charakteryzujących je wielkości w konkretnej, rozważanej chwili czasowej, zwane
wartościami chwilowymi. W technice przyjęto jako normę, że wartości chwilowe oznacza się
małymi literami (np.: i, u, v, e, j). Istnieją jednak zwyczajowe wyjątki od tej reguły. Na przykład
wartości chwilowe wielkości opisujących pole magnetyczne oznacza się dużymi literami  H
(natężenie),  B (indukcja),  Ś (strumień magnetyczny). Aby uniknąć ewentualnych
nieporozumień (możliwych zwłaszcza
wtedy, gdy wartość chwilowa oznaczona
jest dużą literą) zastosowany symbol
można uzupełnić literą  t w nawiasie
(np.: i(t), u(t), v(t), e(t), j(t), H(t), B(t),
Ś(t)). Otrzymany w ten sposób symbol
jest jednocześnie symbolem wartości
chwilowej (w chwili czasowej  t ) oraz
symbolem zależności funkcyjnej danej
wielkości od czasu.
Klasyfikację prądów elektrycznych
ze względu na zmienność w czasie ich
Rys. 6.1. Klasyfikacja prądów ze względu na zmienność w czasie
wartości chwilowych pokazuje rysunek
6.1.
Prąd elektryczny jest prądem stałym wtedy gdy wartości chwilowe jego natężenia (w tym
znak, a więc zwrot prądu) pozostają niezmienne w czasie. Dotyczy to wszystkich innych
charakteryzujących go wielkości (napięć, potencjałów, sił elektromotorycznych, sił
prÄ…domotorycznych, itp.).
Wielkości charakteryzujące prądy stałe oznacza się dużymi literami (np.: I, U, V, E, J). Dla
natężenia prądu stałego słuszna jest zatem zależność:
i = I = const .
Prąd zmienny to prąd o takim natężeniu,
którego wartości chwilowe zmieniają się w funkcji
czasu (zmienność może przy tym polegać wyłącznie
na zmianie znaku, co odpowiada zmianie zwrotu
prÄ…du).
Wśród prądów zmiennych wyróżnia się
Rys. 6.2. PrÄ…d okresowy o okresie T
szczególną klasę prądów - prądy okresowe. Prąd jest
prądem okresowym jeżeli istnieje dla niego taki
przedział czasowy  T , że słuszna jest zależność:
i( t + T ) = i( t ) (6.1)
 T to okres przebiegu okresowego.
Odwrotność okresu to częstotliwość:
1
f = (6.2)
T
Jednostką okresu jest sekunda (1[T]= 1 s ), jednostką częstotliwości jest herc (1[f ]= 1 Hz ).
Okresowymi mogą być także napięcia jak również siły elektro- i prądomotoryczne.
- 3 -
Prąd przemienny to taki prąd zmienny okresowy, którego natężenie przyjmuje wartości
dodatnie i ujemne (płynie raz w jedną raz w drugą stronę) i dla którego słuszna jest zależność :
T
(6.3)
+"i( t )dt = 0
0
6.2. Wartość średnia, wartość skuteczna
Dla przebiegów okresowych można zdefiniować wartości opisujące przebieg  całościowo ,
za cały okres. Takimi wartościami są wartości średnie i wartości skuteczne danych wielkości
(natężeń, napięć, potencjałów, itp).
Wartość średnia wielkości okresowej jest to średnia arytmetyczna przebiegu czasowego
tej wielkości za okres. Dla prądu, fizycznie jest to natężenie takiego umyślonego prądu stałego,
który w czasie jednego okresu przenosi taki sam ładunek jak dany prąd okresowy.
Wartość średnią oznacza się dużą literą z indeksem  av albo z umieszczoną u góry kreską
(np.: Iav albo I ).
Wyznacza się ją (tu przykładowo wartość średnią natężenia prądu) z zależności:
T
1
Iav a" I = Å" t )dt (6.3)
+"i(
T
0
Dla przebiegu sinusoidalnego, a takie przebiegi okresowe najczęściej występują w praktyce,
jest:
2Ä„
2Ä„
I I
1
m m
I = Å" I sin(Ét )dÉt = Å"( - cos(Ét ) = Å"[- 1 - ( -1)]= 0 (6.3a)
av m
+"
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
0 0
Wartość średnia przebiegu sinusoidalnego wynosi zatem zero. Z tego powodu pojęcie
wartości średniej niezbyt nadaje się do opisywania prądów sinusoidalnie zmiennych. Wynikła
stąd potrzeba znalezienia wielkości bardziej do tego przydatnej. Taką  bardziej przydatną
wielkością jest wartość skuteczna.
Historycznie koncepcja wartości skutecznej związana jest z przyrządami pomiarowymi
cieplikowymi (cieplnymi), obecnie stosowanymi bardzo rzadko. Są to przyrządy, które do pomiaru
wielkości elektrycznych wykorzystują zjawisko nagrzewania się przewodnika na skutek
przepływu prądu. Najważniejszą ich częścią jest drucik grzejny, przez który przepływa mierzony
prÄ…d. Temperatura do jakiej nagrzewa siÄ™ taki
drucik zależy od natężenia prądu. W tradycyjnych
rozwiÄ…zaniach miernika, do jej pomiaru
wykorzystywane jest zjawisko rozszerzalności
cieplnej materiału (por. rys. 6.3.). Temperatura ta,
a w związku z tym także wskazanie miernika, nie
zależy od zwrotu prądu. Stąd przyrząd cieplikowy
można wyskalować prądem stałym, a następnie
używać do pomiaru prądu zmiennego. To co
wskazuje taki przyrząd nazwano wartością
skutecznÄ… (bo daje taki sam skutek energetyczny
Rys. 6.3. Budowa miernika cieplikowego
jak prąd stały, którego użyto do skalowania 1. drucik grzejny, 2. tzw.  mostek ,
3. nić jedwabna, 4. rolka ze wskazówką,
przyrządu). Jeszcze w latach 1930-tych wartości
5. sprężyna napinająca
skuteczne określane bywały jako  wartości
wskazywane przez przyrzÄ…dy cieplikowe .
Obecnie  wartości wskazywane przez przyrządy cieplikowe nazywane są wartościami
skutecznymi. Zatem wartość skuteczna natężenia prądu okresowego jest to natężenie takiego
umyślonego prądu stałego, który, przepływając przez rezystor o nie zmieniającej się rezystancji,
- 4 -
wydzieliłby na nim, w czasie jednego okresu, lub jego wielokrotności, taką samą ilość energii
cieplnej, jakÄ…, w tym samym czasie, wydziela dany prÄ…d okresowy.
Wynika stąd wzór na obliczanie wartości skutecznej natężenia prądu okresowego:
Stąd otrzymuje się poszukiwany wzór:
energia cieplna pobrana przez rezystor energia cieplna pobrana przez rezystor
o rezystancji R, w którym płynie o rezystancji R, w którym płynie prąd
umyślony prąd stały I: okresowy i( t ) o okresie T:
T
2
WT = R Å"i( t )2 dt
WT = R Å" I Å"T
+"
=
0
Ó!
T
2
R Å" I Å"T = Å"i( t )2 dt
+"R
0
StÄ…d:
T
1
I = Å" t )2 dt (6.4)
+"i(
T
0
Podobnie oblicza się wartości skuteczne innych wielkości charakteryzujących prąd
elektryczny. Na przykład wartość skuteczną napięcia wyznacza się z wzoru:
T
1
U = Å" t )2 dt (6.4a)
+"u(
T
0
Wzory te są wzorami definicyjnymi wartości skutecznych prądu i napięcia.
Wartość skuteczna jest więc pierwiastkiem ze średniej z wielkości podnoszonej do
kwadratu - po angielsku:  root mean square . Pierwsze litery tego anglojęzycznego terminu
używane są w tym języku (a więc w międzynarodowym języku nauki i techniki) jako stawiany
przy jednostkach indeks oznaczający wartość skuteczną. Przykładowo wartość skuteczną napięcia
równą 230 V zapisuje się jako 230 Vrms.
Wartość skuteczna danej wielkości to wartość tej wielkości dla prądu stałego równoważna
jej skutkami energetycznymi, stąd wartości skuteczne oznacza się tak jak wielkości prądu stałego,
a więc dużymi literami (np.: I, U, V, E, J).
Jak to wynika z definicji, wartość skuteczna jest zawsze rzeczywistą liczbą dodatnią.
Dzieląc wartość maksymalną (amplitudę) przebiegu przez jego wartość skuteczną
otrzymuje się pewien współczynnik, który może być użyty do obliczania tej wartości
maksymalnej na podstawie znajomości wartości skutecznej. Jest to współczynnik szczytu:
Wmaks
ksz = (6.5a)
Wsk
Definiuje się też współczynnik kształtu:
Wsk
k = (6.5b)
Wśr
Znajduje on zastosowanie przy skalowaniu mierników magnetoelektrycznych
wykorzystywanych do pomiarów wielkości sinusoidalnych. Mierzą one wartości średnie
przebiegów wyprostowanych, a wyskalowane są w wartościach skutecznych.
- 5 -
 6.3. Moc czynna, moc pozorna, współczynnik mocy
Wartości chwilowe mocy z jaką energia jest pobierana lub wydawana przez dwójnik, równe
są iloczynowi wartości chwilowych natężenia prądu płynącego w dwójniku i napięcia
charakteryzujÄ…cego pole elektryczne wymuszajÄ…ce ten prÄ…d:
p = u Å"i (6.6)
Wynika to z definicji napięcia i natężenia (por. pkt. 1.4 rozdz. 1. pierwszej części
niniejszego skryptu:  Elektrotechnika Teoretyczna. Prąd stały. ).
Jeżeli przebiegi prądu i napięcia są zmienne w czasie to zmienny jest także przebieg mocy.
Jeżeli przebiegi te są okresowe, to również przebieg mocy jest okresowy (okres tego przebiegu na
ogół jest inny niż okresy napięcia i prądu). Można zatem wyznaczyć jego matematyczną wartość
średnią. Wartość tę nazwano mocą czynną. Oznacza się ją dużą literą  P i wylicza z takiego
samego wzoru jak inne wartości średnie przebiegów okresowych:
T T
1 1
P = Å" p( t )dt = Å" t )Å"i( t )dt (6.7)
+" +"u(
T T
0 0
Moc czynną można także definiować fizycznie jako taką nie zmieniającą się w czasie moc,
która w ciągu jednego okresu spowoduje przepływ energii równy przepływowi energii
rozważanego przebiegu okresowego.
JednostkÄ… mocy czynnej jest wat (1[P]= 1 W ).
Status mocy czynnej w elektrotechnice trafnie określa jej anglojęzyczna nazwa  true
power - moc prawdziwa.
Iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu danego dwójnika elektrycznego nosi nazwę
mocy pozornej tego dwójnika. Oznacza się ją symbolem  S  :
S = U Å" I (6.8)
Pojęcia moc pozorna i moc czynna nie są stosowane w teorii obwodów prądu stałego. Dla
tych prądów moc pozorna jest równa mocy czynnej (i jest nazywana mocą, bez dodatkowych
dookreśleń). Inaczej jest w niektórych obwodach prądu zmiennego. Przesył energii z daną mocą
czynną (tj. daną mocą średnią) i przy danej wartości skutecznej napięcia, wymaga w tych
obwodach zastosowania natężenia prądu o większej wartości skutecznej niżby to było konieczne
gdyby moc czynna była równa mocy pozornej (i jak byłoby w obwodach prądu stałego).
Zazwyczaj dzieje się tak dlatego, że część energii dopływającej do odbiornika nie zamienia się w
nim na energię użyteczną, lecz jest tam magazynowana (w polach magnetycznych cewek i w
polach elektrycznych kondensatorów), a następnie zwracana do z
ródła. Oscyluje w ten sposób
bezproduktywnie pomiędzy odbiornikiem a z
ródłem, powodując zwiększenie wartości skutecznej
natężenia prądu.
Z tego powodu słuszna jest zależność:
S e" P (6.8)
Moc pozorna nie jest zatem wielkością opisującą rzeczywistą moc z jaką energia przepływa
pomiędzy odbiornikiem a z
ródłem. Jest ona maksymalną wartością mocy średniej (mocy
czynnej), z jaka energia mogłaby przepływać, przy danych wartościach skutecznych napięcia i
prądu, gdyby w obwodzie nie zachodziło zjawisko oscylacji energii, lub inne zjawiska
pogarszające ten przepływ. Określa więc jedynie optymalne warunki odniesienia dla procesów
rzeczywiście zachodzących przy transferze energii.
Aby wyraz
nie podkreślić, że moc pozorna nie jest rzeczywistą,  prawdziwą mocą
fizycznÄ…, nie mierzy siÄ™ jej w watach. JednostkÄ… mocy pozornej jest woltamper (1[S]= 1 VA).
Stosunek mocy czynnej danego dwójnika do jego mocy pozornej nosi nazwę
współczynnika mocy:
- 6 -
T
1
Å" i( t )dt
( t )
+"u
T
P P
0
 = = = (6.9)
S U Å" I T T
1 1
Å" dt Å" Å" dt
+"i2 +"u2
( t ) ( t )
T T
0 0
Z definicji współczynnika mocy i z zależności (6.8.) wynika, że współczynnik ten może
przyjmować wartości z przedziału (domkniętego) 0,1 :
0 d"  d" 1 (6.10)
Występowanie wartości współczynnika mocy mniejszej od jedności oznacza, że przepływ
energii odbywa się przy większych wartościach skutecznych prądu (lub napięcia) niż byłoby to
konieczne w warunkach optymalnych. Tak, jak gdyby z
ródło musiało wysyłać do odbiornika
jakąś dodatkową energię pobieraną następnie przez odbiornik, lecz nie zmieniającą się w nim
w energię użyteczną. Moc z jaką przesyłana miałaby być ta umyślona dodatkowa energia nosi
nazwę mocy biernej, w niektórych wypadkach nazywanej mocą nieczynną lub mocą
nieaktywną. Zjawisko to będzie szczegółowiej omawiane w dalszych rozdziałach niniejszego
podręcznika. W obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego tą nieużyteczną energią, występowanie
której opisuje moc bierna, jest energia rzeczywiście oscylująca pomiędzy odbiornikiem i z
ródłem.
Jednak występowanie mocy biernej może mieć za przyczynę także inne zjawiska fizyczne
(właśnie wtedy nazywana jest ona nie mocą bierną lecz mocą nieczynną).
PRZYKA
AD
Rozważmy obwód rezystancyjny z
wirującym łącznikiem o schemacie zastępczym
przedstawiony na rys. 6.4. A
Ä…cznik wiruje z
prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É = 2Ä„ / T , gdzie  T to czas
jednego obrotu łącznika. Podczas każdego obrotu
obwód jest zamkniÄ™ty jedynie przez czas  Ä  . W
związku z tym, w obwodzie płynie prąd zmienny
okresowy, mimo iż zasilany jest on przez z
ródło
Rys. 6.4. Obwód rezystancyjny z wirującym łącznikiem
prądu stałego.
Należy wyznaczyć moce pozorną i czynną
z
ródła, a także jego współczynnik mocy.
Z opisu funkcjonowania łącznika wynika, że przebieg wartości chwilowych prądu
płynącego w obwodzie, w tym przez z
ródło, dla jednego okresu zmienności opisuje zależność:
E
Å„Å‚
0 < t d" Ä
ôÅ‚
i( t ) =
òÅ‚Rs + Ro
ôÅ‚
0 Ä < t d" T
ół
2
Ä
ëÅ‚ öÅ‚
1 E E Ä
÷Å‚
Jego wartość skuteczna wynosi: I = dt = Å"
+"ìÅ‚
ìÅ‚
T Rs + Ro ÷Å‚ Rs + Ro T
íÅ‚ Å‚Å‚
0
Napięcie z
ródła: uz
r ( t ) = e( t ) = E
Stąd jego wartość skuteczna: U = E
z
r
Ä Ä
1 1 E E2 Ä
Moc czynna z
ródła: Pz
r = Å" (t) Å"i(t) dt = Å" Å" dt = Å"
z
r
+"u +"E
T T Rs + Ro Rs + Ro T
0 0
2
E Ä
Moc pozorna z
ródła: Sz
r = E Å" I = Å"
Rs + Ro T
- 7 -
Pz
r Ä
Współczynnik mocy: z
r = = , ( z
r < 1 gdy Ä < T )
Sz
r T
Współczynnik mocy jest mniejszy od jedności, co wskazuje na fakt nieoptymalnego
wykorzystywania z
ródła. W obwodzie występuje zatem moc nieczynna. Nie jest tu ona związana
z oscylacyjnym przepływem jakiejkolwiek energii. W tym wypadku nieoptymalność polega na
przerwach w przesyle energii. Właśnie dlatego natężenie prądu jest większe niż byłoby to
potrzebne do przesyłania energii z daną mocą czynną (mocą średnią) gdyby z
ródło było
wykorzystywane bez przerw (a więc optymalnie).
Z punktu widzenia z
ródła odbiornik (rezystor + łącznik) jest rezystorem o zmiennej
rezystancji (równej Ro lub " ). Jak widzimy obciążenie z
ródła stałego takim odbiornikiem, a
więc odbiornikiem niestacjonarnym, daje efekt występowania mocy nieczynnej.
6.4. PrÄ…d sinusoidalnie zmienny
Na zaciskach wykonanej z materiału przewodzącego ramki, umieszczonej w polu
magnetycznym i wirujÄ…cej z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ…  É (rys. 6.5a), skutkiem zjawiska indukcji
elektromagnetycznej, występuje napięcie (ściślej - pole elektryczne o napięciu) o przebiegu
czasowym pokazanym na rys. 6.5b.
Rys. 6.5. Napięcie sinusoidalnie zmienne a) powstawanie, b) przebieg w funkcji czasu
Przebieg ten można zapisać analityczne jako:
u( t ) = Um sin[É( t +Äu )] (6.11)
gdzie:
Um - amplituda napięcia;
Äu - czas jaki minÄ…Å‚ od chwili gdy napiÄ™cie miaÅ‚o wartość chwilowÄ… równÄ… zero
( przebieg przechodził przez zero ) do chwili kiedy rozpoczęto mierzenie czasu (chwili t = 0 ).
Zmienną niezależną jest tu czas (mierzony w jednostkach czasu, tj. w sekundach), zaś do
analitycznego zapisu musi zostać użyta funkcja trygonometryczna sinus (lub kosinus). Dziedziną
funkcji trygonometrycznych są kąty (mierzone w jednostkach miary kąta płaskiego, tj. w
radianach). StÄ…d zachodzi potrzeba przeliczania czasu na kÄ…ty - sekund na radiany. Stosowany tu
współczynnik przeliczeniowy nosi nazwÄ™ pulsacji (oznacza siÄ™ go maÅ‚Ä… greckÄ… literÄ…  É  ). Jego
wartość wynika z zależnoÅ›ci ÉÅ"T = 2Ä„ - okres funkcji sinus, równy  2Ä„ , musi być równoważny
okresowi przebiegu czasowego  T . Równoważność uzyskuje się za pomocą mnożenia przez
współczynnik przeliczeniowy.
- 8 -
Stąd wynika wzór na wyznaczanie pulsacji:
1
É = 2Ä„ = 2Ä„f (6.12)
T
1[<] rad
JednostkÄ… pulsacji jest radian na sekundÄ™ (1[É]= = 1 ).
1[ t ] s
Konkretna wartość pulsacji danego przebiegu sinusoidalnego wynika z prędkości kątowej
(też oznaczanej symbolem  É  - por. rys. 6.5a) z jakÄ… krÄ™ci siÄ™ wirnik prÄ…dnicy generujÄ…cej ten
przebieg (Sprawa jest nieco bardziej złożona, tak jest tylko wtedy gdy pole magnetyczne prądnicy
ma jedną parę biegunów).
W elektrotechnice przyjęło się, że przebiegi sinusoidalne przedstawiane są graficznie nie w
funkcji czasu lecz w funkcji iloczynu  Ét  , czyli odpowiadajÄ…cego czasowi kÄ…ta (por. rys. 6.6).
KÄ…t ten, dla danej chwili czasowej nosi nazwÄ™
kąta fazowego. Nazwa pochodzi stąd, że od
wartości tego kąta zależy w jakiej fazie
znajduje siÄ™ w danej chwili czasowej przebieg
(czy jest to faza narastania, czy faza osiÄ…gania
wartości maksymalnej, czy faza malenia, itd.).
Okresem tak przedstawianego przebiegu jest
kÄ…t peÅ‚ny (2Ä„), a zamiast czasu Äu , jaki minÄ…Å‚
od chwili gdy przebieg  przechodził przez
Rys. 6.6. NapiÄ™cie sinusoidalne w funkcji kÄ…ta Ét
zero do chwili gdy rozpoczęto obserwację
przebiegu (tj. do chwili gdy t = 0 ), wystÄ™puje odpowiadajÄ…cy temu czasowi kÄ…t ¨u = Ä Å"É ,
nazywany poczÄ…tkowym kÄ…tem fazowym.
Przebieg sinusoidalny (przykładowo - natężenia prądu) charakteryzują zatem następujące
parametry:
- amplituda: Imax , Im ;
1 É
- częstotliwość: f = = ;
T 2Ä„
2Ä„
- okres: T = ;
É
- pulsacja: É = 2Ä„f ;
- kÄ…t fazowy (w funkcji czasu) Å( t ) = Ét +¨I ;
- poczÄ…tkowy kÄ…t fazowy: Å( 0 ) = É Å"0 +¨I =¨I ;
- wartość średnia: Iav = 0 ;
Różna od zera jest wartość średnia przebiegu sinusoidalnego wyprostowanego
(jednopołówkowo i dwupołówkowo - por. rys. 6.7):
Ä„ Ä„
1 Im Im 1
Iav( j.p.) = Å" Im sin(Ét )dÉt = Å"( -cos(Ét ) = Å"[- ( -1) - ( -1)]= Im (6.13a)
+"
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„ Ä„
0
0
Ä„ Ä„
1 Im Im 2
Iav( d.p.) = Å" 2 Im sin(Ét )dÉt = Å"( -cos(Ét ) = Å"[- ( -1) - ( -1)]= Im (6.13b)
+"
2Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
0
0
- wartość skuteczna:
2Ä„ 2Ä„
1 1 1 Im
2
I = Å" Im sin2(Ét )dÉt = Im Å" Å" (6.14)
+" +"sin2(Ét )dÉt = Im 2Ä„ Å"Ä„ =
2Ä„ 2Ä„
2
0 0
- 9 -
Dla przebiegów sinusoidalnych słuszny jest więc wzór:
Im
I = (6.14a)
2
(To NIE JEST definicja wartości skutecznej, a jedynie wzór na jej wyliczanie dla
- wartość skuteczna:
Rys. 6.7. Prąd sinusoidalnie zmienny, wyprostowany a) jednopołówkowo b) dwupołówkowo
W Europie napięcie znamionowe instalacji elektroenergetycznych niskiego napięcia ma
wartość skuteczną U = 230 V (U = 230 Vrms ). Wartość maksymalna tego napięcia wynosi więc
Um = 2 Å" 230 V H" 325 V . CzÄ™stotliwość ma wartość f = 50 Hz . Odpowiada to okresowi
1 rad
T = = 0,02 s = 20 ms . StÄ…d wartość pulsacji - É = 2Ä„ Å" 50 H" 314 .
50 s
W Stanach Zjednoczonych i w niektórych innych krajach wartości te są następujące:
U = 110 Vrms , Um H" 155,6 V , f = 60 Hz ,
rad
&
T = 0,01( 6 ) s H" 16,7 ms , É H" 377 .
s
Przebiegi sinusoidalne majÄ…ce takÄ…
samą pulsację (np. przebiegi natężenia prądu i
wymuszającego ten prąd napięcia) noszą
nazwę przebiegów synchronicznych.
Dla przebiegów synchronicznych
można wyznaczać przesunięcie fazowe
jednego przebiegu względem drugiego. Na
ogół oznacza siÄ™ je maÅ‚Ä… greckÄ… literÄ…  Õ  . W
Rys. 6.8. Dwa synchroniczne przebiegi sinusoidalne
przypadku przebiegów z rys. 6.8 wynosi ono:
Õ =¨U -¨I (6.15)
Mówimy, że napiÄ™cie wyprzedza prÄ…d o kÄ…t  Õ  , albo, że prÄ…d opóz
nia siÄ™ o kÄ…t  Õ  w
stosunku do napięcia.
Suma przebiegów sinusoidalnych synchronicznych (o tej samej pulsacji) jest też
przebiegiem sinusoidalnym. Jej przebieg można wyznaczyć dodając do
siebie wyrażenia opisujące przebiegi składowe. Nie jest to jednak zbyt
proste.
Niech prÄ…dy i1 i i2 z rys. 6.9. majÄ… przebiegi:
Rys. 6.9. Sumowanie prądów
i1( t ) = I1m sin( Ét + ¨1 ) i i2( t ) = I2m sin( Ét + ¨2 ) . PrÄ…d i3 jest ich
- 10 -
sumÄ…: i3 = i1 + i2 .
Jego przebieg czasowy można wyznaczyć jako:
i3( t ) = I1m sin( Ét + ¨1 ) + I2m sin( Ét + ¨2 ) = I3m sin( Ét + ¨3 )
WartoÅ›ci I3m i ¨3 można wyznaczyć wykorzystujÄ…c tożsamoÅ›ci trygonometryczne:
i3( t ) = I1m sin(Ét +¨1 ) + I2m sin(Ét +¨2 )
= I1m [sin(Ét )cos¨1 + cos(Ét )sin¨1 ] +
+ I2m [sin(Ét )cos¨2 + cos(Ét )sin¨2 ] =
= sin(Ét )[ I1m cos¨1 + I2m cos¨2 ]
+ cos(Ét )[ I1m sin¨1 + I2m sin¨2 ] =
= sin(Ét )[ I1m cos¨1 + I2m cos¨2 ]
+ cos(Ét )[ I1m sin¨1 + I2m sin¨2 ]
To wyrażenie daje się przekształcać dalej, aż do postaci:
i3(t) = ( I1m cos¨1 + I2m cos¨2 )2 + ( I1m sin¨1 + I2m sin¨2 )2 Å"
I1m sin¨1 + I2m sin¨2
Å" sin(Ét + ar tg )
cos¨1 + I2m cos¨2
1m
Jak widać, obliczenia takie są pracochłonne nawet dla bardzo prostego przypadku. Właśnie
z tego powodu, już w XIX w. (pod jego koniec) elektrycy wymyślili metodę skutecznie je
upraszczającą. Jest nią metoda wskazów.
6.5. Metoda wskazów
Metoda wskazów odwołuje się do koła trygonometrycznego i do pojęcia wskazu
wirujÄ…cego.
Rys. 6.9. Prąd sinusoidalny i wskaz wirujący wartości maksymalnej
Wskaz wirujący wartości maksymalnej jest rodzajem ruchomego (wirującego) wektora,
który odwzorowuje przebieg czasowy wielkości sinusoidalnie zmiennej. Na rys. 6.9. pokazano
przykładowo wskaz wartości maksymalnej natężenia prądu. Ma on długość równą amplitudzie
odwzorowywanego przebiegu, umieszczony jest w początku układu współrzędnych i obraca się w
kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ…  É  , równÄ… pulsacji
przebiegu. Rzutując koniec takiego wektora na oś rzędnych ( oś igreków ), można na niej
odczytywać wartości chwilowe natężenia prądu dla chwil  t , odpowiadających kątom
 Ét + ¨I  . W chwili  t = 0 , a wiÄ™c w umownej chwili rozpoczÄ™cia pomiaru czasu, wskaz
nachylony jest w stosunku do osi odciÄ™tych ( osi iksów ) pod kÄ…tem  ¨I  . Na tzw. wykresach
wskazowych, wykorzystywanych jako rodzaj graficznego odwzorowania przebiegów
sinusoidalnych, rysowany jest on właśnie w tym położeniu.
Takie odwzorowanie, dzięki swojej prostocie, przydatne jest przy porównywaniu wielu
przebiegów, zwłaszcza przy określaniu ich wzajemnych przesunięć fazowych. Jednak największą
- 11 -
zaletą tej metody przedstawiania przebiegów sinusoidalnych jest to, że dodane do siebie
geometrycznie wskazy dwu synchronicznych przebiegów sinusoidalnych dają wskaz przebiegu
sinusoidalnego będącego ich sumą. Pokazano to na rys. 6.10.
Długość wskazu otrzymanego w wyniku geometrycznego dodawania wskazów składowych
jest równa amplitudzie tego sumarycznego przebiegu, kąt jaki ten wskaz tworzy z osią odciętych
(osią  iksów ) w chwili  t = 0 jest jego początkowym kątem fazowym.
Gdy wskaz ten obracać ze zwrotem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (jak na
Rys. 6.10. Dodawanie prądów sinusoidalnych
jako wskazów wirujących wartości maksymalnej
rysunku), jego rzuty na oś rzędnych ( oś igreków ), dla kolejnych kątów jaki wskaz tworzy z osią
odciętych ( oś iksów ) odpowiadających kolejnym chwilom czasowym, dają wartości chwilowe
prÄ…du i3( t )
W praktyce stosowane są nie wskazy wartości maksymalnych, a wskazy wartości
skutecznych. Różnią się one od wskazów wartości maksymalnych tym, że mają długość równą
wartości skutecznej danej wielkości. Są zatem 2 razy krótsze od wskazów wartości
maksymalnej, stąd uzyskane za ich pomocą wartości chwilowe przebiegów czasowych trzeba
przemnażać przez 2 .
PRZYKA
AD I:
Dane są dwa synchroniczne prądy sinusoidalne o natężeniach:
i1( t ) = 3 2 sin( 314t ) A i i2(t) = 5,657cos(314t) A
Należy wyznaczyć przebieg wartości chwilowych prądu będącego ich sumą:
i3( t ) = i1( t ) + i2( t )
Zastosujmy metodę wskazów wartości skutecznej:
Jest:
I1max 3 2
I1 = = = 3 A , ¨1 = 0 rad ;
2 2
Ä„
i2( t ) = 5,657 cos( 314t ) A = 4 2 sin( 314t + ) A ;
2
(funkcję kosinus musi zostać zamieniona na funkcję
sinus, bo właśnie tej drugiej przyporządkowywany jest wskaz)
I2 max 5,657 Ä„
I2 = = = 4 A , ¨2 = rad ;
2
2 2
Wskazy są nawzajem prostopadłe, stąd do wyznaczania
długości będącego ich sumą wskazu warto zastosować
twierdzenie Pitagorasa:
2 2
Rys. 6.11. Dodawanie wskazów prądu
I3 = I1 + I2 = 32 + 42 = 5 A
- 12 -
PoczÄ…tkowy kÄ…t fazowy ¨3 można wyliczać stosujÄ…c funkcje trygonometryczne:
I2 4
¨3 = arc tg = arc tg H" 0,927 rad (H" 53,13o )
I1 3
Jest zatem:
i3(t) = I3 2 sin(Ét + ¨3) H" 5 2 sin(314t + 0,927 ) H" 5 2 sin(314t + 53,13o ) A
KÄ…t (Ét ) jaki siÄ™ otrzymuje mnożąc pulsacjÄ™ przez czas ma wartość wyrażonÄ… w radianach -
jednostkach układu SI. Stąd kąt początkowego przesunięcia fazowego także powinien być
wyrażony w radianach (aby jedne dane wymiarami pasowały do drugich). Jednak podawane w
radianach wartości kątów nie są  intuicyjne - wiemy  mniej więcej jaki to jest kąt  53,13o  ,
mało kto ma podobne wyobrażenie o kącie  0,927 rad  . Stąd elektrycy do określania wielkości
kątów stosują również stopnie (może nawet częściej od radianów).
PRZYKA
AD II:
Niech prÄ…dy i1( t ) i i2( t ) majÄ… przebiegi:
Ä„
i1( t ) = 3 2 sin( 314t + ) A
3
Ä„
i i2( t ) = 5,657 sin( 314t + ) A
6
Należy wyznaczyć: i3( t ) = i1( t ) + i2( t )
Jest:
Ä„ Ä„
I1 = 3 A ¨1 = rad i I2 = 4 A ¨2 = rad
Rys. 6.12a. Dodawanie wskazów prądu
3 6
Tym razem wskazy reprezentujÄ…ce prÄ…dy i1( t ) i i2( t )
nie są wzajemnie prostopadłe, stąd obliczenia nie będą już tak proste jak w poprzednim
przykÅ‚adzie. Do wyznaczenia wartoÅ›ci I3 i ¨3 potrzebna jest znajomość twierdzeÅ„
trygonometrycznych i - co ważniejsze - wymaga to sporego nakładu pracy. Najprościej wylicza
się te parametry dodając do siebie rzuty wskazów na osie odciętych i rzędnych. Takie rzuty
nazywane są w elektrotechnice składowymi ortogonalnymi (prostopadłymi).
Ä„
I1x = I1 cos ¨1 = 3Å" cos( ) = 1,5 A ,
3
Ä„
I1y = I1 sin ¨1 = 3Å" sin( ) H" 2,598 A
3
Ä„
I2x = I2 cos ¨2 = 4 Å" cos( ) H" 3,464 A ,
6
Ä„
I2y = I2 sin ¨2 = 4 Å" sin( ) = 2 A
6
I3x = I1x + I2x H" 1,5 + 3,464 = 4,964 A ,
I3y = I1y + I2y H" 2,598 + 2 = 4,598 A
2 2
I3 = I3x + I3y H" 4,9642 + 4,5982 H" 6,766 A
I3x 4,964
Rys. 6.12b. Dodawanie wskazów prądu metodą
¨3 = arc tg H" arc tg H" 0,747 rad ( H" 42,8 o )
dodawania ich składowych
I3y 4,598
Jest zatem: i3( t ) H" 6,766 2 sin( 314t + 0,747 ) A
- 13 -
 6.6. Metoda symboliczna
Metoda wykresów wskazowych ułatwia obliczanie przebiegów sinusoidalnych. Zamiast
dodawać funkcje czasu, co jest zajęciem dość skomplikowanym i pracochłonnym, dodaje się do
siebie (geometrycznie) reprezentujące je wskazy. Najprościej robi się to dodając do siebie rzuty
wskazów na osie układu współrzędnych, zwane ich składowymi ortogonalnymi.
Elektrycy znalez
li sposób, by jeszcze uprościć,  zautomatyzować te obliczenia. Efekt ten
daje zastosowanie liczb zespolonych.
jÄ…
Reprezentacją liczby zespolonej Z = Z e = a + ib na płaszczyz
nie liczb zespolonych jest
wektor o długości  Z i o początku w początku układu współrzędnych, nachylony względem osi
liczb rzeczywistych pod kątem równym  ą  . Dodawanie liczb zespolonych polega na dodawaniu
(geometrycznym) reprezentujących je wektorów.
Pasuje to idealnie do wskazów odwzorowujących przebiegi sinusoidalne. Można je zatem
utożsamiać z wektorami reprezentującymi liczby zespolone i nadawać im wartości zespolone.
Metoda, w której wskazy zapisuje się używając liczb zespolonych nosi nazwę metody
symbolicznej. Jej autorem jest irlandzki uczony Arthur Edwin Kennelly (był synem oficera
pokładowego, sam przez krótki czas pracował jako elektryk okrętowy).
Stosując metodę symboliczną wskazowi wartości skutecznej odwzorowującemu przebieg
w( t ) (gdzie w( t ) to przebieg czasowy sinusoidalnego napięcia, natężenia, sem itd.), o długości
Wmax
W = i o kącie nachylenia względem osi odciętych (początkowym kącie fazowym
2
j¨W
przebiegu) równym ¨W przyporzÄ…dkowuje siÄ™ liczbÄ™ zespolonÄ… W Å" e o module W i
argumencie ¨W (reprezentuje ona wskaz,  symbolizuje go - stÄ…d nazwa metody). Wartość ta
nosi nazwę wartości skutecznej zespolonej. W efekcie takiego przyporządkowania,
geometryczne dodawanie wskazów wartości skutecznych zostaje zastąpione arytmetycznym
dodawaniem wartości skutecznych zespolonych.
W elektrotechnice, w odniesieniu do liczb zespolonych, zwyczajowo stosuje siÄ™ nieco inne
oznaczenia niż w matematyce. Przede wszystkim liczba urojona jest tu oznaczana literą  j , a nie
 i - litera  i zarezerwowana jest dla oznaczania natężenia prądu. Istnieją też trzy różne
konwencje oznaczania wartości zespolonych wielkości elektrycznych, przy czym dwie z nich
występują  równolegle . Rzadziej spotyka się i inne.
Tabela 6.1
konwencja wartość zespolona moduł wartości zespolonej
j¨
przestarzała, używana do połowy lat 1960-tych, I
Î = I Å" e
spotykana w starych podręcznikach bez wyróżniania
symbol  z daszkiem
aktualna, spotykana w niektórych podręcznikach
j¨
I
I = I Å" e
(np. Cholewicki T.: Elektrotechnika teoretyczna.
symbol wartości bezwzględnej
bez wyróżniania
WNT. 1973 i inne wyd..), a także w publikacjach
- na ogół niekonsekwentnie
zagranicznych
j¨
aktualna, najpopularniejsza, ta którą będziemy I
I = I Å" e
stosować bez wyróżniania
symbol podkreślony
Niektóre kalkulatory wykonują działania na liczbach zespolonych. Pracujący w zawodzie
inżynier elektryk powinien mieć taki kalkulator. Powinien jednak także umieć radzić sobie i bez
niego.
- 14 -
W bardziej zaawansowanych rozważaniach teoretycznych, reprezentację sinusoidalnej
funkcji czasu poprzez wartość skuteczną zespoloną wyprowadza się przy pomocy tzw.
transformacji Fouriera. Zapoznamy siÄ™ z niÄ… w dalszym toku studiowania elektrotechniki.
PRZYKA
AD III:
Wyznaczmy raz jeszcze prąd i3( t ) z poprzedniego przykładu. Tym razem zastosujmy
metodÄ™ symbolicznÄ….
Ä„ Ä„
Jest: i1( t ) = 3 2 sin( 314t + ) A i i2( t ) = 5,657 sin( 314t + ) A
3 6
Należy wyznaczyć: i3( t ) = i1( t ) + i2( t )
Przedstawmy przebiegi za pomocą ich wartości skutecznych zespolonych:
Ä„
j
Ä„
3
I1 = 3 A ¨1 = rad stÄ…d: I1 = 3 Å" e A
3
Ä„
j
Ä„
6
I2 = 4 A ¨2 = rad stÄ…d: I2 = 4 Å" e A
6
Ä„ Ä„
j j
3 6
I3 = I1 + I2 = 3 Å" e + 4 Å" e H" 4,9641 + j4,598 A
Aby można było wyznaczyć przebieg wartości chwilowych prądu i3( t ) trzeba
przekształcić I3 z postaci algebraicznej do postaci wykładniczej:
j0,747
I3 H" 4,9641+ j4,598 H" 6,7664 Å" e A
PrÄ…d i3( t ) ma przebieg: i3( t ) = 6,7664 2 sin( 314t + 0,747 ) A
6.7. Odbiornik liniowy, pasywny - impedancja, admitancja, prawo Ohma
Odbiornik liniowy, pasywny jest to taki odbiornik, który nie zawiera ani elementów o
charakterystykach nieliniowych, ani elementów z
ródłowych. Jeżeli do zacisków takiego
odbiornika przyłożyć napięcie sinusoidalne (ściślej - pole elektryczne o napięciu sinusoidalnie
zmiennym):
u( t ) = U 2 sin( Ét + ¨U )
to również płynący pod wpływem tego napięcia prąd jest prądem okresowym, sinusoidalnym, o
takiej samej pulsacji (a więc synchronicznym z napięciem):
i( t ) = I 2 sin( Ét + ¨I )
Rys. 6.13. Odbiornik liniowy, pasywny w obwodzie
Rys. 6.14. Prąd i napięcie odbiornika liniowego,
prÄ…du zmiennego
pasywnego w obwodzie prÄ…du zmiennego
- 15 -
Wartość skuteczna prądu jest wprost proporcjonalna do wartości skutecznej napięcia:
U I (6.16a)
zaś przesunięcie fazowe miedzy prądem i napięciem jest (dla danego odbiornika) stałe i nie
zależy od wartości skutecznej napięcia:
¨U -¨I = const = Õ (6.16b)
Dla wielkości nawzajem proporcjonalnych można wyznaczać współczynnik
proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i
U
napięcia Z = nosi nazwę impedancji. Termin ten pochodzą od łacińskiego impedio -
I
przeszkadzam, tamujÄ™, stojÄ™ na zawadzie.
Odbiornik pasywny, liniowy w obwodzie prądu zmiennego charakteryzują więc jego
impedancja  Z i przesuniÄ™cie fazowe pomiÄ™dzy prÄ…dem i napiÄ™ciem  Õ  . ZnajÄ…c te wielkoÅ›ci
można na podstawie znajomości przebiegu prądu wyznaczyć wartość skuteczną wymuszającego
ten prąd napięcia, a także jego początkowy kąt fazowy:
U = Z Å" I
Å„Å‚
(6.17)
òÅ‚
U
ół¨ =¨I + Õ
Zależności te stanowią prawo Ohma dla obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego.
Jeżeli na podstawie znajomości przebiegu napięcia wyznaczony ma być prąd wygodniej jest
stosować inną postać prawa Ohma dla przebiegów sinusoidalnych:
I = Y Å"U
Å„Å‚
(6.18)
òÅ‚¨ =¨U -Õ
ół I
1 I
gdzie: Y = = to współczynnik proporcjonalności, który nazwano admitancją.
Z U
I ta nazwa ma łaciński z
ródłosłów. Pochodzi od
czasownika admitto - dozwalam, przyjmujÄ™.
Impedancja i admitancja, definiowane jako
współczynniki proporcjonalności pomiędzy napięciem i
prądem oraz prądem i napięciem, mają takie same
jednostki jak rezystancja i konduktancja, definiowane
identycznie, lecz dla obwodów prądu stałego:
1V 1A
[Z]= 1 = 1&! , [Y]= 1 = 1S
1A 1V
Sinusoidalnie zmienne napięcie i sinusoidalnie
zmienny prąd mogą być reprezentowane za pomocą
wskazów swoich wartości skutecznych. Wskazy te,
Rys. 6.15. Odbiornik liniowy, pasywny - wykres
narysowane w skali i umieszczone na jednym rysunku,
wskazowy napięcia i prądu
tworzÄ… tzw. wykres wskazowy (rys. 6.15).
Wskazy można zapisać za pomocą liczb zespolonych, jako wartości skuteczne zespolone:
j¨U j¨I
U = U Å" e i I = I Å" e
Jeżeli do wyrażenia na wartość skuteczną zespoloną napięcia podstawić zależności z prawa
Ohma (6.15) otrzymuje siÄ™:
j¨U j( ¨I +Õ ) jÕ j¨I
U = U Å" e = Z Å" I Å" e = Z Å" e Å" I Å" e
jÕ j¨I
WprowadzajÄ…c oznaczenie Z = Z Å" e i uwzglÄ™dniajÄ…c, że I = I Å" e otrzymuje siÄ™
wyrażenie na prawo Ohma w zapisie symbolicznym:
U = Z Å" I (6.19)
jÕ
Wielkość Z = Z Å" e to impedancja zespolona. Jest ona współczynnikiem
proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi zespolonymi napięcia i prądu:
- 16 -
U U
jÕ j(¨U -¨I )
Z = = Z Å" e = Å" e (6.20)
I I
Jej modułem jest impedancja, czyli współczynnik proporcjonalności pomiędzy wartościami
U
skutecznymi napięcia i prądu danego odbiornika ( Z = ), zaś argumentem - stałe (dla danego
I
odbiornika) przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegami czasowymi napięcia i prądu
(Õ =¨U -¨I ). Impedancja zespolona opisuje wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci odbiornika liniowego, pasywnego
jako elementu obwodu prÄ…du sinusoidalnie zmiennego.
Równoważną ( dualną ) postać prawa Ohma w zapisie symbolicznym otrzymuje się
wyznaczając napięcie na podstawie znajomości natężenia prądu:
j¨I j(¨U -Õ) j¨U
I = I Å" e = Y Å" U Å" e = Ye- jÕ Å" Ue
j¨U
WprowadzajÄ…c oznaczenie Y = Y Å" e- jÕ i uwzglÄ™dniajÄ…c, że U = U Å" e otrzymuje siÄ™
wyrażenie:
I = Y Å"U (6.21)
Wielkość Y = Y Å" e- jÕ to admitancja zespolona. Jest ona współczynnikiem
proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi zespolonymi prądu i napięcia:
I I
j(¨ -¨U )
I
Y = = Y Å" e- jÕ = Å" e (6.22)
U U
Jej modułem jest admitancja - współczynnik proporcjonalności pomiędzy wartościami
I
skutecznymi prądu i napięcia występujących w danym odbiorniku - Y = , zaś argumentem stałe
U
przesuniÄ™cie fazowe pomiÄ™dzy przebiegami czasowymi prÄ…du i napiÄ™cia - ¨I -¨U .
Admitancja zespolona jest odwrotnością impedancji zespolonej. Zatem zawiera te same co
tamta informacje o odbiorniku liniowym, pasywnym w obwodzie prÄ…du sinusoidalnie zmiennego,
jedynie inaczej zapisane.
PRZYKA
AD
Ä„
Rozważmy odbiornik, którego prąd ma przebieg czasowy i( t ) = 5 2 cos( 314t + ) A przy
6
napięciu o przebiegu u( t ) = 230 2 sin( 314t ) V . Do odbiornika tego przyłożono napięcie o
Ä„
przebiegu czasowym u' ( t ) = 24 2 sin( 314t + ) V . Należy wyznaczyć przebieg prądu przy tym
3
nowym napięciu, a także wskazania woltomierza i amperomierza mierzącego napięcie i natężenie
prÄ…du.
Wartości skuteczne zespolone napięcia i prądu wynoszą:
2
j Ä„
j0
3
U = 230Å" e = 230 V oraz I = 5Å" e A
Admitancja zespolona odbiornika ma więc wartość:
2
j Ä„ 2
j Ä„
3
I 5 Å" e
3
Y = = H" 0,02174Å" e S
U 230
Nowe napięcie ma wartość skuteczną zespoloną:
Ä„
j
3
U ' = 24 Å" e V
Wartość skuteczną zespoloną nowego prądu można wyliczyć jako:
- 17 -
2 Ä„
j Ä„ j
jĄ
3 3
I' = Y Å"U ' H" 0,02174Å"e Å" 24Å"e H" 0,5218Å"e A
Tak więc wartość skuteczna prądu wynosi I' H" 0,52176 A ;
Jego poczÄ…tkowy kÄ…t fazowy ma wartość ¨I ' = Ä„
Stąd nowy prąd ma następujący przebieg wartości chwilowych:
i'(t) H" 0,52 Å" 2 sin(314t + Ä„ ) H" -0,164 Å" sin(314t) A
Woltomierz i amperomierz mierzą wartości skuteczne odpowiednio napięcia i prądu, zatem
ich wskazania wynoszÄ…: UV = 24 V i I E" 0,52 A
A
- 18 -