Politechnika Wrocławska
Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
N
Materiał ilustracyjny
do przedmiotu
ELEKTROTECHNIKA
(Cz. 2)
*
*
ProwadzÄ…cy:
.
Dr inż. Piotr Zieliński (I-29, A10 p.408, tel. [phone])
*
Wrocław 2005/6
E
Y
L
Z
E
S
K
T
A
R
M
Y
C
D
Z
A
N
A

Y
K
C
A
H
Z
I
R
M
W
N
.
L
i
P
O
P
E
PR
D ZMIENNY
Klasyfikacja prądów zmiennych
PrÄ…d zmienny
jednokierunkowy dwukierunkowy
okresowy nieokresowy okresowy nieokresowy
pulsujÄ…cy
przemienny
sinusoidalnie zmienny
odkształcony
Indukcja elektromagnetyczna
Prawo indukcji elektromagnetycznej
Jeżeli wartość strumienia magnetycznego sprzężonego z obwodem
elektrycznym zmienia siÄ™ w czasie, to w obwodzie tym indukuje siÄ™
siła elektromotoryczna o wartości:
dÅš / dt>0
Åš
dĆ
e =
e
dt
e
Reguła Lenza
Zwrot indukowanej sem jest taki, że prąd płynący pod jej
wpływem przeciwstawia się zachodzącym zmianom strumienia.
Strumień magnetyczny sprzężony
dÅš / dt>0
Åš
È = zĆ
e
z
e
dĆ dÈ
e = z =
dt dt
gdzie: z - liczba zwojów
È - sprzężenie magnetyczne
Samoindukcja
È = L i
È " i
Åš
Współczynnik
def
proporcjonalności L jest
È
i
nazywany współczynnikiem
L =
indukcyjności własnej lub
i
e
indukcyjnością.
di dÈ
[L]=1H (henr)
`" 0; `" 0
dt dt
dÈ di
e =
e = L
dt
dt
Współczynnik samoindukcji
È z Åš
L = =
i i
Podstawienie w miejsce Åš
i z
zależności wynikającej z prawa
Åš =
Ohma dla obwodu magnetycznego....
R
.... daje wzór ilustrujący, jak indukcyjność
danego obiektu zależy od jego parametrów
z2
konstrukcyjnych.
L =
R
Samoindukcja  zasady strzałkowania
L
L
i1
i2
e2
e1
di1
di2
e1 = -L
e2 = L
dt
dt
Zjawisko indukcji wzajemnej  transformacja (1)
Åš12
Åš21
Sem indukowana w uzwojeniu 1.
i2
i1
e1 = e11 + e21
sem samoindukcji sem indukcji
Åš2r
e1 Åš1r
e2
wzajemnej
di1 di2
e1 = L1 + L21
dt dt
È
11
L1 =
- współczynnik indukcji własnej uzwojenia 1.
i1
È
21
- współczynnik indukcji wzajemnej między uzwojeniem 2 i 1.
L21 =
i2
È
12
e2 = e22 + e12 L2 =
i2
Analogicznie, gdzie:
sem indukowana di2 di1
È
12
e2 = L2 + L12
L12 =
w uzwojeniu2.
dt dt
i1
Zjawisko indukcji wzajemnej  transformacja (2)
i1 i2
Åš12
Åš21
L12
i2
i1
Åš2r
e1 Åš1r
e1 e2
e2
L1 L2
di1 di2
Znaki (+)w wyrażeniach na e1 i e2 wystąpią
e1 = L1 Ä… L21
gdy obydwa prądy wpływają do zacisków
dt dt
jednoimiennych. W przeciwnym przypadku
di2 di1
wystÄ…piÄ… znaki (-). Zaciski jednoimienne na
e2 = L2 Ä… L12
schemacie powyżej oznaczono kropkami.
dt dt
Można udowodnić, że współczynniki indukcji
L12 = L21 = M
wzajemnej L12 i L21 są sobie równe. W literaturze są
one często oznaczane literą M.
Siła elektromotoryczna ruchu
v
B e
e
e = l[v×B]
dx
Reguła prawej dłoni
Jeżeli prawą dłoń umieścimy w polu
magnetycznym tak by linie sił pola były
skierowane ku dłoni a odgięty kciuk
wskazywał kierunek ruchu przewodnika to
wyciągnięte palce wskażą kierunek
indukowanej sem.
Jeśli B,l,v są wzajemnie prostopadłe to:
e = Blv
l
Energia pola magnetycznego
i,È
I
Åš
t
i
0
T
di
e = L
dt
È
Po uwzględnieniu: L =
i
dW = ei dt
i
W = L i di
+"
È i
0
W =
i2
W = L
2
2
PrÄ…d zmienny sinusoidalny
(przemienny)
É
Wytwarzanie napięcia sinusoidalnego
É
É
e
e
Ä…
e
B
B
d
dĆ d
e = - = - (Bld cosÄ…)
dt dt
e = Em sinÉ t
Ä… = É t ; Em = É Bld
Parametry przebiegu sinusoidalnego
e
Em
e = Em sin(É t +È )
Ét
È
T
Em  wartość maksymalna
2Ä„
Pulsacja -
É = = 2Ä„ f
T
f  częstotliwość
1
È  faza poczÄ…tkowa
Okres - T =
f
Przedstawianie przebiegów sinusoidalnych
za pomocą wirujących wektorów
c
É
b
a
C
A
É t
B
Sumowanie przebiegów sinusoidalnych
Wartość skuteczna prądu zmiennego
i ( Isk )R
Wartość skuteczna prądu zmiennego okresowego jest równa wartości prądu
stałego, który płynąc w ciągu jednego okresu przez taką samą rezystancję co
prąd zmienny wywołuje taki sam skutek cieplny.
W przypadku przebiegu sinusoidalnego
T
2 2
2Ä„
+"i Rdt = Isk RT
i = Im sin t
0
T
T
def
1
Im
2
Isk =
Zatem Isk = I =
+"i dt
T
0
2
Rezystancja obwodzie prÄ…du przemiennego
uR = iR R
iR ;IR
R
iR = 2IR sinÉt
uR ;UR
uR = 2IR RsinÉt
uR
uR
iR
UR = IR R
p
iR
uR = 2UR sinÉt
P = Psr
t
p = uRiR = 2URIR sin2 Ét
T
1
P = Pśr =
R
+"2U IR sin2 Ét dt = URIR
T
0
UR
IR 2
UR
2
P = URIR = I R =
R
R
Prąd płynący przez rezystancję R jest w fazie względem napięcia na
tym elemencie.
Indukcyjność w obw. prądu przemiennego
diL
XL
iL = 2IL sinÉt
uL = L
iL ;IL
dt
uL ; UL
Ä„
uL = 2ILÉ Lsin(Ét + )
uL
2
iL
uL
p iL
Ä„
t
uL = 2UL sin(Ét + )
2
def
- reaktancja ind. [&!]
X = É L
L
UL
IL
f
UL = IL X
L
Prąd płynący przez indukcyjność L jest opóz
niony względem
napięcia na tym elemencie o kąt f= 90o
Moc odbiornika indukcyjnego
XL
iL = 2IL sinÉt
iL ;IL
uL ; UL
Ä„
uL = 2UL sin(Ét + )
2
uL
iL
uL
p iL
p
p = uLiL = ULIL sin 2Ét
t
Moc czynna -
P = Pśr = 0
UL
IL
f
2
def
UL
2
Moc bierna - QL = ULIL = I X =
[var]
L
L
X
L
Pojemność w obw. prądu przemiennego
dq d(C u)
C
IC
uC = 2UC sinÉt
iC = =
dt dt
UC
Ä„
iC = 2UCÉ C sin(Ét + )
uC
2
uC
iC
iC
IC = UCÉ C
p
t
def
1
XC =
- reaktancja poj. (&!)
É C
UC
IC
IC =
XC
UC
f
Ä„
iC = 2 Ic sin(Ét + )
2
Prąd płynący przez pojemność C wyprzedza napięcie na tym
elemencie o kÄ…t f= 90o
Moc odbiornika pojemnościowego
uC = 2UC sinÉt
C
IC
Ä„
UC iC = 2 Ic sin(Ét + )
2
uC
uC
iC
iC
p = uCiC = 2UCIC sin2 Ét
p
t
P = Pśr = 0
Moc czynna -
IC
UC
f
2
def
UC
2
Moc bierna -
QC = UC IC = IC XC =
[var]
XC
Szeregowe połączenie elementów R,L,C
C
R
L
I
2
U = UR + (UL -UC )2
UL
UR
UC
U
def
U
- impedancja (&!)
Z =
I
u
uR uL
uC
i
É t
Z = R2 + (X - XC )2
L
2
Z = R2 + X
UL
Reaktancja
U
X = X - XC
Z
L
zastępcza
X
f
f R
R X
UR
I
Õ = arc(cos ) = arc(tg )
UC
Z R
Rezonans napięć
XC
XL
R
X = XC
I
L
UL UC
UR
1
U
2Ä„ f L =
2Ä„ f C
1
Częstotliwość
fr =
UL
rezonansowa
2Ä„ LC
U
I
U = UR
UR
Dobroć obwodu
rezonansowego
Z = R
UC
U
def
I =
UL
R
Q =
UR
Równoległe połączenie elementów R,L,C
I
2
Z wykresu wektorowego:
IR IC I = IR+(IL -IC)2
IL
U
Po podzieleniu przez napięcie U otrzymamy:
L
RC
Y = G2 + (BL - BC )2
gdzie:
iL
def
I 1
iR
i
[S]
admitancja 
Y = =
iL
u
U Z
É t
IR 1
konduktancja 
G = =
[S]
U R
def
IC
IL(C )
1
susceptancja
[S]
BL(C ) = =
G
U IR
ind.(poj) 
U X
f f L(C )
B
Y
I
 susceptancja
B = BL - BC
IL
zastępcza
Y = G2 + B2
Rezonans prądów (obwód idealny)
I
BL = BC Ò! X = XC
L
IC
IL
U
XL
1
XC
2Ä„ f L =
2Ä„ f C
1
Częstotliwość
IC
fr =
rezonansowa
2Ä„ LC
U
I=0
I = 0 Ò! Z = "
IL
Rezonans prądów (obwód rzeczywisty)
BL = BC Ò! X = XC
I
L
IC
IR
IL
U
XC
1
Częstotliwość
XL
R
fr =
rezonansowa
2Ä„ LC
U
IL = = U BL
IC
X
L
U
IC = = U BC
IR
U
XC
U
I = IR = = U G
I=IR
R
IL
IL
Q =
Dobroć obwodu rezonansowego
IR
Moc odbiornika prÄ…du przemiennego
T
1
Z
I
Moc czynna -
P = Pśr =
+"ui dt
T
0
gdzie:
U
u
i
u - napięcie odbiornika
u = 2U sinÉt
p
p
i
- prÄ…d odbiornika
i = 2I sin(Ét -Õ)
t
Psr
0
Po podstawieniu i przekształceniach
Õ
otrzymujemy:
Icz
U P
Moc czynna - P = U I cosÕ = U Icz
Õ
Õ
Q
S
Ib
I
Moc bierna - Q = U I sinÕ = UIb
Trójkąt mocy
Moc pozorna -
S = U I = P2 + Q2
Kompensacja mocy biernej
Poprawa współczynnika mocy
I IC
IC
Iodb
Iodb
Podb U
U
U
cosfodb
C
Podb
fodb f I
cosfodb
IC
Iodb
U
Obliczenie pojemności C jaką należy włączyć na
zaciski odbiornika aby zwiększyć współczynnik
fodb
mocy z cosfodb na cosf:
Iodb IodbcosÕodb tgÕ = Iodb sinÕodb - IC
IC
tgÕ = tgÕodb -
Iodb cosÕ
Podb
Podb = U Iodb cosÕodb Iodb =
Po podstawieniu: oraz
IC = UÉC
U cosÕodb
Podb
otrzymujemy:
C = (tgÕodb - tgÕ)
2
É U
Kompensacja mocy biernej (2)
I IC
Q Qodb - QC
Iodb
tgÕ = =
Podb Podb
U
C
Podb
cosfodb
Qodb = PtgÕodb
QC = Podb tgÕodb - Podb tgÕ
IC
Iodb cosfodb
U
QC = Podb (tgÕodb - tgÕ)
f
fodb
I
2
IC P U
2
QC = = U É C
f
Q XC
Iodb S
Iodb sinfodb
P
C = (tgÕodb - tgÕ)
2
É U
Obliczanie obwodów prądu
sinusoidalnego przy użyciu rachunku
zespolonego
Liczby zespolone (postać algebraiczna)
W = Wx + jWy
Im
j = -1
W
Wy
Wx = Re(W )
Ä…
Re
Wy = Im(W )
Wx
W = W
Warto zapamiętać!
W = Wx2 +Wy2
1
j2 = -1
= - j
W = W cosÄ… + jW sinÄ…
j
Liczby zespolone (postać wykładnicza)
jÄ…
W = We
Im
W = W
W
Wy
Ä…
jÄ…
Re
e = cosÄ… + j sinÄ…
Wx
Ä„
j
2
e = j
jÄ…
e = cos2 Ä… + sin2 Ä… =1
Wielkości sinusoidalne na płaszczyz
nie
zespolonej
Im
jÄ…
e = cosÄ… + j sinÄ…
É
I
jÄ…
e = cos2 Ä… + sin2 Ä… =1
Ä…
Re
Wektor o amplitudzie wirujący na płaszczyz
nie zespolonej z prÄ™dkoÅ›ciÄ… É.
2I
j(Ét+Ä… )
2Ie = 2I cos(Ét +Ä…) + j 2I sin(Ét +Ä…)
j(Ét+Ä… )
i = Im( 2Ie ) = 2I sin(Ét +Ä…)
Wartość chwilowa
jÄ…
Skuteczna wartość zespolona
Ie = I
Obwody z elementami R,L,C
R
IR
U = I R
R R
UR
UR
IR
XL U = I jX
L L L
IL
UL
jX = X
L L
UL
f IL U = I X
L L L
XC U = I (- jXC )
IC
C C
UC
- jXC = X
C
IC
UC
f
U = I X
C C C
Szeregowe Å‚Ä…czenie R,L,C
X
X
C
R
L
I
UL
U
U U
L
R C
U
U
f
U = U +U +U
R L C
UR
I
def
UC
U
zastępcza impedancja
Z =
zespolona
I
Z
Z = R + jX - jXC
L
Trójkąt impedancji
X
R
f
Z = R + X + X
L C
X = j(X - XC )
Z = R + X
gdzie:
L
Z = R2 + (X - XC )2
jÕ
L
gdzie:
Z = Ze
R X
Õ = arc (cos ) = arc (tg )
Z R
Równoległe łączenie R,L,C
I
I = IR + I + I
IC
L C
IR IL
U Po podzieleniu powyższego przez U otrzymujemy:
XC
R
XL
admitancja zespolona
Y = G - jBL + jBC
I 1
Y = =
IC
U Z
IR
U
f
I
2
I = IR + (IL - IC )2
IL
Y = G2 + B2
G
f
B
Trójkąt admitancji
B = BL - BC
Y
Moc zespolona
I
*
Moc zespolona -
S = U I
Po podstawieniu:
Z
U
jÈU
*
I
U = Ue
oraz
I = Ie- jÈ
otrzymujemy:
j(ÈU -È ) jÕ
Im I
S = U Ie = U I e
U
jÕ
S = S e
S = U I cosÕ + jU I sinÕ
I
f
yU yI
Re
S = P + jQ
S
Trójkąt mocy
S = P2 + Q2
Q
P
Szeregowe Å‚Ä…czenie impedancji
Z1 Z2 Z3
I
U1 U2 U3
U
U = U1 +U +U
2 3
U U1 U U
2 3
= + +
I I I I
zastępcza impedancja
Z = Z1 + Z + Z + Å"Å"Å"
z 2 3
zespolona
Równoległe łączenie impedancji
I
I = I1 + I + I
2 3
I1 I2 I3
I I1 I I
2 3
U
Z1 Z3
Z2
= + +
U U U U
1 1 1 1
= + + + Å"Å"Å"
Zz Z1 Z Z
2 3
zastępcza admitancja
Y = Y1 + Y + Y + Å"Å"Å"
z 2 3
zespolona
Układy prądu trójfazowego
Napięcie trójfazowe (wytwarzanie)
Uc
120o Ua
É
120o
120o
Ub
Ua = Ub = Uc = U
B
U = U
a
ua ub uc
2Ä„
3
U = U e- j = a2U
b
É t
2Ä„
j
3
U = U e = aU
c
2Ä„
j
3
a = e
przy czym:
Prądnica napięcia trójfazowego
(zasada konstrukcji)
U
U V W
V 
W 
Åš
stojan
W
wirnik
V
+
-
U 
Układ trójfazowy jako zespół 3.symetrycznych obwodów jednofazowych
IA Zf
IB
UB
UA
UA
IB Zf
f
UA
UB
UB
IC f
Zf
IC
f
UC
IA
UC
UC
IA Zf
IB
UAB
UB
UA
UA
Zf
IB
f
UA
UBC
IC
UB
f
UB
Zf
UCA IC
IA
=0
UC I0 UC
UC
Zf
IA
UAB I = I + I + I
0 A B C
UA
UA
IB
Zf
UBC
UB
UB
W układzie symetrycznym:
Zf
UCA IC
I0 =0
UC
UC
f
Układ czteroprzewodowy
I
A
UA UAB
IB
UBC
UB
UCA IC
UC
IO
napięcia fazowe
U = UB = UC = U
A f
napięcia przewodowe (międzyfazowe)
U = UBC = UCA = U
AB
Układ połączeń w gwiazdę
IA Z
UAB
UA
I =I
UA
p f
IB Z
UBC
UB
UB
UCA
IC
Z
UC
UC
-UA U = U -U
UC
UAB AB A B
IC
UCA
-UB
30 o f U = U -U
BC B C
30 o
f
IB f
UA
U = U -U
CA C A
IA
30 o
UB
I =I
U = 3U
p f
p f
-UC UBC
Układ połączeń w trójkąt
IA
A
-ICB
A
IC
UAB UCA
IAB
UAB
ICA
Zf
IB B
30 o
Zf UCA f
B
IBC
UAB
IB
Zf
UBC
f
30 o
UBC
ICA
-IAB
f
IAB
UCA
30 o
IC
IBC
C
C
UBC
IA -ICA
U = U
p f
Z wykresu wektorowego wynika:
I = I - I
A AB CA
I = 2I cos30°
p f
I = I - I
B BC AB
Zatem:
I = 3I
I = I - I
p f
C CA BC
Moc w układzie 3-fazowym
IA
Gwiazda Trójkąt
A
Zf
A
IA
A
UAB
IAB
UAB
UAB
UA Zf
Zf
IB B
IB
Zf UCA
B
B
IBC
Zf
UBC
UBC
UB
UBC ICA
UCA
IC
Zf
UCA
IC
C
C
C
UC
P3 f = PA + PB + PC = 3P1 f
P3 f = PA + PB + PC = 3P1 f
U I
P1 f = U I cosÕ = I cosÕ P1 f = U I cosÕ = U cosÕ
f f f f
3 3
Pgwiaz = 3U I cosÕ Ptrójk = 3U I cos Õ
Analogicznie:
S3 f = 3U I Q3 f = 3U I sinÕ
oraz