PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ
Wrocław, listopad 2011 r.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 2
1. STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU
1.1. Stopa procentowa
W celu zrozumienia czym w matematyce finansowej jest tzw. stopa procentowa rozpatrzmy
najprostszÄ… z mo\
liwych inwestycji, polegającą na zainwestowaniu kwoty 1.000 zł na okres jednego
roku. Jakiego dochodu oczekuje się po upływie tego okresu?
Na tak sformułowane pytanie brak jednoznacznej odpowiedzi, oczywistym jest jednak, i\
oczekuje siÄ™
dochodu wy\
szego od 1.000 zł, co mo\
na przedstawić w sposób następujący:
1.1
gdzie:
PV - wartość bie\
Ä…ca inwestycji (ang. Present Value)
FV - wartość przyszła inwestycji (ang. Future Value)
Chcąc zastąpić w równaniu (1.1) znak nierówności znakiem równości, wartość bie\
Ä…cÄ… PV nale\
y
pomno\
yć liczbą większą od jedności, czyli:
· 1 1.2
W tym kontekście występująca we wzorze (1.2) zmienna r jest po prostu ułamkiem, który umo\
liwia
postawienie znaku równości pomiędzy wartością bie\
ącą a wartością przyszłą. Powszechnie przyjętą
konwencją jest zapis tego ułamka w formule procentów; w du\
ym stopniu z tego powodu, i\
tak
zdefiniowana stopa procentowa odzwierciedla zyskowność inwestycji wyra\
onÄ… jako procent
zainwestowanego kapitału.
Zauwa\
my, i\
we wzorze (1.2) występują 3 zmienne. Przekształcając odpowiednio ten wzór i
przyjmujÄ…c konwencjÄ™, i\
po lewej stronie równania jest wielkość nieznana (niewiadoma), mo\
na
przedstawić wzory na wartość przyszłą (1.3) oraz na stopę procentową (1.4):
1.3
1
1 1.4
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 3
1.2. Obliczanie odsetek od zainwestowanego kapitału
Poziom dochodów z inwestycji zale\
y od szeregu czynników, między innymi od tego, jak często
następują przepływy pienię\
ne (dochody). Wyobraz
my sobie sytuację, w której dokonaliśmy lokaty
kwoty 100.000 zł, przy stopie procentowej 9%. Jaki poziom dochodów będzie przez nas cyklicznie
realizowany?
Zauwa\
my, i\
mo\
liwe jest uzyskiwanie dochodów z lokaty z ró\
ną częstotliwością, np. raz do roku,
raz na kwartał, raz na miesiąc i tak dalej  zale\
y to tylko i wyłącznie od tego, jak uzgodniły to strony
umowy. Poniewa\
mo\
liwości jest wiele, nale\
ało wypracować jakiś uniwersalny sposób prezentacji
sposobu naliczania odsetek.
W przypadku części instrumentów finansowych przyjęta została konwencja, zgodnie z którą
prezentowana jest stopa procentowa (wyra\
ona w skali roku), zaś wysokość odsetek jest równa
iloczynowi zainwestowanego kapitału, stopy procentowej oraz ilorazu częstotliwości płatności odsetek
(wyra\
onej w dniach) i liczby dni w roku (przyjmuje siÄ™, i\
rok ma 360 lub 365 dni).
Przykład (1.1):
Kwota 100.000 zł została ulokowana na lokacie bankowej o oprocentowaniu 9%. Obliczyć wysokość
odsetek po 30 dniach przy zało\
eniu, i\
rok ma 360 dni.
30
100.000 · 9% · 100.000 · 0,75% 750
360
Alternatywna konwencja polega na prezentacji stopy procentowej (wyra\
onej w skali roku) oraz liczby
okresów odsetkowych w skali roku. Wysokość odsetek jest zaś równa iloczynowi zainwestowanego
kapitału oraz ilorazu stopy procentowej i liczby okresów odsetkowych.
Przykład (1.2):
Kwota 100.000 zł została ulokowana na lokacie bankowej o oprocentowaniu 9% i odsetkach
wypłacanych raz na miesiąc. Obliczyć wysokość odsetek.
9%
100.000 · 100.000 · 0,75% 750
12
Jak widać, uzyskaliśmy ten sam wynik, co w przykładzie (1.1).
Nale\
y przy tym zaznaczyć, i\
stopy procentowe prezentowane są w ujęciu rocznym, bez względu na
to, jaka jest długość inwestycji.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 4
Przykład (1.3):
Udzielono po\
yczki w wysokości 10.000 zł na okres 45 dni, uzyskując po tym okresie kwotę 10.200 zł.
Jaka była stopa procentowa, po której została udzielona po\
yczka?
45 10.200 360
10.000 · 1 · 10.200 1 · 16%
360 10.000 45
Prezentacji podlegać będzie stopa procentowa wynosząca 16%, pomimo i\
zwrot z inwestycji wyniósł
2% (inaczej: okresowa stopa procentowa wynosi 2%). Dodajmy, i\
w analogiczny sposób obliczana i
prezentowana jest stopa rentowności bonów skarbowych.
1.3. Kapitalizacja odsetek oraz efektywna stopa procentowa
W punkcie 1.2 omówiliśmy zagadnienie naliczania i wypłacania odsetek od zainwestowanego kapitału.
W przypadku szeregu instrumentów finansowych mo\
liwe jest dopisywanie odsetek do kapitału w
wyniku czego, w kolejnym okresie odsetkowym, odsetki naliczane sÄ… od nowej, wy\
szej kwoty.
Zjawisko to nazywamy kapitalizacjÄ… odsetek.
Ponownie, jak w poprzednim punkcie, zadajmy sobie stosunkowo proste pytanie: jaki dochód
uzyskamy w przypadku ulokowania kwoty 1.000 zł na okres 1 roku, przy oprocentowaniu równym 8%
w skali roku, je\
eli lokata zapewnia mo\
liwość kapitalizacji odsetek?
Znowu  odpowiedzi jest zbyt wiele; mo\
na te\
stwierdzić, i\
mamy zbyt mało danych, by udzielić
jednoznacznej odpowiedzi. Przede wszystkim nale\
y stwierdzić, i\
sposób naliczania i kapitalizacji
odsetek nie jest efektem działania jakiejś stałej cechy natury lecz wyłącznie efektem umowy pomiędzy
dwiema stronami instrumentu finansowego.
Na rynku finansowym przyjęły się przy tym cztery podstawowe sposoby naliczania odsetek oraz
dopisywania ich do kapitału (czyli tzw. kapitalizacja odsetek):
Kapitalizacja prosta:
· 1 · 1.5
Kapitalizacja roczna:
· 1 1.6
Kapitalizacja okresowa:
·
· 1 1.7
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 5
Kapitalizacja ciągła:
·
· 1.8
gdzie:
n  liczba lat
m  liczba okresów kapitalizowania odsetek w skali roku
Zauwa\
my przy tym, i\
kapitalizacjÄ™ rocznÄ… mo\
na przedstawić jako kapitalizację okresową, przy czym
liczba okresów, w których następuje kapitalizacja odsetek, wynosi jeden. Ponadto kapitalizacja ciągła to
nic innego, jak drugi szczególny przypadek kapitalizacji okresowej, w którym liczba okresów
kapitalizacji odsetek dÄ…\
y do nieskończoności. Jest tak dlatego, i\
występujący w równaniu (1.8)
symbol e to tzw. liczba Napiera (Nepera), stanowiąca rozwiązanie następującego zagadnienia:
1
lim 1 1.9
Przykład (1.4):
Kwota 1.000 zł została zainwestowana na okres 2 lat i 3 miesięcy roku przy oprocentowaniu
wynoszącym 8%. Obliczyć wartość przyszłą inwestycji przy zało\
eniu kapitalizacji prostej, rocznej,
kwartalnej, miesięcznej oraz ciągłej.
Kapitalizacja prosta:
1.000 · 1 8% · 2,25 1.180,00
Kapitalizacja roczna:
,
1.000 · 1 8% 1.189,06
Kapitalizacja kwartalna:
, ·
8% 8%
1.000 · 1 1.000 · 1 1.195,09
4 4
Kapitalizacja miesięczna:
, ·
8% 8%
1.000 · 1 1.000 · 1 1.196,50
12 12
Kapitalizacja ciągła:
1.000 · , · % 1.197,22
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 6
Jak widać wartość przyszła zale\
y od przyjętej konwencji, zaś zrealizowany zysk z lokaty wynosi od
180 zł (w przypadku kapitalizacji prostej) do ponad 197 zł (kapitalizacja ciągła).
Z wyników uzyskanych w przykładzie (1.4) widać, i\
przy tej samej stopie oprocentowania lokaty
(równej 8% w skali roku) i tym samym okresie trwania inwestycji, efektywnie udało nam sie
zrealizować stosunkowo ró\
ny zysk, co było spowodowane ró\
ną częstotliwością kapitalizacji odsetek.
Tym samym pojawia się potrzeba pewnego uniwersalnego miernika efektywności inwestycji.
Miernikiem tym jest tzw. efektywna stopa procentowa, którą wyznacza się w sposób następujący:
1 1 1.10
.
Przy czym iloraz stopy procentowej i liczby okresów nazywać będziemy stopą okresową:
. 1 1 1.11
gdzie:
rm - stopa okresowa
m - liczba okresów w roku
Wyznaczana zgodnie z powy\
szym wzorem efektywna stopa procentowa, która oczywiście jest
wyra\
ona w skali roku, umo\
liwia porównywanie inwestycji o ró\
nym czasie trwania i o ró\
nym
sposobie kapitalizowania odsetek. W tym kontekście efektywną stopę procentową nale\
y traktować
jako pewną konwencję sprowadzania ró\
nych stóp okresowych do poziomu porównywalności. Warto
dodać, i\
nie jest to jedyna (choć najczęściej stosowana) konwencja.
Przykład (1.5):
Obliczyć wartość przyszłą kwoty 1.000 zł na okres 2 lat i 3 miesięcy, przy oprocentowaniu 8% w skali
roku i miesięcznej kapitalizacji odsetek, wykorzystując wzór na efektywną stopę procentową.
Efektywna stopa procentowa:
%
1 1 1 0,6667% 1 8,30%
.
Wartość przyszła inwestycji:
,
1.000 · 1 8,30% 1.196,50
Jak widać, uzyskaliśmy ten samym wynik, co w przykładzie (1.4).
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 7
W przypadku kapitalizacji ciągłej zale\
ność pomiędzy stopą procentową a stopa efektywną przedstawia
się następująco:
1 1.12
.
Przykład (1.6):
Obliczyć wartość przyszłą kwoty 1.000 zł na okres 2 lat i 3 miesięcy, przy oprocentowaniu 8% w skali
roku i kapitalizacji ciągłej, wykorzystując wzór na efektywną stopę procentową.
Efektywna stopa procentowa:
,
1 8,33%
.
Wartość przyszła inwestycji:
,
1.000 · 1 8,33% 1.197,22
Równie\
teraz uzyskaliśmy ten samym wynik, co w przykładzie (1.4).
Omawiając tematykę kapitalizacji odsetek pominęliśmy zagadnienia sposobu liczenia odsetek pomiędzy
okresami kapitalizacji; dodajmy zatem, i\
zgodnie z przyjętą konwencją odsetki te naliczane są przy
zastosowaniu kapitalizacji prostej.
Przykład (1.7):
Obliczyć wartość przyszłą lokaty w kwocie 1.000 zł, przy oprocentowaniu wynoszącym 8% w skali
roku, z kwartalną kapitalizacją odsetek, po upływie 8 miesięcy.
8% 60
1.000 · 1 · 1 8% · 1.054,27
4 360
W pierwszym nawiasie zostały naliczone i skapitalizowane odsetki za pierwsze dwa kwartały, zaś w
drugim nawiasie naliczone sÄ… odsetki za kolejne 2 miesiÄ…ce (60 dni).
Drugim, pominiętym przez nas tematem jest sposób rozliczania odsetek w przypadku zmiany
oprocentowania w trakcie trwania inwestycji.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 8
1.4. Stopa zwrotu oraz wewnętrzna stopa zwrotu (IRR)
Jak zauwa\
yliśmy, wyznaczenie efektywnej stopy procentowej jest zagadnieniem prostym w sytuacji, w
której mamy do czynienia tylko z dwoma przepływami pienię\
nymi: wartością bie\
Ä…cÄ… PV (poczÄ…tkowy
nakład inwestycyjny) oraz wartością przyszłą FV (końcowy dochód z inwestycji). Nie ma przy tym dla
nas znaczenia czas trwania inwestycji ani wysokość przepływów pienię\
nych.
Rozszerzmy teraz naszą analizę i odpowiedzmy na pytanie, jak wyznaczyć efektywną stopę zwrotu w
przypadku bardziej skomplikowanej inwestycji, charakteryzującej się ciągiem kilku płatności o ró\
nej
wysokości. Formalnie zagadnienie to mo\
na zapisać pod postacią następującego równania:
1.13
&
1 1 1 1
dla którego znany jest nakład początkowy (cena) PV oraz przepływy pienię\
ne CFi, natomiast
wielkością nieznaną (niewiadomą) jest stopa procentowa r, spełniająca to równanie. Rozwiązaniem tego
równania jest wewn. stopa zwrotu IRR (ang. Internal Rate of Return), albo po prostu stopa zwrotu.
Przykład (1.8):
Dokonano zakupu nieruchomości za kwotę 1.000.000 zł. Inwestycja przyniosła 100.000 zł po
pierwszym roku, 120.000 zł po drugim roku, zaś na koniec trzeciego roku dochód z wynajmu wyniósł
140.000 zł. Po trzecim roku nieruchomość została zbyta za kwotę 1.000.000 zł. Jaka była (efektywna)
stopa zwrotu z tej inwestycji:
Rozwiązaniem jest stopa procentowa r spełniająca następujące równanie:
100.000 120.000 140.000 1.000.000
1.000.000
1 1 1 1
Jak Å‚atwo zauwa\
yć dochód z wynajmu w trzecim roku oraz dochód ze sprzeda\
y mo\
na zsumować i
rozpatrywać następujące (równowa\
ne) równanie:
100.000 120.000 1.140.000
1.000.000
1 1 1
Mo\
na te\
, co czyni się stosunkowo często, potraktować cenę jako ujemy przepływ pienię\
ny w chwili t
= 0, i przedstawić równanie w sposób następujący:
1.000.000 100.000 120.000 1.140.000
0
1 1 1 1
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 9
W dalszej części cyklu artykułów stosować będziemy zamiennie ró\
ne konwencje zapisu, w zale\
ności
od kontekstu rozwa\
ań.
Przykład (1.8) c.d.:
Rozwiązanie jest proste  wystarczy skorzystać z funkcji IRR arkusza kalkulacyjnego (np. Excel), by
uzyskać następujący wynik:
11,815%
Nale\
y tylko przy tym pamiętać, by korzystając z arkusza kalkulacyjnego wszystkie ujemne przepływy
pieniÄ™\
ne (włączając w to cenę nieruchomości PV, wpisać ze znakiem ujemnym).
Sprawdzenie:
Inwestując kwotę 1.000.000 zł na okres 3 lat przy efektywnej stopie procentowej w skali roku równej
11,851%, po 3 latach otrzymujemy dochód w wysokości:
1.000.000 · 1 11,851% 1.399.328 Å‚
Z kolei analizowana inwestycja daje po pierwszym roku dochód w wysokości 100.000 zł, zaś po drugim
roku dochód 120.000 zł. Zakładając, i\
dochody te równie\
zostanÄ… zainwestowane (tzw. reinwestycja)
odpowiednio na okres 2 lat oraz na okres 1 roku, przy efektywnej stopie procentowej 11,8510%, na
koniec 3. roku (koniec inwestycji) uzyskuje się dochód równy:
100.000 · 1 11,851% 120.000 · 1 11,851% 1.140.000 1.399.328 Å‚
Jak widać, zarówno początkowy nakład, jak równie\
końcowy dochód dla obydwu inwestycji jest
dokładnie taki sam. Oznacza to, i\
wewnętrzną stopę zwrotu IRR mo\
na interpretować jako efektywną
stopÄ™ procentowÄ….
Dodajmy jeszcze, i\
nie zawsze stopę zwrotu wyznacza się jako wewnętrzną stopę zwrotu IRR (w tym
kontekście nie do końca uprawnionym jest skrót myślowy, i\
stopa IRR to ka\
da stopa zwrotu). Często
stopę zwrotu wyznacza się jako zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR (ang. Modified
Internal Rate of Return); zagadnienie to będzie omówione w artykule poświęconym analizie
opłacalności inwestycji w nieruchomości.
Na koniec rozpatrzmy jeszcze przykład, w którym wyznaczymy stopę zwrotu z inwestycji, przy
wykorzystaniu funkcji IRR, ale w sytuacji, w której przepływy pienię\
ne występować będą z
częstotliwością większą, ni\
raz do roku. Pamiętamy przy tym, \
e stopÄ™ zwrotu finalnie nale\
y wyrazić
(zaprezentować) w ujęciu rocznym.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 10
Przykład (1.9):
Wyznaczyć stopę zwrotu dla następującej inwestycji: nieruchomość została zakupiona za 1.000.000 zł,
poziom dochodów w pierwszym roku wynosił 20.000 zł kwartalnie (na koniec ka\
dego okresu), w
drugim roku 25.000 zł kwartalnie, zaś w trzecim roku 30.000 zł. Po upływie 3 lat nieruchomość została
sprzedana za cenę równą 1.200.000 zł.
Zapis równania:
20.000 25.000 30.000 1.200.000
1.000.000
1 1 1 1
WykorzystujÄ…c funkcjÄ™ IRR w arkuszu kalkulacyjnym uzyskuje siÄ™ wynik:
3,7971%
Jest to okresowa (kwartalna) wewnętrzna stopa zwrotu (stąd indeks  4 przy symbolu stopy). Chcąc
wyznaczyć stopę zwrotu w ujęciu rocznym nale\
y dokonać przekształcenia zgodnie ze wzorem na
efektywnÄ… stopÄ™ procentowÄ…:
1 1 1 3,7971% 1 16,0766%
.
Sprawdzenie poprawności obliczeń pozostawiamy czytelnikowi.
1.5. Nominalna i realna stopa zwrotu
Na wstępie trzeba wyraz
nie zaznaczyć, i\
o ile nie jest to jednoznacznie zasygnalizowane, to wszystkie
stopy procentowe nale\
y (domyślnie) traktować jako nominalne stopy procentowe. Innymi słowy,
mówiąc o stopach procentowych (w tym o stopach zwrotu, stopach dochodu, stopach dyskontowych
itp.) nale\
y domniemywać, i\
chodzi o stopy w ujęciu nominalnym. Chcąc mówić o stopach
procentowych w ujęciu realnym, nale\
y wyraz
nie to zaznaczyć. Dodajmy jeszcze, i\
w tym kontekście
stopami procentowymi w ujęciu nominalnym są:
" stopy procentowe rynku międzybankowego (np. WIBOR, LIBOR);
" rentowność bonów skarbowych, rentowność obligacji;
" stopy zwrotu z rynku akcji, stopy zwrotu z indeksów giełdowych;
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 11
i szereg innych. Mówiąc wprost: szeroko rozumiany rynek kapitałowy prezentuje wyłącznie stopy
procentowe w ujęciu nominalnym, chcąc zatem dokonywać jakichkolwiek analiz stóp procentowych,
wyniki tych analiz równie\
nale\
y prezentować w ujęciu nominalnym.
Czym jest zatem stopa procentowa w ujęciu realnym?
Stopa procentowa w ujęciu realnym jest równa stopie procentowej w ujęciu nominalnym skorygowanej
o wzrost cen towarów i usług  inflację (ozn. CPI, ang. Consumer Price Index). Zale\
ność pomiędzy
tymi stopami procentowymi mo\
na przedstawić następująco:
1 1 · 1 1.14
1 · 1 1 1.15
1
1 1.16
1
Uwaga: zgodnie z tym, co zostało wcześniej napisane (wszystkie stopy procentowe generalnie są
wyra\
ane w ujęciu nominalnym) w dalszej części zrezygnujemy z indeksu nominal przy symbolu stopie
procentowej w ujęciu nominalnym, jednocześnie pozostawiając indeks real przy oznaczaniu stóp
procentowych w ujęciu realnym.
Przykład (1.10):
Wyznaczyć stopę zwrotu w ujęciu realnym, jeśli kwota 100.000 zł została zainwestowana na okres 1
roku przy efektywnym oprocentowaniu 8%, zaś inflacja w tym okresie wyniosła 3%.
1 1 8%
1 1 4,85%
1 1 3%
Sprawdzenie:
Załó\
my, i\
jednostkowa cena jakiegoś artykułu wynosiła 50 zł, zaś po upływie roku 51,5 zł (wzrost
ceny równy inflacji). Posiadając 100.000 zł byliśmy w stanie zakupić 2.000 szt. tego artykułu, zaś po
upływie roku:
100.000 · 1 8%
2.097
51,5
czyli dokÅ‚adnie o 4,85% sztuk artykuÅ‚u wiÄ™cej: 2.000 · 1 4,85% 2.097
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 12
W tym ujęciu stopa zwrotu w ujęciu realnym przedstawia zatem nie tyle nominalny zysk z inwestycji
(w skali roku), lecz realny wzrost wartości (siły nabywczej) kwoty wynikającej z danej inwestycji.
W przypadku, gdy w kolejnych latach mamy do czynienia ze zmiennym poziomem inflacji, we wzorach
(1.14  1.16) nale\
y wprowadzić inflację średnioroczną, wyznaczoną zgodnie ze wzorem:
1 1 1.17
Przykład (1.11):
Kwota 100.000 zł została zainwestowana na okres 3 lat. Wartość przyszła inwestycji wyniosła 130.000
zł. W kolejnych latach inflacja wynosiła 3%, 4% oraz 2,5%. Obliczyć stopę zwrotu z inwestycji (w
ujęciu nominalnym) oraz stopę zwrotu w ujęciu realnym.
Stopa zwrotu z inwestycji:
130.000
100.000 · 1 130.000 1 9,139%
100.000
Åšrednia inflacja w skali roku:
1 3% 1 4% 1 2,5% 1 1,09798 1 3,165%
Stopa zwrotu w ujęciu realnym:
1 1 9,139%
1 1 5,791%
1 1 3,165%
Sprawdzenie poprawności obliczeń pozostawiamy czytelnikowi.
Analizując te przykłady mo\
na dojść do wniosku, i\
realna stopa zwrotu niesie bardziej wartościową
informacjÄ™ ni\
 klasyczna stopa zwrotu (wyra\
ona w ujęciu nominalnym), a co za tym idzie  realne
ujęcie powinno być preferowane przy analizie i wycenie inwestycji. Tak jednak nie jest  w praktyce
dominuje analiza przy wykorzystaniu stóp procentowych w ujęciu nominalnym.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 13
2. STOPA DYSKONTOWA
2.1 Stopa dyskontowa a stopa zwrotu
Zdefiniowanie pojęcia stopy dyskontowej rozpocznijmy od przypomnienia znanej ju\
nam zale\
ności
między przyszłymi przepływami pienię\
nymi (CFi), a ich wartością bie\
Ä…cÄ… (PV):
2.1
&
1 1 1 1
W oparciu o powy\
sze równanie mo\
emy zdefiniować stopę zwrotu i stopę dyskontową.
Stopa zwrotu:
Je\
eli znany jest początkowy nakład inwestycyjny PV oraz przepływy pienię\
ne CFi, to stopa
procentowa r stanowiąca rozwiązanie tego równania jest nazywana stopą zwrotu. Stopę tę
wyznaczamy korzystając z formuły IRR. Dodajmy, i\
formuła IRR nie jest jedyną, która mo\
e słu\
yć do
rozwiązania tego zagadnienia, ale jest najczęściej stosowana (omówienie innych sposobów wykracza
jednak poza ramy tego artykułu).
Stopa dyskontowa:
Je\
eli znane są przepływy pienię\
ne CFi, natomiast zadanie sprowadza się do ich obliczenia wartości
bie\
ącej PV, to niezbędnym jest przyjęcie do obliczeń pewnej stopy procentowej r. Proces obliczania
wartości bie\
ącej przyszłych przepływów pienię\
nych nazywamy dyskontowaniem, zaÅ› stopÄ™
procentową, która jest przy tym u\
yta, stopÄ… dyskontowÄ….
Przykład (2.1):
Oszacować wartość bie\
ącą czterech płatności równych 250.000 zł ka\
dy, które mają miejsce w
okresach rocznych (płatności z dołu), stosując stopę dyskontową równą 8%.
250.000 250.000 250.000 250.000
828.032
1 8% 1 8% 1 8% 1 8%
Podobnie, jak w przypadku wszystkich innych stóp procentowych, generalną zasadą jest, i\
stopa
dyskontowa prezentowana jest w ujęciu rocznym, jak równie\
bez korygowania o wskaz
nik inflacji
(zagadnienie to omówione jest pod koniec niniejszego artykułu).
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 14
Ponadto przyjęty sposób wyznaczania stopy dyskontowej odpowiada konwencji efektywnej stopy
procentowej; zatem w sytuacji, w której niezbędnym jest dyskontowanie przepływów pienię\
nych
zestawionych w okresach krótszych (raz na kwartał, raz na miesiąc), okresową stopę dyskontową
wyznacza się zgodnie z omówioną ju\
formułą (patrz: poprzedni artykuł):
1 1 1 . 1 2.2
.
gdzie:
rm - okresowa stopa zwrotu / okresowa stopa dyskontowa
m - liczba okresów w skali roku
Do tego zagadnienia wrócimy w dalszej części artykułu.
2.2 Spodziewana, zrealizowana oraz wymagana stopa zwrotu
W celu zrozumienia, czym jest stopa dyskontowa z merytorycznego punktu widzenia, nale\
y
wprowadzić następujące pojęcia:
" spodziewana stopa zwrotu;
" zrealizowana stopa zwrotu;
" wymagana stopa zwrotu.
W tym celu rozpatrzymy prosty przykład.
Przykład (2.2):
W wyniku przeprowadzonej analizy inwestor oszacował dochody z nieruchomości w trzech kolejnych
latach na poziomie 400.000 zł, 450.000 zł oraz 500.000 zł, a ponadto oszacował mo\
liwÄ… do uzyskania
cenę nieruchomości po trzech latach na kwotę 7.000.000 zł (wartość rezydualna). Biorąc pod uwagę
ryzyko inwestycyjne uznał, i\
maksymalną ceną, którą skłonny jest zaakceptować, jest kwota 6.800.000
zł (wartość nieruchomości wg inwestora). W wyniku negocjacji dokonał zakupu nieruchomości za cenę
wynoszącą 6.500.000 zł. Po dokonaniu zakupu, nieruchomość w kolejnych latach przyniosła dochody
równe 400.000 zł, 400.000 zł oraz 500.000 zł, zaś cena sprzeda\
y nieruchomości, uzyskana po trzech
latach, wyniosła 6.800.000 zł.
Oszacować poziom spodziewanej, wymaganej oraz zrealizowanej stopy zwrotu.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 15
Spodziewana stopa zwrotu jest rozwiązaniem następującego równania:
400.000 450.000 500.000 7.000.000
6.500.000
1 1 1
i wynosi: 9,22%.
Zrealizowana stopa zwrotu jest rozwiązaniem następującego równania:
400.000 400.000 500.000 6.800.000
6.500.000
1 1 1
i wynosi: 8,05%.
Wymagana stopa zwrotu jest rozwiązaniem następującego równania:
400.000 450.000 500.000 7.000.000
6.800.000
1 1 1
i wynosi: 7,49%.
" Spodziewana stopa zwrotu jest oszacowaniem stopy, która zostanie zrealizowana. Wyznaczana
jest ona w oparciu o zakładaną cenę oraz przewidywane (spodziewane) przepływy pienię\
ne z
inwestycji.
" Zrealizowana stopa zwrotu jest miarą efektywności zrealizowanej inwestycji. Jest wyznaczana
w oparciu o rzeczywiście zapłaconą cenę oraz rzeczywiście zrealizowane przepływy pienię\
ne.
" Wymagana stopa zwrotu jest miarą wymagań inwestora co do poziomu stopy zwrotu, przy
uwzględnieniu ryzyka danej inwestycji. Wyznaczana jest w oparciu o oszacowaną wartość
inwestycji (graniczna / maksymalna cena) oraz spodziewane przepływy pienię\
ne.
Przykład (2.3):
Dla danych z przykładu (2.2) ustalić, czy z punktu widzenia inwestora zakup był opłacalny, oraz jaką
maksymalną cenę byłby skłonny zapłacić, gdyby prawidłowo przewidział poziom dochodów z
wynajmu oraz ze sprzeda\
y nieruchomości.
Zakup był opłacalny, pomimo i\
dochody były ni\
sze od zakładanych (zrealizowana stopa zwrotu była
ni\
sza od spodziewanej), gdy\
została zrealizowana stopa zwrotu wy\
sza, ni\
wymagana stopa zwrotu.
Maksymalna cena mo\
liwa do zaakceptowania przez inwestora wyniosłaby (w zaokrągleniu):
400.000 400.000 500.000 6.800.000
6.600.000
1 7,49% 1 7,49% 1 7,49%
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 16
BiorÄ…c to wszystko pod uwagÄ™ mo\
na powiedzieć, i\
inwestor dokonuje oszacowania przyszłych
przepływów pienię\
nych oraz związanego z nimi ryzyka, zaś decyzję o zakupie nieruchomości
uzale\
nia od tego, czy poziom wymaganej stopy zwrotu jest wy\
szy czy te\
ni\
szy od poziomu
spodziewanej stopy zwrotu.
W analizowanym przykładzie zało\
yliśmy, i\
maksymalna cena, którą inwestor skłonny był zapłacić za
nieruchomość, jest równa wartości tej nieruchomości (oczywiście wartości z punktu widzenia tego
konkretnego inwestora). Zało\
enie to wymaga komentarza:
Oczywistym jest, i\
inwestor dokona zakupu nieruchomości, jeśli wartość (jego zdaniem) jest wy\
sza
od ceny; w takim bowiem przypadku zrealizuje dodatkowy zysk z zakupu po cenie ni\
szej od wartości.
Analogicznie  inwestor nie zakupi nieruchomości w sytuacji, w której uzna, i\
cena jest wy\
sza od
wartości. Z tego punktu widzenia istnieje pewna graniczna cena, poni\
ej której inwestor dokona
zakupu, a powy\
ej której nie dojdzie do transakcji; cena ta jest równa wartości, jaką zdaniem inwestora
charakteryzuje się dana nieruchomość.
Analizując to zagadnienie na płaszczyz
nie stóp zwrotu oraz spodziewanych przepływów pienię\
nych
widzimy, i\
inwestor określa minimalny poziom stopy zwrotu, jaki skłonny jest zaakceptować
(wymagana stopa zwrotu). W sytuacji, w której poziom spodziewanej stopy zwrotu (przy danej cenie)
jest ni\
szy od wymaganej stopy zwrotu, do transakcji nie dojdzie i vice versa. Oznacza to, i\
na
płaszczyz
nie stóp zwrotu odpowiednikiem ceny maksymalnej akceptowanej przez inwestora (wartości
inwestycyjnej) jest właśnie wymagana stopa zwrotu.
Widzimy zatem, i\
stopa dyskontowa jest w tym ujęciu równa stopie zwrotu, jakiej inwestor wymaga z
danej inwestycji, biorąc pod uwagę związane z nią ryzyko; mówiąc wprost: stopa dyskontowa jest
równa wymaganej stopie zwrotu.
2.3 Poziom (wysokość) oraz składniki stopy dyskontowej
Z oczywistych przyczyn stopa dyskontowa zawsze jest wy\
sza od zera  w przeciwnym przypadku
oznaczałoby to bowiem, i\
inwestor z góry zamierza (chce) zrealizować stratę. Pora zatem
odpowiedzieć sobie na pytanie  ile powinna wynosić stopa dyskontowa oraz co się na nią składa.
Inwestując środki pienię\
ne zakłada się realizację zysku, rozumianego tutaj jako nadwy\
ka dochodów
nad kwotÄ… zainwestowania, czyli:
2.3
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 17
Rozpatrzmy to zagadnienie z punktu widzenia inwestora, który dokonał 12-miesięcznej po\
yczki przy
pewnym oprocentowaniu 6%. Po roku po\
yczkobiorca zwróci inwestorowi po\
yczonÄ… kwotÄ™
powiększoną o 6% odsetek, które mo\
na potraktować w kategoriach ceny (kosztu) po\
yczonego
kapitału (dlatego te\
efektywna stopa procentowa, z punktu widzenia po\
yczkobiorcy / kredytobiorcy,
nazywana jest kosztem kapitału). Pytanie brzmi następująco: jakie czynniki wpłynęły na ustalenie
poziomu stopy procentowej (ceny kapitału) na poziomie 6% w skali roku?
Zysk ten powinien po\
yczkodawcy rekompensować alternatywne sposoby wykorzystania tej kwoty, z
uwzględnieniem ryzyka związanego z samą inwestycją (tutaj np. z wiarygodnością po\
yczkobiorcy). W
tym ujęciu stopa procentowa składa się z następujących składników:
" ceny pieniÄ…dza;
" ceny ryzyka.
Cena pieniÄ…dza:
Przyjmijmy, i\
inwestycja (po\
yczka) jest, z punktu widzenia inwestora, wolna od wszelkiego rodzaju
ryzyk. W takiej sytuacji stopa procentowa będzie równa stopie zwrotu z inwestycji wolnej od ryzyka;
na którą składają się w szczególności:
" rekompensata z tytułu wzrostu cen towarów i usług (inflacji);
" rekompensata z tytułu wyrzeczenia się konsumpcji.
Pierwszy z tych czynników mo\
na wytłumaczyć następująco  poziom stóp procentowych na rynku
inwestycji wolnych od ryzyka nie mo\
e być ni\
szy od poziomu przewidywanej inflacji, gdy\

inwestorzy (po\
yczkodawcy) wymagają co najmniej utrzymania wartości realnej (siły nabywczej) na
nie zmienionym poziomie.
Wyobraz
my sobie teraz sytuację, w której inflacja jest równa zero: inwestor nadal wymagać będzie
zysku z po\
yczonej kwoty, jednak teraz wysokość oprocentowania (zarazem, z punktu widzenia
po\
yczkobiorcy, koszt pozyskanego kapitału) jest rekompensatą za brak mo\
liwości korzystania z
kapitału  inwestor zrezygnował (na okres po\
yczki) z dysponowania tÄ… kwotÄ… i wydatkowania jej na
własne cele konsumpcyjne, za co nale\
y mu sie rekompensata.
Cena ryzyka:
Drugim czynnikiem warunkujÄ…cym poziom wymaganej stopy zwrotu (stopy dyskontowej) jest ryzyko
związane z daną inwestycją. Ze względu na wagę tego zagadnienia poświęcony mu będzie osobny
artykuł. W tym miejscu zaznaczymy jedynie, i\
przez ryzyko rozumieć będziemy mo\
liwość realizacji
innych przepływów pienię\
nych ni\
spodziewane (co do wysokości i / lub dat ich wystąpienia). W tym
kontekście inwestycją wolną od ryzyka jest inwestycja, co do której mamy pewność, i\
zrealizowane
dochody będą dokładnie pokrywać się z zało\
eniami.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 18
Instrumentem finansowym spełniającym ww. warunek jest obligacja skarbowa (zakłada się, i\
Skarb
Państwa jest 100% gwarantem płatności). Nie oznacza to jednak, i\
obligacja skarbowa jest
instrumentem finansowym wolnym od wszelkiego rodzaju ryzyk (jest ona wolna od tzw. ryzyka
niewywiązania się z warunków umowy). W rzeczywistości obligacje skarbowe są obarczone pewnymi
szczególnymi rodzajami ryzyk  zagadnienie to zostanie omówione w jednym z kolejnych artykułów;
tutaj zaznaczmy jedynie, i\
dla potrzeb analizy i wyceny nieruchomości traktowanie obligacji
skarbowych jako instrumentów wolnych od ryzyka, jest dopuszczalnym uproszczeniem.
Poniewa\
, jak zostało to powiedziane, wymagana stopa zwrotu (stopa dyskontowa) nie mo\
e być
ni\
sza od stopy zwrotu z inwestycji wolnej od ryzyka, co mo\
na przedstawić następująco:
2.4
wprowadzając dodatkowy składnik sumy otrzymujemy następujące równanie:
2.5
gdzie:
r - stopa dyskontowa / wymagana stopa zwrotu (ang. Discount Rate)
rF - stopa zwrotu z inwestycji wolnej od ryzyka (ang. Risk Free Rate)
" - suma premii za ryzyka zwiÄ…zane z analizowanÄ… inwestycjÄ… (ang. Risk Premium)
2.4 Roczna oraz okresowa efektywna stopa dyskontowa
W sytuacji, w której płatności występują raz do roku, nie mamy \
adnych wątpliwości w jaki sposób
przeprowadzić obliczenia wartości bie\
ącej. W przypadku, gdy przepływy pienię\
ne występują w
krótszych ale regularnych okresach, przyjętym rozwiązaniem jest dyskontowanie tych przepływów przy
u\
yciu okresowej stopy dyskontowej. Poniewa\
stopa dyskontowa (w ujęciu rocznym) wyra\
ona jest w
formule efektywnej stopy procentowej, okresowa stopa dyskontowa powinna być wyznaczona zgodnie
z formułą (2.2).
Przykład (2.4):
Oszacować wartość bie\
ącą czterech kolejnych płatności 250.0000 zł na koniec ka\
dego z kwartałów,
dla wymaganej stopy zwrotu równej 10%, stosując stopę dyskontową w ujęciu kwartalnym (okresową
stopÄ™ dyskontowÄ…).
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 19
1 . 1 1 10% 1 2,4114%
250.000 250.000 250.000 250.000
942.504
1 2,4114 1 2,4114 1 2,4114 1 2,4114
Przedstawimy teraz alternatywny sposób dyskontowania przepływów pienię\
nych, który nie wymaga
przeliczania rocznej (efektywnej) stopy dyskontowej na odpowiadającą jej stopę dyskontową w ujęciu
okresowym.
Ogólny wzór na dyskontowanie dowolnego przepływu pienię\
nego, który ma miejsce za m dni od daty
wyceny, przy u\
yciu rocznej (efektywnej) stopy dyskontowej, ma postać:
2.6
1
gdzie:
m - liczba dni, po których następuje płatność CFm
Przykład (2.5):
Jaka jest wartość bie\
ąca kwoty 300.000 zł, której płatność wystąpi za 21 miesięcy (639 dni), jeśli stopa
dyskontowa wynosi 10%.
300.000 300.000
& 253.912
/ ,
1 10% 1 10%
Sprawdzenie:
Stopa dyskontowa w ujęciu kwartalnym, będąca odpowiednikiem stopy dyskontowej 10%, wynosi:
1 . 1 1 10% 1 2,4114%
Wartość bie\
ąca kwoty 300.000 zł uzyskanej za 21 miesięcy (tj. 7 kwartałów):
300.000
253.912
1 2,4114%
Na koniec, stosując dyskontowanie bezpośrednio przy u\
yciu stopy dyskontowej w skali roku,
ponownie przeliczmy przykład (2.4).
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 20
Przykład (2.4) c.d.:
Oszacować wartość bie\
ącą czterech płatności kwartalnych równych 250.000 zł, stosując przy tym
stopę dyskontową w ujęciu rocznym, równą 10%.
250.000 250.000 250.000 250.000
942.505
, , ,
1 10% 1 10% 1 10% 1 10%
Jak widać uzyskaliśmy identyczny wynik, jak przy u\
yciu kwartalnej stopy dyskontowej.
2.5 Stopa dyskontowa w ujęciu nominalnym i realnym
W poprzednim artykule powiedzieliśmy sobie, i\
generalnÄ… zasadÄ… jest, \
e wszystkie stopy procentowe
wyra\
ane są w ujęciu nominalnym. Zasada ta obowiązuje równie\
w przypadku stóp dyskontowych.
Poniewa\
jednak formalnie (tzn. z matematycznego punktu widzenia) mo\
liwe jest dyskontowanie
dochodów przy zastosowaniu stopy dyskontowej w ujęciu realnym, rozpatrzmy i skomentujmy to
rozwiÄ…zanie.
Na wstępie przypomnijmy zale\
ność pomiędzy  klasyczną stopą procentową (tj. stopą w ujęciu
nominalnym), a stopÄ… procentowÄ… wyra\
oną w tzw. ujęciu realnym:
1 1 · 1 2.7
Spróbujmy teraz rozwiązać parę przykładów obliczeniowych stosując stopę dyskontową w ujęciu
nominalnym oraz realnym.
Przykład (2.6):
Wycenić dwie następujące inwestycje, z których dochód w ostatnim roku wyniósł 100.000 zł (CF0),
przy następujących zało\
eniach:
a) inwestycja będzie przynosić dochody jeszcze przez 3 kolejne lata, przy czym ich poziom będzie
rósł zgodnie z inflacją;
b) inwestycja będzie przynosić dochody jeszcze przez 3 kolejne lata, przy czym ich poziom będzie
stały, tzn. na poziomie 100.000 zł;
stosując konwencję przepływów (i stóp zwrotu) w ujęciu nominalnym, zakładając wymaganą stopę
zwrotu na poziomie 10%, a rocznÄ… inflacjÄ™ na poziomie 3%.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 21
Wartość bie\
Ä…ca inwestycji (a):
· 1 100.000 · 1 3% 103.000
· 1 103.500 · 1 3% 106.090
· 1 106.090 · 1 3% 109.273
103.000 106.090 109.273
263.412
1 10% 1 10% 1 10%
Wartość bie\
Ä…ca inwestycji (b):
100.000 100.000 100.000
248.685
1 10% 1 10% 1 10%
Oczywiście wartość bie\
Ä…ca inwestycji (a) jest wy\
sza, gdy\
dochody w kolejnych latach sÄ… wy\
sze.
Spróbujmy teraz rozwiązać to samo zadanie, ale wykorzystując do tego stopę dyskontową wyra\
onÄ… w
ujęciu realnym; oczywiście powinniśmy uzyskać dokładnie takie same wyniki. Konieczne jest
zdefiniowanie przepływów pienię\
nych w ujęciu nominalnym oraz realnym. Jest to o tyle istotne, i\

klasyczną (zwykłą, nominalną) stopę dyskontową stosować nale\
y do przepływów w ujęciu
nominalnym, zaś stopę dyskontową w ujęciu realnym stosuje się do przepływów pienię\
nych
wyra\
onych w tzw. ujęciu realnym.
Problemem jest m.in. to, i\
terminy nominalny oraz realny przepływ pienię\
ny niezbyt trafnie oddajÄ…
 rzeczywistość i mogą wprowadzać czytelnika w błąd. Pamiętając z poprzedniego artykułu, czym jest
stopa procentowa w ujęciu nominalnym i realnym, przepływy pienię\
ne w ujęciu nominalnym i
realnym mo\
na zdefiniować następująco:
" przez nominalny przepływ pienię\
ny w dacie t rozumieć będziemy kwotę pienię\
ną, która
 rzeczywiście w tej dacie będzie miała miejsce. Przykładowo  jeśli za 5 lat spodziewamy się
100.000 zł, to rzeczywiście taką kwotę (nominalnie) otrzymamy;
" przez realny przepływ pienię\
ny w dacie t rozumieć będziemy natomiast pewną kwotę, której
wysokość (w ujęciu nominalnym) jest nieznana, ale pod względem siły nabywczej stanowi ona
równowartość danej kwoty w dniu dzisiejszym (tzn. w dacie wyceny). Przykładowo: kwota
100.000 zł za okres 3 lat, wyra\
ona w ujęciu realnym, oznacza nieznaną nominalnie kwotę,
która pod względem siły nabywczej stanowi równowartość  dzisiejszych 100.000 zł.
Zale\
ność pomiędzy przepływami pienię\
nymi w ujęciu realnym i nominalnym przedstawić mo\
na w
sposób następujący:
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 22
· 1 2.8
albo:
2.9
1
gdzie:
m - oznaczenie roku, przy zało\
eniu płatności na koniec okresu ( z dołu);
CFm - przepływ pienię\
ny (w ujęciu nominalnym) na koniec m-tego roku;
CFm(real) - przepływ pienię\
ny w ujęciu realnym, na koniec m-tego roku.
Konsekwentnie pomijamy przy tym indeks nominal przy przepływach w ujęciu nominalnym,
zachowując indeks real przy przepływach w ujęciu realnym
WiedzÄ…c ju\
, jak dokonać przeliczenia przepływów pienię\
nych na kwoty wyra\
one w ujęciu realnym,
mo\
emy wrócić do przykładu (2.6).
Przykład (2.7):
Dla danych z przykładu (2.6) nale\
y wyznaczyć stopę dyskontową w tzw. ujęciu realnym, a następnie
wyznaczyć wartość bie\
Ä…cÄ… inwestycji (a) oraz inwestycji (b).
Stopa dyskontowa w ujęciu realnym:
1 1 10%
1 1 6,7961%
1 1 3%
Wartość bie\
Ä…ca inwestycji (a):
Poniewa\
dochody wzrastają zgodnie z inflacją, więc realna wartość wszystkich dochodów jest taka
sama  jest to równowartość  dzisiejszych 100.000 zł (za kwotę 100.000 zł w dniu dzisiejszym
mo\
emy zakupić realnie tyle samo dóbr, co za kwotę 106.090 zł za dwa lata). Przykładowo:
· 1 100.000 · 1 3%
100.000
1 1 1 3%
Oznacza to, i\
dyskontować będziemy przepływy w ujęciu realnym, równe 100.000 zł ka\
dy:
100.000 100.000 100.000
263.412
1 6,7961% 1 6,7961% 1 6,7961%
Jak widać, uzyskaliśmy ten sam wynik, co w przykładzie (2.6)
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 23
Wartość bie\
Ä…ca inwestycji (b):
Inwestycja (b) charakteryzuje się stałymi (w ujęciu nominalnym) dochodami, co przy niezerowej
inflacji oznacza, i\
ka\
dy kolejny dochód jest realnie ni\
szy ni\
poprzedni. Chcąc dokonać
dyskontowania przy u\
yciu stopy procentowej w ujęciu realnym, nale\
y obliczyć zatem  realną
wartość ka\
dego z tych dochodów:
100.000
97.087
1 1 1 3%
100.000
94.259
1 1 1 3%
100.000
91.514
1 1 1 3%
Dyskontowanie przepływów pienię\
nych wyra\
onych w ujęciu realnym:
97.087 94.259 91.514
248.684
1 6,7961% 1 6,7961% 1 6,7961%
Znów uzyskaliśmy taki sam rezultat, jak w przykładzie (2.6); ró\
nica 1 zł wynika z zaokrągleń. Nie ma
zatem znaczenia, czy obliczeń dokonujemy zestawiając dochody i stopy dyskontowe w ujęciu
nominalnym, czy te\
w ujęciu realnym.
Widzimy zatem, i\
z punktu widzenia matematyki finansowej nie ma znaczenia, czy wyceny dokonuje
się analizując przepływy pienię\
ne (i stopy) w ujęciu nominalnym, czy te\
realnym. Widzimy równie\

szereg wad podejścia opartego na tzw. przepływach realnych: konieczność odpowiedniego
 przeliczania przepływów pienię\
nych, nienaturalny (mogący wprowadzać w błąd) sposób prezentacji
dochodów w przypadku przepływów o nominalnie stałej wartości (w ujęciu realnym są to przepływy
malejące), trudności w analizie porównawczej stóp zwrotu w sytuacji, gdy na rynku przyjętym
standardem jest prezentowanie stóp procentowych w ujęciu nominalnym, trudności w analizie danych
historycznych (które równie\
prezentowane są w ujęciu nominalnym) i szereg innych.
Dlatego te\
przyjętą zasadą jest, i\
stosując dyskontowe metody wyceny przepływy pienię\
ne
(dochody, wydatki) prezentowane są w ujęciu nominalnym. Taki te\
sposób będzie przez nas przyjęty
w dalszej części cyklu artykułów, przy czym sporadycznie przedstawiać będziemy równie\
obliczenia
w ujęciu  realnym , wskazując na ich równowa\
ność z punktu widzenia uzyskiwanych wyników.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 24
3. Stopa kapitalizacji
3.1 Mno\
nikowe metody wyceny
Przez mno\
nikową metodę wyceny rozumie się metodę, w której wynik jest iloczynem dwóch
czynników:
" liczby jednostek porównawczych;
" jednostkowej ceny rynkowej.
W tym ujęciu metody mno\
nikowe traktowane są jako metody porównawcze, gdy\
poziom cen
jednostkowych ustalany jest w oparciu o analizę rynku podobnych (porównywalnych) inwestycji.
Jedną z najistotniejszych decyzji jest odpowiedni (właściwy) wybór jednostki porównawczej; z punktu
widzenia zasad wyceny powinien to być podstawowy parametr (cecha) inwestycji o charakterze
ilościowym. W przypadku nieruchomości takim parametrem mo\
e być określona miara  wielkości
nieruchomości (pow. działki, pow. u\
ytkowa, kubatura itp.), tym niemniej przy wycenie nieruchomości
generujących cykliczne przepływy pienię\
ne często stosowanym parametrem porównawczym jest
okresowy, z reguły roczny, dochód (uwaga: na tym etapie nie wnikając, o jaki rodzaj dochodu chodzi 
systematyzację terminologiczną w tym zakresie wprowadzimy w następnym artykule).
Nale\
y zaznaczyć, i\
mno\
nikowe metody wyceny są metodami stosowanymi dla ró\
nego rodzaju
inwestycji, niekoniecznie nieruchomości; przykładowo na obszarze wyceny spółek do mno\
nikowych
metod wyceny zaliczyć mo\
na m.in. metodÄ™ wskaz
nika cenowego zysku P/E (ang. Price to Earnings
Ratio). Wartość akcji spółki równa jest tutaj iloczynowi zysku netto przypadającego na jedną akcję EPS
(ang. Earnings Per Share) oraz wskaz
nika P/E ustalonego w oparciu o dane z rynku (tutaj:
kapitałowego).
Przykład (3.1):
Zysk netto przypadający na jedną akcję spółki ABC w najbli\
szym roku wyniesie 5,00 zł. Analiza
wykazała, i\
dla spółek tej bran\
y wskaz
nik P/E oscyluje wokół wartości 6,25.
Wartość jednej akcji spółki ABC:
5,00 · 6,25 31,25
W powy\
szym przykładzie jednostką porównawczą jest zysk netto (odpowiednik dochodu) równy 5,00
złotych, zaś mno\
nikiem rocznego zysku netto jest liczba 6,25.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 25
Warto zaznaczyć, i\
na obszarze mno\
nikowych metod wyceny, w których jednostką porównawczą jest
szeroko rozumiany dochód, mno\
nik tego dochodu nazywany jest współczynnikiem kapitalizacji,
gdzie przez kapitalizację rozumie się określanie wartości przy u\
yciu mno\
nika okresowego (rocznego)
dochodu (uwaga: nie mylić z kapitalizacją omówioną w pierwszym artykule, która została zdefiniowana
jako konwencja naliczania odsetek i dopisywania do kapitału).
W analizowanym przykładzie nie brane były przez nas pod uwagę czynniki ryzyka (wyniki finansowe
ró\
nych spółek mogą charakteryzować się ró\
nym poziomem ryzyka operacyjnego i finansowego), jak
równie\
to, i\
przewidywane zyski w kolejnych latach mogą się ró\
nić pod względem dynamiki
(wzrostu / spadku w kolejnych latach) i okresu ich występowania. Po prostu zało\
yliśmy, i\

 podobieństwo wycenianej spółki do tych spółek, dla których wyznaczony został wskaz
nik P/E,
sprowadza się w szczególności do:
" analogicznego poziomu ryzyka, w szczególności ryzyka operacyjnego i finansowego;
" analogicznej dynamiki wyników finansowych (np. wzrostu zysków netto);
" porównywalnego okresu generowania przepływów pienię\
nych.
Kwestie identyfikacji i szacowania ryzyka oraz odpowiedniego korygowania współczynnika
kapitalizacji zostaną przez nas omówione w kolejnych artykułach, a tutaj skoncentrujemy się na
pozostałych zagadnieniach.
Oczywistym jest, i\
w przypadku, gdy analizowana inwestycja cechuje się inną dynamiką przepływów
pieniÄ™\
nych i / lub okresu ich generowania ni\
inwestycje porównawcze (dla których zostały
wyznaczone odpowiednie  rynkowe współczynniki kapitalizacji), przyjęty do wyceny mno\
nik
rocznego dochodu powinien być odpowiednio skorygowany. Poziom tej korekty mo\
na ustalić poprzez
wykorzystanie odpowiednich zale\
ności matematycznych, które zostaną przez nas omówione w
następnym podpunkcie, dotyczącym rachunku tzw. rent.
3.2 Rachunek rentowy
W poprzednich artykułach poznaliśmy podstawowe wzory matematyki finansowej, w tym m.in. na
wartość bie\
ącą ciągu płatności płatnych z dołu, występujących w równych okresach:
3.1
1
Przyjmijmy przy tym, w celu uproszczenia rozwa\
ań, i\
dotyczy to okresów rocznych.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 26
W przypadku, gdy poszczególne przepływy pienię\
ne cechuje pewna prawidłowość co do ich
wysokości  np. są płatności równe co do wartości, albo te\
rosną w postępie arytmetycznym lub
geometrycznym, to taki ciąg płatności nazywany jest rentą.
Ze względu na zakres cyklu artykułów ograniczymy się tutaj do przedstawienia i omówienia wzorów na
wartość bie\
ącą dwóch rodzajów renty o płatnościach występujących na koniec okresu (renty płatne z
dołu)  renty o stałych płatnościach oraz renty o płatnościach rosnących w postępie geometrycznym
(tzw. renta geometryczna).
W sytuacji, w której kolejne płatności są stałe, tj. zachodzi następujący warunek:
&
ogólny wzór na ich wartość bie\
ącą (3.1) ulega matematycznemu przekształceniu i przyjmuje postać:
1
1
1
· 3.2
1
gdzie:
n - liczba okresów (lat), w których występują przepływy pienię\
ne
r - wymagana stopa zwrotu
Przykład (3.2):
Rozpatrujemy rentę składającą się z 3 płatności równych 104.000 zł, płatnych z dołu. Jaka jest ich
wartość bie\
ąca, jeśli stopa wymagana stopa zwrotu wynosi 10% w skali roku?
Stosując wzór ogólny  dyskontowanie przepływów pienię\
nych:
104.000 104.000 104.000
258.633
1 1 10% 1 10% 1 10%
Obliczenia przy wykorzystaniu wzoru na wartość renty płatnej z dołu:
1 1
1 1
1 1 10%
· 104.000 · 104.000 · 2,48685 258.632
10%
Widzimy zatem, i\
wykorzystując wzór (3.2) uzyskaliśmy ten sam wynik, co dyskontując ka\
dy z
dochodów  z osobna (ró\
nica 1 zł wynika z zaokrągleń). Dlatego te\
mno\
nik ten na obszarze
matematyki finansowej nazywany jest współczynnikiem łącznego dyskonta.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 27
Zauwa\
my te\
, i\
w sytuacji, w której liczba okresów, w których inwestycja będzie przynosić stałe
dochody, dÄ…\
y do nieskończoności (tzw. renta wieczysta), współczynnik ten przyjmie następującą
postać:
1
1
1
1
lim 3.3
Przykład (3.3):
Rozpatrujemy rentę składającą się z nieskończonej liczby płatności równych 104.000 zł (renta
wieczysta, płatna z dołu). Obliczyć wartość bie\
Ä…cÄ… renty dla wymaganej stopy zwrotu 10%.
1 1
· 104.000 · 1.040.000
10%
Drugim rodzajem renty, który omówimy, jest wzór na wartość bie\
ącą renty geometrycznej płatnej z
dołu. Przez rentę geometryczną rozumieć będziemy rentę, w której ma miejsce następująca zale\
ność
pomiędzy kolejnymi płatnościami:
· 1
· 1 · 1
[...]
· 1 · 1
Uwaga  stosunkowo często w rozwa\
aniach wprowadza się przepływ pienię\
ny (dochód) w ostatnim
roku poprzedzajÄ…cym analizÄ™, oznaczany symbolem CF0, zaÅ› zale\
ności pomiędzy dochodami w
kolejnych okresach przedstawia się następująco:
· 1
· 1 · 1
[...]
· 1 · 1
W takim przypadku ogólny wzór na wartość bie\
ącą ciągu takich płatności:
· 1
3.4
1
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 28
ulega matematycznemu przekształca się do następującej postaci:
1
1
1
· 3.5
przy czym spełniony musi być warunek:
Warto przy tym zaznaczyć, i\
stosunkowo często zakłada się wzrost przepływów pienię\
nych zgodny z
inflacją (oznacza to zało\
enie stałych przepływów pienię\
nych w ujęciu realnym) W takim przypadku
symbol q mo\
na zastąpić symbolem inflacji CPI, zaś warunek r > q mo\
na przedstawić jako
następującą zale\
ność:
z której wynika, i\
poziom wymaganej stopy zwrotu musi być wy\
szy od poziomu inflacji, co jest
zgodne z podstawowymi zało\
eniami co do minimalnego poziomu wymaganej stopy zwrotu (patrz:
punkt 2.3 w poprzednim artykule).
Przykład (3.4):
Dochód w ostatnim roku wyniósł 100.000 zł. Przewiduje się, i\
inwestycja przynosić będzie dochody
jeszcze przez 3 kolejne lata. Poziom dochodów będzie rósł w tempie 4% rocznie. Obliczyć wartość
bie\
ącą inwestycji zakładając poziom wymaganej stopy zwrotu równy 10%.
1
1 1,04
1
1,10
1
· 104.000 · 104.000 · 2,5812 268.445
0,10 0,04
Sprawdzenie:
104.000 · 1 4%
· 1
1 1 10%
104.000 · 1,04 104.000 · 1,04 104.000 · 1,04
1 10% 1 10% 1 10%
94.545 89.388 84.513 268.446
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 29
Podobnie, jak w przypadku renty o stałych płatnościach, wzór (3.5) mo\
na przekształcić dla przypadku,
w którym liczba płatności n dą\
y do nieskończoności:
1
1
1
1
lim 3.6
Przykład (3.5):
Płatność w ostatnim roku wyniosła 100.000 zł. Przewiduje się, i\
w kolejnych latach płatności te będą
rosły w tempie 4% rocznie, zaś liczba płatności dą\
y do nieskończoności. Obliczyć wartość bie\
Ä…cÄ… tej
renty zakładając wymaganą stopę zwrotu na poziomie 12%.
RozwiÄ…zanie:
1 1
· 104.000 · 1.300.000
12% 4%
3.3 Definicja i interpretacja współczynnika kapitalizacji
W pierwszym podpunkcie poznaliśmy metody wyceny inwestycji, polegające na określaniu wartości
jako iloczynu szeroko rozumianego dochodu (w skali roku) oraz odpowiedniego współczynnika
określonego na podstawie analizy danych rynkowych. Dodajmy, i\
na tym obszarze współczynnik ten
nazywany jest generalnie współczynnikiem kapitalizacji.
Z kolei w podpunkcie 3.2 poznaliśmy wzory na wartość bie\
ącą ciągu płatności; przy czym wzory te są
w rzeczywistości matematycznymi przekształceniami ogólnego wzoru na wartość bie\
ącą przyszłych
przepływów pienię\
nych.
Zauwa\
yliśmy, i\
w przypadku, gdy poszczególne przepływy pienię\
ne (dochody, zyski) są stałe,
względnie rosną w postępie geometrycznym, ich wartość bie\
Ä…cÄ… mo\
na wyrazić jako iloczyn pierwszej
płatności, oraz odpowiedniego mno\
nika, którego wysokość zale\
y od:
" liczby okresów;
" poziomu wymaganej stopy zwrotu.
Dodajmy, i\
na obszarze matematyki finansowej, w przypadku przepływów pienię\
nych o stałych
wartościach, mno\
nik ten nazywany jest współczynnikiem łącznego dyskonta.
Powróćmy na chwilę do przykładu (3.1), w którym obliczyliśmy wartość jednej akcji spółki ABC jako
iloczyn rocznego zysku w najbli\
szym roku (równego 5,00 zł) oraz współczynnika kapitalizacji,
wynoszÄ…cego 6,25.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 30
Zauwa\
my, i\
mo\
liwych jest kilka interpretacji współczynnika kapitalizacji:
" jednostkowa cena / wartość inwestycji: rynek płaci 6,25 zł za ka\
dą złotówkę zysku netto w
kolejnym roku;
" okres zwrotu inwestycji: zakładając, i\
dochody (tutaj: zysk netto) w kolejnych latach będą stałe
po upływie 6 lat i 3 miesięcy suma dochodów będzie równa zainwestowanej kwocie.
Bardziej wnikliwa analiza doprowadzi nas jednak do wniosku, i\
druga interpretacja mo\
e być
nieuprawniona. W rzeczywistości nie wiemy bowiem, czy mno\
nik 6,25 oznaczał poziom wymaganej
stopy zwrotu równy 16%, i oczekiwanie stabilnych zysków w kolejnych latach, co by oznaczało
następującą zale\
ność:
1
31,25 5,00 ·
16%
dla której okres zwrotu rzeczywiście wyniesie 6 lat i 3 miesiące, czy te\
poziom wymaganej stopy
zwrotu wynosił np. 20%, przy spodziewanym tempie wzrostu zysków 4%, czyli:
1
31,25 5,00 ·
20% 4%
co oznaczałoby zwrot zainwestowanych środków pienię\
nych po upływie 5 lat i 9 miesięcy
(sprawdzenie wyniku tego obliczenia pozostawiamy czytelnikowi).
Z tych samych przyczyn nieuprawniona mo\
e być interpretacja współczynnika kapitalizacji jako
współczynnika łącznego dyskonta, wyra\
onego wzorem (3.2), którego wykorzystywanie ograniczone
jest do inwestycji cechujących się stałymi przepływami pienię\
nymi.
3.4 Definicja stopy kapitalizacji
W dotychczasowych rozwa\
aniach, niejako zamiennie u\
ywaliśmy takich pojęć, jak: dochód, zysk,
przepływ pienię\
ny itp. Ograniczyliśmy się przy tym tylko do uwagi, i\
w tym zakresie systematyzacja
terminologiczna będzie miała miejsce w kolejnym artykule. Poniewa\
jednak cały cykl poświęcony jest
nieruchomościom komercyjnym, ju\
teraz przejdz
my do oznaczeń typowych na tym obszarze; w
szczególności cykliczne dochody z nieruchomości oznaczać będziemy symbolem NOI (ang. Net
Operating Income), czyli dochody operacyjne netto, zaś stopę kapitalizacji oznaczać będziemy
symbolem R.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 31
Na obszarze wyceny nieruchomości zdefiniowanych jest wiele ró\
nych stóp kapitalizacji. Na początku
zdefiniujemy ogólną stopę kapitalizacji (ang. Overall Capitalization Rate).
Przez ogólną stopę kapitalizacji rozumie się iloraz dochodu w pierwszym roku inwestycji oraz ceny
(wartości) przedmiotu inwestycji:
3.7
gdzie symbol P oznacza cenÄ™ (ang. Price) inwestycji; albo:
3.8
w zale\
ności od kontekstu rozwa\
ań.
Poniewa\
w przypadku metod mno\
nikowych wartość inwestycji (tutaj: nieruchomości) równa jest
iloczynowi rocznego dochodu oraz współczynnika kapitalizacji, stopa kapitalizacji w tym ujęciu równa
jest odwrotności współczynnika kapitalizacji.
Oczywiście zastrze\
enia co do mo\
liwych interpretacji wartości liczbowej stopy kapitalizacji są takie
same, jak w przypadku współczynnika kapitalizacji  w szczególności stopy tej nie mo\
na
bezkrytycznie interpretować jako miernika opłacalności inwestycji, w szczególności zaś jako miary
stopy zwrotu z inwestycji. Jest to o tyle oczywiste, gdy\
ze wzorów (3.2) i (3.3) wynika, i\

współczynnik kapitalizacji równy jest odwrotności stopy zwrotu tylko w przypadku renty wieczystej o
stałych dochodach płatnych z dołu.
Przykład (3.6):
Rozpatrywana jest następująca inwestycja: dochód w pierwszym roku wyniesie 104.000 zł, zaś w
kolejnych latach dochody będą rosły w tempie 4% rocznie. Inwestycja przynosić będzie dochody przez
okres 20 lat. Oszacować wartość tej inwestycji zakładając wymaganą stopę zwrotu równą 10%.
Rozwiązanie (wartość współczynnika kapitalizacji zaokrąglono):
1
1 1,04
1
1,10
1
· 104.000 · 104.000 · 11,2384 1.168.794
0,10 0,04
Sprawdzenie obliczeń przy u\
yciu wzoru (3.4) pozostawiamy czytelnikowi.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 32
Jak widać mno\
nik dochodu z pierwszego roku wyniósł 11,2384, a odpowiadająca mu stopa
kapitalizacji 8,90%, która ró\
ni siÄ™ od wymaganej stopy zwrotu (tutaj: 10%).
Interpretacja stopy kapitalizacji prostej:
Stopa kapitalizacji prostej jest ilorazem dwóch wielkości  rocznego dochodu oraz ceny lub wartości
przedmiotu inwestycji. Stopa kapitalizacji nie jest miarą efektywności inwestycji, przy czym, w
pewnych szczególnych przypadkach, jej wartość liczbowa równa jest wartości liczbowej stopy zwrotu.
3.4 Matematyczne zale\
ności pomiędzy stopą zwrotu a stopą kapitalizacji
Jak zostało to powiedziane, nieuprawnionym jest traktowanie stopy kapitalizacji jako miary
efektywności inwestycji, której właściwą miarą jest stopa zwrotu (z reguły wyznaczana jako
wewnętrzna stopa zwrotu IRR). Pomiędzy tymi dwiema stopami procentowymi zachodzi następująca,
ogólna zale\
ność:
3.9
·
1
Wzór ten, w ró\
nych szczególnych sytuacjach, ulec mo\
e pewnym przekształceniom, w wyniku których
mo\
na przedstawić znacznie uproszczone zale\
ności między stopą zwrotu a stopą kapitalizacji. Poni\
ej
przedstawimy kilka najczęstszych pamiętając przy tym, i\
została przez nas przyjęta konwencja
prezentacji stóp procentowych (jak te\
dochodów) w ujęciu nominalnym:
W następujących sytuacjach wartość liczbowa stopy kapitalizacji równa jest stopie zwrotu z inwestycji:
3.10
" kolejne dochody są stałe pod względem nominalnym (NOIi = constans), zaś liczba okresów
dochodów z nieruchomości dą\
y do nieskończoności (n ");
" kolejne dochody są stale pod względem nominalnym, zaś wartość nieruchomości jest równa
cenie zakupu nieruchomości (dla dowolnej liczby okresów dyskontowania n).
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 33
W następujących sytuacjach wartość liczbowa stopy kapitalizacji jest równa stopie zwrotu z inwestycji
pomniejszonej o inflacjÄ™:
3.11
" ka\
dy kolejny dochód jest wy\
szy od poprzedniego o wskaz
nik inflacji CPI, zaś liczba okresów
dochodów z nieruchomości dą\
y do nieskończoności (n ");
" ka\
dy kolejny dochód jest wy\
szy od poprzedniego o wskaz
nik inflacji CPI, a ponadto wartość
nieruchomości corocznie wzrasta o wzrost cen (dla dowolnej liczby okresów dyskontowania n).
Przykład (3.7):
Wyznaczyć stopę kapitalizacji i stopę zwrotu z inwestycji w nieruchomości nabytej za cenę równą
1.000.000 zł, dla której dochód operacyjny netto w ostatnim roku wyniósł 100.000 zł, zaś w kolejnych
latach oczekuje się wzrostu dochodów oraz wartości nieruchomości zgodnie z inflacją. Przyjąć inflację
na poziomie 3,5% oraz przeanalizować 3-letnią inwestycję.
Ogólna (klasyczna) stopa kapitalizacji (w oparciu o prognozę dochodu w 1. roku):
100.000 · 1 3,5%
10,35%
1.000.000
Przewidywane dochody z nieruchomości w kolejnych latach inwestycji:
100.000 · 1 3,5% 103.500
100.000 · 1 3,5% 107.122
100.000 · 1 3,5% 110.872
Przewidywana wartość nieruchomości na koniec 3-letniego okresu inwestycji:
1.000.000 · 1 3,5% 1.108.718
Zale\
ność do wyznaczenia stopy zwrotu według formuły wewnętrznej stopy zwrotu:
103.500 107.122 110.872 1.108.718
1.000.000 13,85%
1 1 1
Jak widać, spełniona jest zale\
ność określona wzorem (3.11):
10,35% 13,85% 3,50% 10,35%
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 34
Dodajmy przy tym, i\
w sytuacji, w której z określonych przyczyn dyskontowaniu podlegają dochody
wyra\
one w tzw. ujęciu realnym, wartość liczbowa stopy kapitalizacji równa jest wartości liczbowej
stopy zwrotu,
3.12
jeśli poziom dochodów w ujęciu realnym jest stały (constans), zaś liczba okresów dą\
y do
nieskończoności, albo (przy ograniczonej liczbie okresów) wartość realna nieruchomości jest równa
cenie zakupu / wartości początkowej:
Przykład (3.8):
Dla danych z przykładu (3.7) wyznaczyć stopę zwrotu w ujęciu realnym.
103.500
10,35%
1.000.000
Sprawdzenie:
103.500 103.500 103.500 1.000.000
1.000.000
1 10,35% 1 10,35% 1 10,35%
Jak widać, dyskontując dochody wyra\
one w tzw. ujęciu realnym, przy zastosowaniu realnej stopy
zwrotu, uzyskaliśmy prawidłowy wynik.
3.5 Przegląd wybranych stóp kapitalizacji na obszarze nieruchomości komercyjnych
W podpunkcie 3.3 napisaliśmy, i\
na obszarze wyceny nieruchomości zdefiniowanych jest wiele
ró\
nych stóp kapitalizacji. Na tym etapie rozwa\
ań ograniczymy się do przedstawienia i krótkiej
charakterystyki następujących stóp kapitalizacji:
" ogólna (klasyczna) stopa kapitalizacji;
" historyczna stopa kapitalizacji;
" stopa kapitalizacji wartości rezydualnej;
" stopa kapitalizacji typu Prime (tzw. Prime Yield).
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 35
Ogólna stopa kapitalizacji (ozn. R, ang. Overall Capitalization Rate), albo po prostu stopa
kapitalizacji, jest to iloraz dochodu operacyjnego netto w pierwszym roku oraz, w zale\
ności od
kontekstu rozwa\
ań, ceny lub wartości nieruchomości:
albo 3.13
Historyczna stopa kapitalizacji (ozn. RH, ang. Historical Capitalization Rate), jest to iloraz dochodu
operacyjnego netto w roku bezpośrednio poprzedzającym zakup nieruchomości oraz, w zale\
ności od
kontekstu rozwa\
ań, ceny lub wartości nieruchomości:
albo 3.14
Najczęściej przyjmowanym zało\
eniem jest, i\
wzrost dochodów jest zgodny z inflacją (CPI). Oznacza
to następującą zale\
ność pomiędzy wymienionymi wy\
ej stopami kapitalizacji:
· 1 3.15
Stopa kapitalizacji wartości rezydualnej (ozn. RT, ang. Terminal / Residual Capitalization Rate);
stopa właściwa do skapitalizowania dochodów występujących po okresie szczegółowej prognozy,
przekształcająca roczny, z reguły ustabilizowany dochód operacyjny netto w roku n+1, w tzw. wartość
rezydualną nieruchomości; czyli:
gdzie 3.16
1 1
Zagadnienie to będzie bardziej szczegółowo omówione w następnym artykule, poświęconym kalkulacji
dochodów z nieruchomości (wartość rezydualna RV jest traktowana jako prognoza dochodu ze
sprzeda\
y nieruchomości); tutaj ograniczymy się do stwierdzenia, i\
stopa RT jest w tym kontekście
prognozą stóp kapitalizacji za n lat.
Stopa kapitalizacji typu Prime (ang. Prime Yield). Jest to pewna stopa kapitalizacji specyficzna dla
europejskiego rynku nieruchomości; w istocie stopa ta jest estymacją ceny mo\
liwej do uzyskania na
wolnym rynku przy spełnieniu następujących zało\
eń:
" nieruchomość charakteryzuje się zerowym zu\
yciem technicznym, najwy\
szym standardem
(np. klasa A) oraz najlepszą lokalizacją (np. w przypadku biurowców jest to strefa CBD);
" poziom stawek czynszu i pustostanów na nieruchomości odzwierciedla aktualny stan rynku,
zaś nieruchomość jest wynajęta wiarygodnym podmiotom na czas oznaczony.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.
Podstawy matematyki finansowej (Studia Podyplomowe  Wycena Nieruchomości  Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu) str. 36
Z tego punktu widzenia stopa kapitalizacji typu Prime jest, wyra\
onÄ… w procencie rocznego dochodu
operacyjnego netto, estymacją ceny  najlepszej nieruchomości danego rodzaju. Przez najlepszą
rozumie siÄ™ tutaj obarczonÄ… najni\
szym ryzykiem co oznacza, i\
stopa ta jest najni\
szÄ… mo\
liwÄ… do
akceptacji stopą kapitalizacji na rynku nieruchomości danego rodzaju. Uczestnicy rynku nieruchomości,
kalkulując poziom wymaganych stóp kapitalizacji traktują te stopy Prime jako swoisty punkt
odniesienia, stosując następujący wzór:
3.17
gdzie:
R - stopa kapitalizacji właściwa do wyceny analizowanej nieruchomości;
Rprime - stopa kapitalizacji typu Prime, właściwa ze względu na rodzaj nieruchomości;
" - suma premii za ryzyka związane z wycenianą nieruchomością (ang. Risk Premium).
Zauwa\
my, i\
w tym ujęciu stopa Prime pełni rolę podobną do stopy wolnej od ryzyka we wzorze (2.5)
na stopę dyskontową (patrz: poprzedni artykuł). Wynika to z zało\
enia, i\
jest to stopa kapitalizacji dla
nieruchomości obarczonych najmniejszym ryzykiem inwestycyjnym, a co za tym idzie inne
nieruchomości są obarczone ryzykiem nie ni\
szym, i właściwa do ich wyceny stopa kapitalizacji
powinna być nie ni\
sza ni\
, stopa typu Prime.
opracował: mgr in\
. Piotr Cegielski Wrocław, listopad 2011.