DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
POJ
CIE SIA
Y
W kinematyce nie rozpatrywaliśmy przyczyn.
Dynamika szuka związku pomiędzy oddziaływaniem ciał, a ich
ruchem.

a - działa tam, gdzie występują zmiany v (zmiany co do wartośi i
kierunku)

Przyczyną a ciał jest zawsze oddziaływanie innych ciał: bez-
pośrednie (np. sprężyna), lub pośrednie (pola grawitacyjne, ma-
gnet., jądrowe...)
Mówimy, że przyczyną powstania przyspieszenia zawsze jest
siła wywierana na dane ciało.
POMIAR SIA
Y
Waga skręceń
Rozciąganie
skręcenie
.
F ~ x, F= k x
M ą
~
201
ZASADY DYNAMIKI
Dziwnym zrządzeniem mimo iż wszelkim ruchem w zakresie
naszej aktywności rządzą prawa dynamiki, to zostały one sformu-
łowane bardzo niedawno. Dopiero pod koniec XVII w. (1687 r.) Iza-
ak Newton opublikował je w dziele Początki matematyczne filozofii
przyrody.
I ZASADA DYNAMIKI (I ZDN)
a" Zasadzie Bezwładności
Intuicyjnie siły postrzegamy jako pociągnięcia lub popchnięcia.
Pytania:
1. co należy zrobić, aby ciało spoczywające wprawić w ruch?
2. co należy zrobić, aby ciało spoczywające dalej spoczywało?
Odpowiedzi:
ad 1. podziałać niezrównoważoną siłą (popchnąć!)
ad 2. nie działać na nie siłą niezrównoważoną (nie pchać = nic nie
robić!)
Siły są wektorami - charakteryzują się wartością (opisaną liczbą)
oraz kierunkiem i zwrotem.
Jeżeli na dane ciało podziałamy w tym samym kierunku dwiema

siłami np F1X + F2X = (F1+ F2 )X to sumaryczny efekt będzie równy
sumie tych dwóch sił.
W ogólnym przypadku siły podlegają prawu dodawania wek-

n
torów (pwt): F = Fi
"
i=1
202
 Odczuwamy intuicyjnie, że jeśli na ciało będą działały dwie
siły równej wielkości lecz przeciwnie skierowane, to ciało to pozo-
stanie w spoczynku jeśli uprzednio spoczywało.
Identyczny efekt wystąpi, gdy np. w autobusie linii 85 5-ciu sąsia-
dów napiera na nas z identyczną siłą każdy o zwrocie przesuniętym
o kąt 72o (0,4 Ą rd) - nie wysiądziemy.
Widzimy, że stan braku działania sił i działanie sił zrównowa-
żonych, z punktu widzenia ruchu ciał jest równoważny.
r r
F = 0 a"
"F = 0
i
i
Jeśli myślimy o skutku to ciało poruszające się ruchem
jednostajnym prostoliniowym będzie dalej się tak samo poru-
szało, a spoczywające będzie nadal spoczywało:
r
r
v = 0
v = Const
lub .
Własność ciała, która powoduje, że ciało zachowuje
swój stan spoczynku albo ruchu jednostajnego po linii prostej,
w przypadku gdy na nie nie działają inne ciała nazywamy
BEZWA
ADNOŚCI
.
Podsumujmy ww. jednym zdaniem.
Pierwsza Zasada Dynamiki Newtona (I ZDN):
203
Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równo-
ważą się, to ciało znajduje się w spoczynku lub porusza się
ruchem jednostajnym po linii prostej
r
r
r r
F = 0 v = Const v = 0
gdy lub = 0 ; to lub
"F
i
i
Układ odniesienia
Stany spoczynku i ruchu zależą od wyboru układu od-
niesienia (np. winda, mijające się pociągi).
Zasady dynamiki obowiązują tylko w tzw. inercyjnych ukła-
dach odniesienia tzn. takich które spoczywają (?)
lub
poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym (bez obro-
tu i przyspieszenia).
Żart:
Czy ww. ciała zawsze poruszają się ruchem jednostajnym prostoli-
niowym?
Odp.: piłka o niesymetrycznym rozkładzie masy - nie!
204
II ZASADA DYNAMIKI (II ZDN)
Pytanie o przyspieszenie a = ? (inaczej mówiąc o efekt).
Pytania:
1. jaki efekt wywierają na ciało o danej masie m siły o różnej warto-
ści F1 = 2F2? (F1 > F2; F1 - dwa razy silniejsze uderzenie)
2. Jaki efekt wywiera dana siła F na ciała różniące się masą
m1 = 2m2? (m1 > m2; m1 - dwa razy większa masa)
ad 1. Czym większa wartość
siły tym większe przyspiesze-
a
F
nie,
F
a
tzn. gdy m = Const,
a <"
<" F,
<"
<"
r
ad 2. gdy F = Const ,
=
=
=
F
a
1
a <"
<"
<"
<"
m
F
a
205
Podsumowując ww. otrzymujemy II ZDN:


F
a =
m
[1m � s-2 = 1N � m-1, siła w N , 1N = 1kg � m � s-2]
II ZDN: Przyspieszenie wywołane przez jedną lub więcej sił
działających na ciało jest proporcjonalne do wypadkowej tych
sił, zgodne z jej kierunkiem i odwrotnie proporcjonalne do ma-
sy ciała.
II ZDN można wyrazić w inny sposób:





dv
dv
F = m
F�"dt = m �"dv
a = , /dt,
dt
dt
Powyższe prawo jest ograniczone do układu o stałej masie (b.
szczegółowe tzn. mało uniwersalne).
r
m �"dv �! d(m�" v)
Dla zmiennej masy

F�"dt = d(m�" v)
zatem ,

m v = p to jest pęd:, [p] = kg m s-1,
206
r
d(m�" v)= dp
- zmiana pędu to w ogólności zmiana masy i pręd-
kości.
II ZDN w postaci pędowej (najogólniejszej):
r
r
F �" dt = dp
r
dt
F
Siła działająca w czasie powoduje zmianę
r
dp
pędu ciała .
207
TRZECIA ZASADA DYNAMIKI NEWTONA (III ZDN)
"Zasada odcisku"
R
R
Q
F
_R
F =
III ZDN: Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą F to ciało B działa
na A siłą - F równą, co do wartości bezwzględnej, lecz o
przeciwnym zwrocie.
208
 SIA
Y TARCIA
Dlaczego w życiu codziennym trudno zaobserwować I ZDN tzn.
ciała nie poruszają się ruchem jednostajnym (v=0).
odp.: ponieważ działają siły tarcia.
Jak wyglądałoby nasze życie bez sił tarcia?
Rozróżniamy siły tarcia:
Tarcie statyczne
- statycznego,
stan spoczynku
- kinetycznego (dynamicznego)
R
Prawa Leonarda Da Vinci
F = 0 R = Q
(1452-1519)
Siła tarcia statycznego:
Q
1. nie zależy od wielkości pow.
zetknięcia,
Ts
F
2. jest proporcjonalna do siły
normalnej utrzymującej po-
Ts =
F
wierzchnie w zetknięciu.
Ts <" N,
Ts
F
Ts d"
d" �s � N
d"
d"
=
Ts
F
�s - wsp. tarcia statycznego.
Siła tarcia kinetycznego:
Tarcie kinetyczne
1. nie zależy od pow. zetknięcia,
ruch ciała
2. jest proporcjonalna do siły
Tk
normalnej utrzymującej po-
F
wierzchnie w zetknięciu.
Tk <
F Tk = �k � N
�k - wsp. tarcia kinetycznego
Tk
F
�s, �k jest bezwymiarowe.
=
Tk -F
dla stali o stal �k: 0,18 - 0,53
Tarcie powstaje w wyniku przy-
ciągania się cząsteczek znajdujących się na powierzchni zetknięcia
- oddziaływania Kulombowskie.
Ts > Tk, �s > �k .
209
Przykład
Przeprowadzić analizę ruchu ciała o masie m umieszczonego (po-
ruszającego się) po równi pochyłej nachylonej pod kątem ą do
podstawy w ruchu w sytuacji :
a). braku tarcia �k = 0, b). z uwzględnieniem siły tarcia �s, �k
ą
ą
ą ą
(a) zsuwanie bez tarcia (b) z uwzględnieniem tarcia
(b1) równowaga sił - ciało
r r
Q= Fr N
+
,
w spoczynku v = 0 gdy F = Ts
r
N = -R
F - Ts = m �" a = 0 , IIZDN
F = m � a, IIZDN
N = Q � cos ą, a = 0
oraz
F = Q � siną
F = Ts ,
Q = mg
Ts d" �s �" N ,
Q �"sin ą
a = ,
N = Q �" cos ą ,
m
F = Q �" sin ą .
m �"g �"sin ą
/
a = ,
Qsin ą d" �sQ cos ą ,
m
/
tgą d" �s
a = g �"sin ą.
ą d" arctg(�s )
Np. dla �s = 0,6 ciało spo-
czywa gdy ą d" 31o .
----------------------------------------------------------------------------------
(b2) równowaga sił - ciało
r r
w ruchu v = Const gdy F = Tk
210
)
R
R
T
s
(
k
T
F
F
N
N
Q
Q
 F - Tk = m �" a = 0 , IIZDN
a = 0
oraz
F = Tk ,
Tk = �k �" N ,
N = Q �" cos ą ,
F = Q �" sin ą .
Qsin ą = �kQcosą ,
sin ą
tgą = = �k
cosą
ą = arctg(�k )
Np. dla �k = 0,2 ciało stacza
się z V=const gdy ą H"11o ,
dla �k = 0,4 gdy ą H" 22o .
----------------------------------------------------------------------------------
(b3) ciało w ruchu F > Tk
F - Tk = m �" a , IIZDN
Tk = �k � N
N = Q � cos ą,
F = Q � siną,
Q = mg.
F - Tk
a = ,
m
Q �"sin ą - �k �"Q �" cos ą
a =
m
a = g(siną - �k �" cosą).
211
PRACA
m
Fs
ą
F = F cos ą
s
s
r
r
W = F�" s = F�"s �" cosą
Jedynie składowa Fs = F � cos ą równoległa do drogi wykonuje
pracę
[W] = 1N �1m = 1J
PRACA WYKONANA PRZEZ SIA

ZMIENN

1-D: Dla przypadku siły zmiennej F(t,x) `" Const. działającej wzdłuż
n
toru prostoliniowego w kierunku x, F(s) = F(x): W E" "x
"F
i
i=1
x2
x2
W =
"F"x = Fdx
lim +"
"x0
x1
x1
212
F
s2
W =
+"F(x) �" dx
s1
50
50
45
45
40
40
35
30
35
25
20
30
15
25
10
5
20
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
X
X
Uogólniając dla dowolnego ruchu krzywoliniowego:
r2
r
r r
W =
+"F(r) �"dr
r1
213
F (x)
F (x)
MOC
dW
P =
(moc chwilowa)
dt
1W = 1J � 1s-1, 100 kW = 136 KM
"W
Moc średnia: P =< P >=
"t
ENERGIA MECHANICZNA
Jeżeli siła przemieszczająca dany punkt materialny wykonuje pra-
cę, to o jej wielkość zostaje powiększona energia punktu material-
nego.
Energią mechaniczną punktu materialnego nazywamy taki je-
go stan, przy którego zmianie, występujące siły mogą wyko-
nać pracę.
Emech = Ek + Ep
214
(A) ENERGIA KINETYCZNA
to energia p. materialnego będącego w ruchu:
r r r
r r v
r
r dv r dr r dr r
W = �" dr = �" dv , = v
r
+"F +"m dt �" dr = m+"
dt dt
r0 r0 v0
v
v
r r 1 1 1
2
W = m v �" = mv2 = mv2 - mv0 = Ek - Ek 0 jeżeli
= �"dv = = - = -
= �" = = - = -
= �" = = - = -
+"
+"
+"
+"
2 2 2
v0 v0
1
Ek = mv2
=
=
=
v0=0 to
2
Ek jest wielkością wzgl. zależną od wyboru układu odniesie-
nia, bo v jest względne.
TW. O PRACY I ENERGII
z powyższego:
Wsiły wypadkowej = Ek - Ek0 = "Ek
"Praca wykonana przez wypadkową siłę przy przemieszczaniu
p. materialnego jest zawsze równa zmianie energii kinetycznej
tego punktu"
215
(B) ENERGIA POTENCJALNA
Ep opisuje wielkość en. mechanicznej zależną od położenia ciała
(np. w polu graw., napięta sprężyna...)
Obl. Ep p. materialnego na wys. h nad Ziemią
h
r r r
r r r r
W = dr , F = Q = m �" g , zał. g Q%dr ,
+"F�"
0
h h h
r
r
h
W = �"dr = �"g �"dr =m �"g = m �" g �" r
+"Q +"m +"dr
0
0 0 0
W a" Ep = mgh
a" =
a" =
a" =
Ep jest wielkością względną związaną z wyborem układu od-
niesienia
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ
Dla układu izolowanego a" brak Fzewn
Ek + Ep = Const
+ =
+ =
+ =
216
Przykład - swobodny spadek w polu grawitacyjnym:
{ Ep = Ep(h) = m g h, Ek(h) = 0
x
Ep(h-x) = m g (h-x) = mgh-mgx
x = 1/2 g t2, vx = g t, t = vx / g
1 v2 v2
1
x x
,
h x = g =
2 g2 2 g
h-x
1
E = mgh - mv2 = E - E
p(h-x) x p(h) k(x)
2
{ Ep(0) = 0, Ek(0) = 1/2mv2, (Ek = Ep(na wys h))
czyli ZZEnMech:
Ek(0) = Ep(h) lub Ek + Ep = Const
SIA
Y ZACHOWAWCZE I NIEZACHOWAWCZE
Przykład:
Rzut ciała w górę z pominięciem oporu powie-
trza
v' = v'' i Ek' = Ek''
v'' Wniosek: "ciało nie utraciło energii, a więc
v'
nie utraciło zdolności do wykonywania pracy"
E'k
E''
k
217
Def.: Siła jest ZACHOWAWCZA jeżeli praca wykonana przez tę
siłę podczas przemieszczania ciała po dowolnej drodze za-
mkniętej jest równa zeru.
B
WAB,1 + WAB,2 = 0
1
lub
A
WAB,1 =  WAB,2
2
Siła jest NIEZACHOWAWCZA je-
B
żeli praca... jest różna od zera.
1
A
2
ZZEM:
Zasada zachowania energii mechanicznej jest spełniona
(EM = Const) tylko wówczas gdy na układ nie działają siły nie-
zachowawcze.
Gdy działają siły niezachowawcze:
Wniez = "(Ek - Ep) = "Em
218
Przykłady sił niezachowawczych:
- tarcie,
- opór powietrza,
- lepkość...
Wsił tarcia = Q, Q =  "Em
strata energii mechanicznej = uzyskanej energii cieplnej.
W ogónym przypadku obowiązuje ZZEcałkowitej:
Ec = Const
ZZE a" ZZMasy, E = m � c2
Rodzaje energii:
1. mechaniczna Ek + Ep,
2. cieplna,
3. promieniowania,
4. elektryczna,
5. jądrowa,
6. chemiczna.
219