Wykład 4
1. Energia kinetyczna
r
r
F = m Å" a
II zasada dynamiki (Newtona).
Rozpatrzmy wielkość:
r
r
r r dv d 1 d 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
F Å" v = m Å" v Å" = m Å" v2 = m Å" v2 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
dt dt 2 dt 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
wprowadz
my nową wielkość T:
1
T = m Å" v2
(1)
2
Otrzymamy równanie:
r
r dT
F Å" v =
(2)
dt
gdzie T jest to wielkość wyra\
ona w jednostkach energii w układzie SI  w
Joulach:
2
m
[T ] = kg Å"ëÅ‚ öÅ‚ =1N Å" m =1J
ìÅ‚ ÷Å‚
s
íÅ‚ Å‚Å‚
[J] = 1 Joul (jednostka energii),
[N] = 1 Newton (jednostka siły),
m
[F] =1N = kg Å"
s2
1
T  jest to energia kinetyczna. Energia kinetyczna jest proporcjonalna do
kwadratu prędkości:
r2
T H" v
a współczynnik proporcjonalności wynosi m/2.
2. Praca i moc
Wróćmy do równania (1), po przekształceniu:
r
r
F Å" v Å" dt = dT
(3)
Po scałkowaniu (rozwiązaniu powy\
szego równania) otrzymamy
T2 t2 r2
r r
r r
+"dT = +"F Å" v Å" dt = +"F Å" dr
(4)
T1 t1 r1
gdzie 1, 2  oznaczają punkt początkowy i końcowy ruchu zaś r2, r1, T2, T1
poło\
enie i energię punktów 1 i 2.
Wielkość W
r2
r
r
W(12) = Å" dr
+"F
(5)
r1
W(12) jest to praca, jakÄ… nale\
y wykonać przy przesunięciu
nazywamy pracÄ….
ciała z punktu 1 do punktu 2. Wzór (5) podaje definicję pracy całkowitej na
drodze między punktami 1 i 2.
Mo\
emy obliczyć równie\
bardzo małą pracę wykonaną przy przesunięciu ciała
na drodze dr (nieskończenie małe przesunięcie). Praca taka będzie równa:
r
r
dW = F Å" dr
(6)
2
W przypadku, gdy siła F jest stała i tworzy stały kąt ą z przesunięciem,
otrzymujemy wzór na pracę siły F wykonaną przy przesunięciu ciała po drodze
d:
W = F Å" d Å" cos(Ä…)
(7).
Moc jest to praca wykonana w danym czasie, czyli jest to pochodna pracy po
czasie. Moc definiujemy jako:
dW
P =
(8).
dt
A
atwo wykazać, \
e:
r
r
P = F Å" v
(9).
Moc mo\
emy obliczyć przez iloczyn siły i prędkości.
Gdy praca jest stała W = const, otrzymamy prosty związek między mocą i pracą:
W
P =
(10)
t
Jednostką mocy w układzie SI jest 1 Wat.
1J
[P] =1W =
(11)
s
Jednostki pochodne: kW, MW, GW.
Zadanie:
W czasie wyścigu kolarze wspinają się na rowerach na szczyt góry. Który kolarz
zwyciÄ™\
y w wyścigu? Ten, który wykonał największą pracę? Czy ten, który ma
największą moc?
3
3. Energia potencjalna
Wzór na pracę mo\
emy przekształcić:
r2 r0 r2
r r r
r r r
W(12) = F Å" dr = F Å" dr + F Å" dr =
+" +" +"
r1 r1 r0
r1 r2
r r
r r
(12).
= (- F Å" dr ) - (- F Å" dr )
+" +"
r0 r0
Korzystamy tutaj z elementarnych własności całki oznaczonej.
WprowadzajÄ…c oznaczenie:
r1
r
r r
U (r1) = - Å" dr
+"F
r0
r2
r
r r (13),
U (r2) = - Å" dr
+"F
r0
otrzymamy następującą zale\
ność:
r r
W(12) = U (r2) -U (r1) = "U
(14).
W(12) wykonana przy przesunięciu ciała z punktu 1 do punktu 2 równa
Praca
"U
jest ró\
nicy energii potencjalnej w tych dwóch punktach.
Energia potencjalna w punkcie r równa jest pracy wykonanej przez siłę F przy
przesunięciu ciała z punktu odniesienia rref do punktu r.
r
r
r
v
U (r ) = - Å" dr
+"F
(15)
rref
4
Punkt odniesienia rref zazwyczaj dobierany tak, aby energia potencjalna w tym
punkcie była równa zero: U(rref) = 0.
Nale\
y zwrócić uwagę na znak w równaniu (15). Znak jest ujemy!
v
U(r)
- energia potencjalna w punkcie r jest równa pracy, jaką nale\
y wykonać
przeciwko sile F, aby przesunąć ciało z rref do r. Siła, z jaką musimy działać,
jest równa co do wartości lecz ma przeciwny znak  stąd mamy znak minus w
równaniu (15)
Energia potencjalna jest wielkością (funkcją) skalarną. Energia potencjalna
tworzy pole skalarne. Ka\
demu punktowi w przestrzeni przyporzÄ…dkowujemy
pewną wartość (liczbę): energię potencjalną w tum punkcie. Mo\
emy połączyć
punkty o tej samej wartości. Otrzymamy wówczas tzw. powierzchnie
ekwipotencjalne.
Powierzchnie o stałej energii potencjalnej (potencjale) nazywamy
powierzchniami ekwipotencjalnymi.
Zadanie:
1) Jak wyglÄ…dajÄ… powierzchnie ekwipotencjalne masy m?
2) Jak wyglądają powierzchnie ekwipotencjalne dwóch mas m1 i m2
znajdujących się w odległości d?
Równanie (15) mówi nam jak wyliczyć energię potencjalną, gdy znamy siłę.
Powstaje pytanie: jak obliczyć siłę, gdy znamy energię potencjalną? Musimy
wykonać rachunek w  drugą stronę .
Obliczmy pracę i energię potencjalną dla kilku przykładów. Dla uproszczenia
zakładamy ruch jednowymiarowy (1D, zmienna x). Przy takim zało\
eniu
otrzymamy równania skalarne z równania (15):
dU (x)
F(x) = -
(16)
d x
Przykład:
1) pole grawitacyjne w pobli\
u powierzchni Ziemi
Zało\
enie: pole grawitacyjne jest stałe. Zało\
enie jest spełnione przy
niewielkich przesunięciach.
Swobodny spadek w dół ciała o masie m  ruch 1D
F = -m Å" g
(17)
Energia potencja związana z tak zdefiniowaną siłą grawitacji będzie równa:
5
h h
r
r
U (h) = - Å" dr = m g = mgh
+"F +"dx
(18)
0 0
energia potencjalna w pobli\
u powierzchni Ziemi. Zakładamy tutaj, \
e na
poziomie 0 energia potencjalna jest równa 0.
2) Ciało zawieszone na sprę\
ynie w współczynniku sprę\
ystości k
Rys. 1. Oscylator harmoniczny.
KorzystajÄ…c z (15) obliczmy energiÄ™ potencjalnÄ… sprÄ™\
yny:
x x
1
U (x) = - x Å" dx = k x2 (19)
+"(-kx) Å" dx = k+"
2
0 0
Energia potencjalna sprÄ™\
yny jest kwadratową funkcją odkształcenia
(wydłu\
enia, skrócenia) sprę\
yny.
Elastyczna energia potencjalna. Zastosowanie:
6
Rys. 2. Replika katapulty
A
uk, kusza oraz katapulty, balisty i inne urzÄ…dzenie miotajÄ…ce, wykorzystujÄ…ce
do rzutu energiÄ™ potencjalnÄ… elastycznÄ….
Niestety rzadko mamy o czynienia z ruchem 1D, w wymienione wy\
ej zało\
enia
sÄ… tylko przybli\
eniem np. to, \
e energia potencjalna pola grawitacyjnego jest
stała.
W istocie pole grawitacyjne nie jest stałe, zale\
y od odległości od centrum pola
r (prawo powszechnego ciÄ…\
enia). Widać to na poni\
szym rysunku.
7
Rys. Siły grawitacji tworzą układ Słoneczny
W ogólnym przypadku (ruch 3D) zale\
ność pozwalająca wyznaczyć siłę, gdy
znamy energiÄ™ potencjalnÄ… jest trochÄ™ bardziej skomplikowana
r
r r r
F(r ) = -"U (r ) = -gradU (r )
(20)
"
Operator nabla ( ) lub gradient jest wektorem (pseudowektor) i w układzie
kartezjańskim (x, y, z) ma postać następującą:
îÅ‚ Å‚Å‚
r " r " r " " " "
" = ex + ey + ez = , ,
ïÅ‚"x "y "z śł
(21)
"x "y "z
ðÅ‚ ûÅ‚
"
Operator nabla ( ) w układzie kartezjańskim ma składowe równe pochodnej
kierunkowej w kierunku osi x, y, z.
Gradient jest wektorem wskazującym maksimum zmian wartości funkcji.
W istocie nie zawsze spełniony jest związek 15. Nie dla ka\
dej siły da się
skonstruować energię potencjalną.
Siły, dla których istnieje energia potencjalna, nazywanym siłami
zachowawczymi.
8
Pole sił F jest polem zachowawczym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje energia
potencjalna spełniająca równie
r
r r r
F(r ) = -"U (r ) = -gradU (r )
(22)
Przykłady pół zachowawczych:
a) pole grawitacyjne (prawo powszechnego ciÄ…\
enia)
b) pole Å‚adunku punktowego (elektrostaryka)
Siły niezachowawcze, np. siła tarcia.
Dal siła zachowawczych praca wykonana przy przesunięciu ciała nie zale\
y od
drogi, po której ciało zostało przemieszczone (patrz rys. 3).
Rys. 3. Droga dla siła zachowawczych.
Praca wykonana przez siły zachowawcze po ka\
dej z dróg: 1, 2, 3 jest tak sama.
Praca siły zachowawczej zale\
y tylko od poło\
eń punktu początkowego i punktu
końcowego. Mamy stąd wa\
ny wniosek.
r
r r
F(r ) Å" dr = 0
(23)
+"
Praca siły zachowawczej po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zero!.
Droga zamknięta  punk końcowy pokrywa się punktem początkowym.
Przykłady sił zachowawczych:
a) pole grawitacyjne
v
r
M m r
F = -G Å"
prawo powszechnego ciÄ…\
enia.
r2 r
9
Energia potencjalna będzie równa:
r
r
v) r r GMm GMm
ëÅ‚ öÅ‚
U (r = - Å" dr = -
+"F +"ìÅ‚- r2 ÷Å‚ Å" dr = - r
(24)
íÅ‚ Å‚Å‚
" "
Energia potencjalna pola grawitacyjnego jest funkcją zarówno masy M ( masy
z
ródłowej ) jak i masy m ( masy próbnej ). Mo\
emy zdefiniować wielkość
niezale\
ną od masy próbnej. Jest nią potencjał pola grawitacyjnego.
v) GM
v) U (r
Õ(r = = -
(25)
m r
Pole grawitacyjne jest polem wektorowym. Definiuje je F  siła i E  natę\
enie
pola.
Tak jak siła jest związana z energią potencjalną zale\
nością:
r
r r r
F(r ) = -"U (r ) = -gradU (r )
(26),
tak wektor natÄ™\
enia pola E zale\
y od potencjału:
v
r r r
E(r ) = -"Õ(r ) = -gradÕ(r )
(27),
r
r
Õ(r )
U (r )
gdzie i definiujÄ… pole skalarne.
Õ
Pole grawitacyjne jest równie\
polem skalarnym  opisanym przez U i .
Powy\
sze rozwa\
ania, wzory 26, 27 stosują się do wszystkich pół
zachowawczych.
4. Zasada zachowania energii
Wróćmy do równania (1):
r
r dT
F Å" v =
dt
po przekształceniu tego\
równania otrzymujemy:
10
T2 r2 r2
r r
r r
+"dT = +"F Å" vdt = +"F Å" dr
(28)
T1 r1 r1
W wyniku otrzymujemy równanie:
T2 - T1 = -(U2 -U1)
lub
T2 +U2 = T1 +U1
Zale\
ność:
T +U = const
(29)
nazywamy zasadÄ… zachowania energii (ZZE).
Zasada zachowania energii: w polu sił zachowawczych całkowita energia
układu, równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej, jest wielkością stałą.
Jest to jedna z fundamentalnych własności naszego świata. Ka\
dy układ (system)
opisany jest przez pewną wielkość, która nie zmienia się, jest zachowana,
niezale\
nie od przemian, jakim ten układ podlega. Wielkość tę nazywamy
energiÄ…, a tÄ™ zasadÄ™  zasadÄ… zachowania energii.
Takie są fakty, takie jest prawo, taka jest nasza rzeczywistość.
ZZE stosowana w fizyce, matematyce (opis), chemii, biologii, astronomii,
kosmologii, in\
ynierii, i wielu innych dziedzinach. Nie znaleziono \
adnych
zjawisk sprzecznych z ZZE  \
adnych wyjątków!
ZZE obowiązuje dla 1, 2, n ciał, skończonej, jaki i nieskończonej ilości ciał.
Przykład: gaz  zbiór bardzo wielkiej (nieskończonej) ilości cząstek
swobodnych.
Termodynamika.
Prawa termodynamiki.
Transfer energii
I zasada termodynamiki:
11
"E = W + Q
(29)
"E
przyrost energii układu ( ) jest równy sumie pracy (W) i ciepła (Q)
dostarczonego do układu. Praca mo\
e mieć znak + i -; mo\
e być wykonana nad
układem i być wykonana przez układ. Ciepło mo\
e być dostarczone, mo\
e być
odprowadzone z układu (znak + i -).
Inna postać równia (6).
dE = T dS - pdV
(30)
gdzie T  temperatura, S  entropia, p  ciśnienie, V  objętość.
Pierwszy człon po prawej stronie równania (6a) to transfer ciepła, drugi człon to
praca.
Równania 29 i 30 to nic innego, jak zasada zachowania energii dla tych układów
(termodynamicznych)
12
Dodatek matematyczny
1. Całka nieoznaczona
Całką oznaczona funkcji f(x) nazywamy funkcję F(x),
f (x)dx = F(x) + C
(A1)
+"
wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest związek:
F'(x) = f (x)
(A2)
FunkcjÄ™ F(x) nazywamy funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f(x), x  to zmienna
całkowania, C  stała całkowania.
Podstawowe własności całki oznaczonej:
a) całka sumy jest równa sumie całek (addytywność)
f (x) dx + g(x) dx
(A3)
+"( f (x)+ g(x))dx = +" +"
b) wyłączne stałej przed całkę (jednorodność)
f (x) dx
(A4)
+"a Å" f (x)dx = a Å"+"
Całki podstawowych funkcji
+"1dx = x + C;
xn+1
(A5)
xndx = + C;
+"
n +1
x-1dx = ln x + C;
+"
x
+"e dx = ex + C;
+"sin xdx = -cos x + C;
+"cos x dx = sin x + C;
13
1. Całka oznaczona
Rys. Całka oznaczona
b
f (x)dx = F(b) - F(a)
+" (A6)
a
całka oznaczona jest równa polu powierzchni pod funkcją f(x).
14