Fizyka ogólna  lista 3

Wydziaª Elektroniki, AR

Zadania przykªadowe ze skryptu

1

: 4044. Zadania dodatkowe: D3637

1 Indukcja elektromagnetyczna i pr¡d przesuni¦cia

Zad. 1. Dªugi, prosty drut aluminiowy jest uªo»ony poziomo i skierowany prostopadle do kierunku miejs-

cowego poªudnika magnetycznego. Jakie nat¦»enie powinien mie¢ pr¡d pªyn¡cy w drucie, aby mógª on

wznie±¢ si¦ do góry? G¦sto±¢ aluminium % = 2,7 g/cm

3

, lokalna warto±¢ poziomej skªadowej indukcji ziem-

skiego pola magnetycznego B = 4 · 10

−5

T. Oceni¢ szanse powodzenia takiego eksperymentu, biorac pod

uwag¦, »e oporno±¢ wªa±ciwa aluminium wynosi r = 2,5·10

−8

Ω·

m, temperatura topnienia T = 932 K, ciepªo

wªa±ciwe c = 900 J/(kg·K), a ciepªo topnienia c

t

= 3,2 · 10

5

J/kg.

Zad. 2. Przewód w ksztaªcie paraboli y = kx

2

znajduje si¦ w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji

B

prostopadªej do pªaszczyzny paraboli. W chwili t = 0 z wierzchoªka paraboli zaczyna si¦ przemieszcza¢

przewodz¡ca poprzeczka równolegªa do osi x. Znale¹¢ siª¦ elektromotoryczn¡ indukcji w utworzonym w ten

sposób obwodzie jako funkcj¦ poªozenia poprzeczki y, je±li poprzeczka przemieszcza si¦ (a) ze staª¡ pr¦dko±ci¡
v

, (b) ze staªym przyspieszeniem a i zerow¡ pr¦dko±ci¡ pocz¡tkow¡.

Zad. 3.

W ukªadzie na rysunku obwód zawieraj¡cy opór R jest

zamkni¦ty ruchom¡ poprzeczk¡ o dªugo±ci l. Ukªad uªo»ony jest poziomo

i znajduje si¦ w pionowym polu magnetycznym o indukcji B. Poprzeczk¦

przemieszczono tak, »e jej poªo»enie zmieniaªo si¦ w czasie zgodnie ze

wzorem x = vt w czasie od t = 0 do t = t

1

. Jak¡ prac¦ wykonano w

tym czasie?

R

x

y

B

l

Zad. 4. W sytuacji jak na rysunku pole magnetyczne skierowane jest

prostopadle do pªaszczyzny kartki, a jego indukcja zale»y od poªo»e-

nia zgodnie ze wzorem B = B

0

x/d

(B

0

, d - staªe). W polu tym

przemieszczana jest z pr¦dko±ci¡ v w kierunku wskazanym na rysunku

kwadratowa ramka o boku a. Ramka le»y w pªaszczy¹nie rysunku i ma

opór elektryczny R. Jaki pr¡d pªynie przez ramk¦?

v

a

R

x

y

B

Zad. 5. W sytuacji jak na rysunku pole magnetyczne skierowane jest

prostopadle do pªaszczyzny kartki, a jego indukcja wynosi B. Jeden z

boków ramki, o dªugo±ci a i oporze R, porusza si¦ zgodnie ze wzorem
x = x

0

+ A sin ωt

, gdzie x

0

, A  staªe. Jaki pr¡d pªynie przez ramk¦?

a

R

x

y

B

Zad. 6. Z drutu miedzianego o dªugo±ci l = 50 cm i ±rednicy d = 0.8 mm wykonano koªowa p¦tl¦ i

umiesczono prostopadle do jednorodnego pola magnetycznego, wzrastaj¡cego w czasie z szybkosci¡ 0,01 T/s.

Znale¹¢ moc ciepªa wydzielanego na drucie. Oporno±c wªa±ciwa miedzi % = 1,8 · 10

−8

Ω·

m.

Zad. 7. Mamy kondensator pªaski o pojemno±ci 1 µF. Jak musi si¦ zmienia¢ napi¦cie na kondensatorze, by

pomi¦dzy pªytkami wytworzyª si¦ chwilowy prad przesuni¦cia I

p

= 1,0

A?

Zad. 8. Kondensator o okªadkach w postaci równolegªych, wspóªosiowych kóª o powierzchni S = 0,1 m

2

podª¡czono do ¹ródªa napi¦cia E = E

0

sin ωt

, przy czym E

0

= 200

V oraz ω = 100 s

−1

. Maksymalna warto±¢

pr¡du przsuni¦cia wynosi I

p

= 8,9 · 10

−6

A. Znale¹¢: (a) Maksymaln¡ warto±¢ pr¡du ªaduj¡cego kondensator

I

, (b) maksymaln¡ warto±¢ dΦ

E

/dt

, gdzie Φ

E

jest strumieniem nat¦»enia pola elektrycznego w obszarze

mi¦dzy pªytkami, (c) odlegªo±¢ mi¦dzy pªytkami, (d) maksymaln¡ warto±¢ wektora B pomi¦dzy pªytkami, w

odlegªo±ci R = 10 cm od osi. Rozproszenie pola elektrycznego na kraw¦dziach okªadek nale»y zaniedba¢.

1

K. Jezierski, B. Koªodka, K Siera«ski, Fizyka. Zadania z rozwi¡zaniami. Cz. II. Scripta 1999.

1

Zad. 9. Punktowe ¹ródªo promieniotwórcze emituje elektrony o jednakowych pr¦dko±ciach i jednakowym

rozkªadzie przestrzennym, generuj¡c w ten sposób sferycznie symetryczny rozkªad pr¡du o ª¡cznym nat¦»eniu
I

. Wykaza¢, korzystaj¡c z symetrii, »e pole magnetyczne takiego pr¡du wynosi 0. Rozwa»y¢ maªy kontur

zamkni¦ty o powierzchni S (dla uproszczenia mo»na przyj¡¢ kwadrat lub okr¡g) prostopadªy do strumienia

elektronów i le»¡cy w odlegªo±ci r od ¹ródªa. Znale¹¢ pr¡d rzeczywisty i pr¡d przesuni¦cia pªyn¡cy przez

powierzchni¦ rozpiet¡ na tym konturze.

2 Prawa Maxwella

Zad. 10. Wska» równanie Maxwella, które jest równowa»ne lub zawiera sformuªowanie:

(a) Linie siª pola elektrycznego ko«cz¡ si¦ wyª¡cznie na ªadunkach elektrycznych;

(b) Pr¡d przesuni¦cia;

(c) W sytuacji statycznej nie mo»e istnie¢ »aden ªadunek wewn¡trz przewodnika;

(d) Zmieniaj¡cemu si¦ polu elektrycznemu musi towarzyszy¢ pole magnetyczne;

(e) Sumaryczny strumie« indukcji magnetycznej przez powierzchni¦ zamkni¦t¡ jest zawsze równy zeru;

(f) Zmieniaj¡cemu si¦ polu magnetycznemu musi towarzyszy¢ pole elektryczne;

(g) Linie indukcji magnetycznej nie maj¡ ko«ców;

(h) Sumaryczny strumie« nat¦»enia pola elektrycznego przez powierzchni¦ zamkni¦t¡ jest proporcjonalny do

caªkowitego ªadunku wewn¡trz tej powierzchni;

(i) Šadunkowi elektrycznemu zawsze towarzyszy pole elektryczne;

(j) Nie istniej¡ monopole magnetyczne;

(k) Prawo Coulomba;

(l) Pole elektrostatyczne jest zachowawcze.

Czy jest prawd¡, »e pr¡dowi elektrycznemu zawsze towarzyszy pole magnetyczne?
Zad. 11. Sprawdzi¢, czy pola z zadania 13 z listy 2 speªniaj¡ równania Maxwella w postaci ró»niczkowej.
Zad. 12. Pokaza¢, »e z równa« Maxwella wynika prawo zachowania ªadunku, t.j. w ka»dym punkcie

∇ · j = −

∂ρ

∂t

,

gdzie j jest g¦sto±ci¡ pr¡du, a ρ g¦sto±ci¡ ªadunku.
Zad. 13. W pewnym obszarze przestrzeni wygenerowano pole magnetyczne B obracaj¡ce si¦ z pr¦dko±ci¡

k¡tow¡ ω (w inercjalnym ukªadzie odniesienia). Znale¹¢ ∇ × E w tym obszarze.

3 Fale elektromagnetyczne

Zad. 14. Pokaza¢, »e superpozycja dwóch fal spolaryzowanych liniowo:

E

1

= [E

0

, 0, 0]e

i(kz−ωt)

; E

2

= [0, E

0

, 0]e

i(kz−ωt+π/2)

daje fal¦ o polaryzacji koªowej.

Wskazówka do dwóch kolejnych zada«: Strumie« energii okre±la energi¦ przechodz¡c¡ w jednostce czasu

przez jednostkow¡ powierzchni¦ prostopadª¡ do kierunku przepªywu energii. Dla fali elektromagnetycznej

dany jest on przez wektor Poyntinga S = (E × B)/µ

0

(w pró»ni). Kierunek wektora Poyntinga wskazuje

kierunek przepªywu energii.
Zad. 15. Pole elektryczne fali elektromagnetycznej osi¡ga maksymaln¡ warto±¢ E

0

= 36.5

mV/m. Znale¹¢

g¦sto±¢ strumienia energii niesionego przez t¦ fal¦.
Zad. 16. Laser o mocy P = 50 mW generuje wi¡zk¦ o ±rednicy d = 2 mm. Jakie s¡ ±rednie kwadratowe

warto±ci wektorów B i E w wi¡zce?

Wskazówka do kolejnych zada«: Pole fali elektromagnetycznej emitowanej przez ªadunek punktowy porusza-

j¡cy si¦ du»o wolniej od pr¦dko±ci ±wiatªa dane jest w du»ej odlegªo±ci r od ªadunku wzorem:

E ≈ −

qa

⊥

(t

0

)

4π²

0

c

2

r

,

2

gdzie t

0

= t − r/c

, a a

⊥

jest rzutem przyspieszenia ªadunku na kierunek prostopadªy do kierunku obserwacji

r

.

Zad. 17. Znale¹¢ pola E i B, wektor Poyntinga, rozkªad k¡towy oraz caªkowit¡ moc promieniowania punk-

towego dipola elektrycznego p = [0, 0, p

0

sin ωt]

. Wskazówka: drgaj¡cy dipol elektryczny jest równowa»ny

parze ªadunków: spoczywaj¡cemu −q i poruszj¡cemu si¦ +q przemieszczonemu wzgl¦dem ªadunku spoczy-

waj¡cego o r, przy czym p = qr.
Zad. 18. Rozwa»y¢ dwa dipole drgaj¡ce z cz¦sto±ci¡ ω wzdªu» osi z, przesuni¦te wzgl¦dem siebie w fazie o
π/2

i oddalone od siebie o d = πc/(2ω) (czyli o 1/4 dªugo±ci emitowanej fali). Znale¹¢ amplitud¦ drga« pola

elektrycznego i strumie« energii emitowanej w pªaszczy¹nie xy w zale»no±ci od k¡ta.
Zad. 19. Przeanalizowa¢ w ten sam sposób ukªad 6 dipoli ustawionych wzdªu» jednej prostej w odlegªo±ci
d = 4πc/ω

od siebie i drgaj¡cych w fazie.

3