MACIERZE I WYZNACZNIKI - LISTA ZADA ´
N NR 3
1. Dane s¸a macierze: A =
1 0 1
2 1 1
3 2 4
, B
=
0
0
−1
−2
0
−1
−3 −2 −3
,
C
=
3 0
1 2
0 1
, D
=
2 0
1 1
.
Obliczy´c: a) C
T
,
b) AC + BC, c) D
2
,
d) (2A − B) · C, e) (3A
T
+ B) · CD.
2. Oblicz A · B i B · A dla A =
1
2
3
4
, B
=
1 2 3 4
.
3. Dla podanych macierzy A wyprowadzi´c wzory og´olne na macierze A
n
,
gdzie n ∈ N : a) A =
2 2
1 1
,
b) A =
1 0 1
0 1 0
1 0 1
.
Udowodni´c
otrzymane wzory za pomoc¸a indukcji.
4. W podanych macierzach oblicz dope lnienia algebraiczne zaznaczonych
element´
ow: A =
1
0
4
2
1
1
3
2
1
, B
=
5
2
−1
−3
0
−1
4
−1
−3
.
5. * Poka˙z, ˙ze je´sli macierz kwadratowa o wyrazach ca lkowitych ma wyz-
nacznik r´
owny 1 lub -1, to macierz do niej odwrotna r´ownie˙z ma wszys-
tkie wyrazy ca lkowite.
6. Obliczy´c wyznaczniki: a)
1 −1
2
3
(= 5), b)
3 0 1
2 0 1
0 1 1
(= −1),
c)
1
0
1
1
2 −1
2
1
3
2
−1 0
0
1
0
3
(= 8), d)
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
(= 0)
e)
2 1 1 1 1
1 3 1 1 1
1 1 4 1 1
1 1 1 5 1
1 1 1 1 6
(= 394), f)
1 1 1 1 1
1 1 1 2 1
1 1 3 1 1
1 4 1 1 1
5 1 1 1 1
(= 24),
g)
0
√
2
√
5
−
√
2
0
√
3
−
√
5 −
√
3
0
(= 0).
1
7. Oblicz pola podanych figur i bry l:
a) r´
ownoleg lobok rozpi¸ety na wektorach (−1, 3), (2, 5),
b) tr´
ojk¸at o wierzcho lkach (1, −1), (3, 4), (−2, 5),
c) czworo´scian o wierzcho lkach (0, 1, 2), (1, −2, 3), (0, −1, 5), (−1, −3, 0).
8. Znajd´z wz´
or rekurencyjny (tzn. wyra˙zaj¸acy det(A
n
) jako funkcj¸e det(A
n
−
1
),
det(A
n
−
2
), . . .) na wyznacznik podanej macierzy A
n
rozwijaj¸ac j¸a wed lug
pierwszego wiersza
A
n
=
2
1
0 · · · 0
−1
2
1 · · · 0
0
−1 2 · · ·
0
..
.
..
.
..
.
. .. ...
0
0
0 · · · 2
.
Oblicz r´
ownie˙z det(A
1
) i det(A
2
).
9. Wypisa´c wszystkie pary element´
ow podanych permutacji, kt´ore tworz¸a
inwersj¸e oraz okre´sli´c znaki tych permutacji:
1 2 3
3 2 1
,
1 2 3 4 5 6
6 1 5 2 4 3
,
1 2 3 4
1 4 2 3
.
10. Korzystaj¸ac z definicji permutacyjnej oblicz wyznacznik macierzy
1
0 5
0
1 0
−3 0 2
.
11. Niech A =
1 2 3
0 4 2
1 0 3
.
Oblicz det(A
7
).
12. Oblicz wyznacznik macierzy X spe lniaj¸acej r´ownanie
1 0
0
0 0 −3
0 2
0
· X ·
1
0
1
2 −2 0
3
0
0
=
1
7
36
5 12
0
3
0
0
.
Sk¸ad wiadomo, ˙ze taka macierz X istnieje?
13. Rozwi¸aza´c r´
ownania: a)
2x − 2 1
7x
2
= 5, b)
2 −1
2
3
5
3
1
6
x
+ 5
= 0,
c)
1
2
3
1 3 − x
3
1
2
5 + x
= 0, d)
x
1 1
1 x 1
1 1 x
= 0,
e)
4 sin x
1
1
cos x
= 0.
2
14. Rozwi¸aza´c nier´
owno´sci: a)
2x − 2 1
7x
2
>
5,
b)
2 x + 2 −1
1
1
−2
5
−3
x
>
0.
15. Wyznaczy´c macierz odwrotn¸a do macierzy A:
a) A =
−3 1
−2 1
(A
−
1
=
−1 1
−2 3
),
b) A =
2
1
−1 2
(A
−
1
=
2
5
−
1
5
1
5
2
5
),
c) A =
2
2
−1
2
−1
2
−1
2
2
(A
−
1
=
2
9
2
9
−
1
9
2
9
−
1
9
2
9
−
1
9
2
9
2
9
),
d) A =
1 1 1
1 2 3
1 3 4
(A
−
1
=
1
1
−1
1
−3
2
−1
2
−1
),
e) A =
0
1
1
1
−1
0
1
1
−1 −1
0
1
−1 −1 −1 0
(A
−
1
=
0
−1
1
−1
1
0
−1
1
−1
1
0
−1
1
−1
1
0
),
f) A =
1 3 −5
7
0 1
2
−3
0 0
1
2
0 0
0
1
(A
−
1
=
1 −3 11 −38
0
1
−2
7
0
0
1
−2
0
0
0
1
).
16. Rozwi¸aza´c r´
ownania macierzowe:
a)
2 5
1 3
· X =
4 −6
2
1
,
b) X ·
2 1
2 1
=
1 0
0 1
,
c)
2 1
2 1
· X =
2 1
2 1
,
d) X ·
2 −3
4 −6
=
2 3
4 6
,
e)
2 1
3 2
· X ·
−3
2
5
−3
=
−2
4
3
−1
,
f)
1 1 1
1 2 3
1 3 4
· X =
1
2
−1
2
0
−1
,
g) 2
2
1 1
−3 0 2
+ 3X =
3 4 6
1 2 1
,
h) X·
1 2 3
2 3 4
3 4 1
=
6 9 8
0 1 6
,
3
i) X ·
3 1
4 2
− 2
6 2 7
1 1 2
T
=
0 0
2 0
1 1
.
4
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Lista3 2
lista3 obligacje
lista3 (6)
lista3
lista3 zu1
Lista3
lista3 (3)
lista3 rozwiazania
lista3
farma lista3, Naika, stomatologia, Farmakologia
lista3 7
lista3 elektronika, MBM, Fizyka, Listy Zadań
lista3
lista 3, lista3
lista3 4
Badania operacyjne - programowanie liniowe, lista3
lista3
Lista3Maxwell
ElektrodynamikaII Lista3
więcej podobnych podstron