IŚ-2011. Studia dzienne.

I semestr. Matematyka. Egzamin.

Prof. dr hab Anatolij K. Prykarpatski

1

1.

Twierdzenie o 3-ch ci

,

agach, własność ci

,

agu monotonicznego i ogranic-

zonego.

2.

Własność granicy funkcji ci

,

agłej, granica ilorazu funkcji. Przyklad

dla funkcji f (x) = sin(πx).

3.

Zlozenie odwzorowan. Injekcja, surjekcja, bijekcja, odwzorowanie

jednostkowe prawostronne i lewostronne.

2

1.

Twierdzenia Rolle’a. Przyklad dla funkcji f (x) = sin(πx).

2.

Twierdzenia o liniowości całki, o całkowaniu przez cz

,

esci.

3.

Lemat Fermata, wniosek. Znalezienie extremum lokalne funkcji rózniczkowal-

nej.

3

1.

Definicja Cauchy’ego dla granicy funkcji. Kryterium Cauchy’ego ist-

nienia granicy funkcji.

2.

Reguły de L’Hospitala. Przyklady dla granic standardowych: lim

x

→0

sinx/x, lim

x

→0

(1+

x)

1/x

3.

Wielomian Taylora. Wzór Taylora z reszt

,

a Lagrange’a.

4

1.

Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych.

2.

Calkowanie pzez podstawienia. Przyklady calkowania funkcji try-

gonometrycznych i algebraicznych.

3.

Twierdzenie o 3-ch ci

,

agach - zasada dwoch policjantow, granica ci

,

agu

nieskończona.

5

1.

Podstawowe wyrażenia nieoznaczone

0
0

, ich granice wh l’Hospital’a.

Granice specjalne (standardowe).

2.

Nieci

,

agłość, 1-go, 2-go rodzaju, luka, skok.

3.

Funkcje wypukłe i wkl

,

esłe. Warunek wystarczaj

,

acy

1

6

1.

Całkowanie funkcji trygonometrycznych i niewymiernych.

2.

Szereg wielomianowy, n-ty wyraz, n-ta suma cz

,

esciowa, zbieżność’

wg Cauchy’ego i Hadamard’a, rozbieżność do nieskończoności, n-ta reszt

,

a.

3.

Szereg Taylora z resztow rzedu 2 dla funkcji f (x) = arctg x w punkcie

x = π/4, jego zbieżność wg Cauchy’ego i Hadamard’a.

7

1.

Szereg wielomianowy. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Promien

zbieznosci.

2.

Pochodne prawo- i lewo-stronne w punkcie. Twierdzenie Rolle’a,

wniosek.

3.

Rozniczka, pochodna n-go rz

,

edu. Pochodna funkcji f (x) = a

x

.

8

1.

Ci

,

agłośc funkcji. Ci

,

agłości funkcji złożonej, odwrotnej, elementarnej.

2.

Punkty pzegi

,

ecia, warunek konieczny, I i II warunek wystarczaj

,

acy.

Tabelka zwi

,

azku pochodnej z wykresem funkcji.

3. Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej. Przyklad dla funkcji f (x) =

sin

2

(ln x).

9

1.

Kryteria zbieżności szeregow (porównawcze, ilorazowe, d’Alamberta,

Cauchy’ego).

2.

Pochodna, definicja. Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych.

Interpretacja geometryczna, fizyczna. Sieczna, styczna.

3.

Asymptota pionowa, ukośna, pozioma. Warunki istnienia.

10

1.

Zbieżność bezwzgl

,

edna szeregow. Promien zbieznosci.

2.

Własnośi pochodnej, pochodna funkcji złożonej, pochodna funkcji

odwrotnej. Przyklad: f (x) = artctg sin x

2

.

3.

Calkowanie pzez podstawienia. Przyklady calkowania funkcji try-

gonometrycznych i algebraicznych.

11

2

1.

Schemat badania przebiegu zmienności funkcji.

2.

Ciaglosc funkcji, punkty osoibliwe. Przykłady funkcji nieciaglych.

3.

Rożniczka, pochodna n-go rzedu. Interpretacja fizyczna pochodnej

2-go rz

,

edu.

12

1.

Pierwotna. Wniosek z twierdzenia Lagrange’a, warunek wystarczaj

,

acy

istnienia.

2.

Całka nieoznaczona. Twierdzenie o pochodnej całki i o całce pochod-

nej. Ważniejsze całki funkcji nieelementarnych.

3.

Twierdzenie Lagrange’a dla funkcji różniczkowalnej na przedziale.

Przykład funkcji f (x) = sinx na przedziale [π/3, π/6].

3

13

1.

Ekstrema lokalne. Twierdzenie Fermata, wniosek.

2.

I i II warunek wystarczaj

,

acy istnienia ekstremum. Wartość najm-

niejsza funkcji na zbiorze. Algorytm szukania ekstrema globalnych.

3.

Funkcja wymierna, ułamek prosty 1-go i 2-go rodzaju, ich całkowanie.

Algorytm całkowania funkcji wymiernych. Przyklad.

14

1. Definicja Heinego granicy funkcji jednej zmiennej. Pochodna ”n-go rzędu

funkcji jednej zmiennej.

2. Algorytm całkowania funkcji przez czesci. Przyklad.
3. Twierdzenie o rożniczce iloczynu dwoch funkcji. Rożniczki wyższych rzę-

dow funkcji jednej zmiennej.

15

1. Definicja Cauchy’ego granicy funkcji jednej zmiennej.
2. Interpretacja fizyczna pochodnej 2-go rzędu.
3. Algorytm całkowania funkcji wymiernych. Zamiana zmiennych. Przyk-

lad.

16

1. Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej.
2. Ułamki proste 1-go i 2-go rodzaju i ich calkowanie. Rozklad na ulamki

proste.

3. Pochodne wyższych rzędow funkcji złożonej.

17

1. Całka nieoznaczona funkcji wymiernej. Calkowanie ulamkow prostych

∫

dx

(ax+b)

n

2. Pochodna funkcji odwrotnej. Przyklad funkcji f (x) = ln sin x

2

.

3. Granica wg Heinego funkcji jednej zmiennej.

18

4

1. Rozniczka iloczynu dwoch funkcji.
2. Całka nieoznaczona. Podstawowe wlasnosci.
3. Przyrost i rożniczka funkcji. Wzor Taylora z resztą Lagrange’a rzedu n.

19

1. Granica gorna i dolna ciagu, warunek istnienia granicy. Przyklad:

{a

n

=

sin[

π

2

(

2

√

n

2

+2n

−1)−n)]

2+sin(π

n

3

)

: n

∈ Z

+

}

2. Definicja stycznej funkcji. Asymptoty funkcji, typy asymptot.
3. Wzor dla rożniczki ilorazu dwoch funkcji. Przyklad.

20

1. Definicja funkcji ciągłej jednej zmiennej.
2. Zlozenie odwzorowan. Injekcja, surjekcja, bijekcja, odwzorowanie jednos-

tkowe prawostronne i lewostronne.

3. Znalezienie granicy wg l’Hospital’a nieoznaczonosci

0
0

oraz

∞

∞

. Przyklad

granicy lim

x

→0

(1 +

1
3

sin x

2

)

ctg

2

x

.

21

1.

Definicja pochodnej. Pochodna ilorazu dwoch funkcji.

2.

Warunki istnienia asymptoty ukosnej. Przyklad.

3. Warunek konieczny i wystarczający Cauchy’ego istnienia granicy funkcji

jednej zmiennej.

22

1. Podstawowe wyrażenia nieoznaczone

0
0

, ich granice wg l’Hospital’a. Granice

specjalne (standardowe).

2. Pochodna funkcji odwrotnej. Przyklad funkcji f (x) = ln sin x

2

.

3. Całka nieoznaczona. Podstawowe wlasnosci.

23

1. Twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym. Jego granica.
2. Nieciągłość funkcji jednej zmiennych. Kryterium nieciągłosci.
3. Kryterium d’Alamberta zbieżności szeregow. Przyklad.

5