MODELOWANIE MATEMATYCZNE

Model matematyczny

: 



  ∪ 

∨

, 

 – zbiór nazw cech i związków

 – opis cech,

 – opis związków

Opis cech

 = 



, 



, … , 



, 





 – liczba cech





– symbol zmiennej(cechy)





– zbiór możliwych wartości zmiennej (cechy)

Opis związków

 = 



, 



, 



, … , 



, 



, 





 - liczba związków



- symbol związku(cechy)



= 



!

"

, 



#

"

, … , 



$"

"

 – zbiór (lista) cech

występujących w l-tym związku


⊆ 

&'

(

"





)"

– zbiór wartości cech spełniających l –

ty związek

Konstruowanie zadania optymalizacyjnego

 = 

*+,-

∪ 

*-.

∪ 

/01



*+,-

= 2 – lista danych



*-.

=  – lista zmiennych decyzyjnych



/01

= 3 – lista wskaźników



pozwala określić

, Ω425

+∈7

, 842, 5

9∈Ω4+5

+∈7

, :

+



+∈7

 ≠ ∅ – zbiór możliwych zestawów danych
Ω

425 – zbiór dopuszczalnych zestawów wartości

zmiennych decyzyjnych

842, 5 – zbiór przewidywanych wartości wskaźników
dla zestawów: danych

2 i zmiennych decyzyjnych 

:

+

: 8425 → 0,1 - funkcja oceny osiągnięcia celu

8425 = 3 ∈ 842, 5:  ∈

Ω

4

2

5

Sformułowanie zadania optymalizacyjnego

Dla danych

2 ∈ 

wyznaczyć takie



∗

∈ Ω425

aby

∀3 ∈ 842, 

∗

5: :

+

435 = 1



∗

- rozwiązanie optymalne

Dla danych

2 ∈ 

wyznaczyć takie



∗

∈ Ω425

aby

42, 

∗

5 = BCD

 ∈ Ω425
42, 5

gdzie:

42, 5 - tzw. funkcja celu

1.

Podstawy modelowania matematycznego

Opis

problemu

•Określenie obiektu

zainteresowań

Model

matematyczny

•Opis cech
•Opis związków

Zadanie

optymalizacyjne

•Podział zmiennych

(cech) D,ZD,W

•Konstruowanie zadania

optymalizacyjnego

Podstawy modelowania matematycznego

Słowne sformułowanie problemu (zadania)

Wybór istotnych cech z punktu widzenia celu
modelowania
 - liczba cech, 



- symbol zmiennej





E FGHóD IJżKH3LMN 32DCJ

J



 O 



, 



P, … , O 



, 



Opis związków

K E KHMFG2 F3H

QLIGJK F3HąFRS H  1, K

TTTT

Jakie cechy w i-tym związku?



Jakie wartości cech spełniają i-



U

c

V

U



W  1





)

CFX. O B



, . . , B

Z

J



 O W



, 



, 



P, … , O W

, 

Model matematyczny

:

J







J



- zbiór nazw cech i związków

Określenie obiektu

zainteresowań

Opis cech
Opis związków

Podział zmiennych

(cech) D,ZD,W

Konstruowanie zadania

optymalizacyjnego

Słowne sformułowanie problemu (zadania)

Wybór istotnych cech z punktu widzenia celu

symbol zmiennej

I  1, 

TTTTTT

32DCJśMH FIHBXXB[

P

F3HąFRó3, 

U

E

T



U

O 



!

\

, … , 



]\

\

P

-ty związek?

P6 

U



, 

P

4

J



J



5 lub O

J



,

J



P

zków

Optymalizacja wielokryterialna

^ - wektor liczbowy
^  R



, R

_

, … , R

`

 N – liczba wskaźników (kryteriów)

R

,

=

,

42, 5 =

,

45, abFHB:

,

: Ω425 → 

8425 = 



45,

_

45,… ,

`

45c

`

: cΩ425 = dΩ425 = d4Ω5

d = 



,

_

,… ,

`



Funkcja oceny osiągnięcia celu określona jest na zbiorze

d4Ω5 zwanym

przestrzenią kryterialną (przestrzenią ocen)
Przykład:

HXHI2KHF2M[2: VDFL JaD2XHMFBXH2Mℎ

F



= E



= 2

_

F

_

= 3



+ 2

_

2



+ 6

_

≤ 27

8



+ 6

_

≤ 45

3



+ 

_

≤ 15





, 

_

≥ 0

Metoda Pareto

Niech

^

′

, ^

′′

cd4Ω5

Definicja 1. Dominacja w sensie Pareto
Mówimy, że

^′ dominuje ^′′ i oznaczamy symbolem o′po′′,

jeśli

o

′

≠ o

′′

∧ ∀r = s, t

TTTTT:u

r

′

≥ u

r

′′

Definicja 2. Element dominujący
Element

o′ ∈ v4w5 nazywamy dominującym, jeśli ∀o ≠ o

′

: o′po

Uwaga: jeśli element dominujący istniej, to zbiór

d



4^

′

5 ⊆ Ω jest

zbiorem rozwiązań optymalnych
Definicja 3. Element niezdominowany
Element

o′ ∈ v4w5 nazywamy niezdominowanym, jeśli ∄o ∈

v4w5: opo′
Definicja 4. Zbiór Pareto - optymalny
Zbiór wszystkich elementów niezdominowanych zbioru

d4Ω5 nazywamy

zbiorem optymalnym w sensie Pareto (Pareto – optymalnym)
Przykład:

Niech

 ⊆ d4Ω5 będzie zbiorem Pareto - optymalnym

Definicja 5. Zbiór rozwiązań sprawnych
zbiór

d



4^

′

5 ⊆ Ω jest zbiorem rozwiązań sprawnych

:

+

4

∗

5 = y1 abL 

∗

c 

0 3 W. W

z

Metoda porządku leksykograficznego

Przyjmuje się, ze wskaźniki uporządkowane są według ważności od

R



do

R

`

. Rozpatrujemy ciąg zadań wyznaczania zbiorów:

Ω

,

= ycΩ:

,

45 = I2

,

4L5

LcΩ

,

{ X = 1, |

TTTTT ; Ω

}

= Ω

Zadanie rozwiązujemy dla kolejnych n rozpoczynając od 1, aż:
- dojdziemy do N
- Ω

,

będzie zbiorem jednoelementowym (wtedy Ω

,

= Ω

,~

= Ω

`

5

:

+

4^

∗

5 = 

1 abL ∀ X = 1, |

TTTTT R

,

∗

= max

9ƒΩ

„…!

,

45

0 3 W. W

z

Metoda kompromisu (ważonej sumy)

(jedna z metod przejścia do pojedynczego wskaźnika)

Wektor

R



, … , R

`

 zastępuje się liczbą

 = † ‡

,

∙ R

,

`

,'

Gdzie:

‡

,

- waga subiektywnie przyporządkowana wskaźnikowi n

Przyjmuje się, że wagi i wskaźniki są znormalizowane. Sprawdza się
dodatkowo warunek dodatniości wskaźników.

:

+

4^

∗

5 = ‰1 abL † ‡

,

∙ R

,

∗

`

,'

= max

9ƒΩ

† ‡

,

∙

,

45

`

,'

0 3 W. W

z

Metoda punktu idealnego

Niech

^

+9

= R



+9

, … , R

`

+9

 oznacza tzw. punkt idealny oraz

niech będzie normą
dla wektora

^

+9

E ^ = R



+9

E R



,… , R

`

+9

E R

`



:

+

4^

∗

5 = 

1 abL Š^

+9

E ^

∗

Š = min

ƒŽ4Ω5

Š^

+9

E ^Š

0 3 W. W

z

Najczęściej stosowane normy:
- norma z parametrem p

Š^Š = †|R

,

|

`

,'

&

‘



&

- norma euklidesowa p=2
- norma maksimum

Š^Š = max

,',`

TTTTT

|R

,

|

- norma uliczna

Š^Š = †|R

,

|

`

,'

Metoda punktu nadir

Niech

^

U,

= R



U,

, … , R

`

U,

 oznacza tzw. nadir gdzie

R

,

U,

= min

9∈Ω

,

45

:

+

4^

∗

5 = 

1 abL ’^

∗

E ^

U,

’ = max

ƒŽ4Ω5

’^ E ^

U,

’

0 3 W. W

z

Rozwiązania satysfakcjonujące

Dla każdego wskaźnika

R

,

ustala się minimalny próg

R

,

}

satysfakcjonujący

decydenta i wyznacza zbiór elementów satysfakcjonujących

“ = ^cd4Ω5:∀X = 1, |

TTTTT R

,

≥ R

,

}



:

+

4^

∗

5 = y1 abL ^

∗

∈ “

0 3 W. W

z

Wybór wskaźnika nadrzędnego

Niech

R



będzie wskaźnikiem najważniejszym. Dla każdego z pozostałych

wskaźników określa się minimalny próg satysfakcjonujący decydenta.
Następnie wyznacza się zbiór Ω

= ”cΩ: ∀X = 2, |

,

45 ≥ R

,

}

• i

rozwiązuje zadanie maksymalizacji funkcji



45 na zbiorze Ω

:

+

4^

∗

5 = 

1 abL R



∗

= max

9ƒΩ



45

0 3 W. W

z

Programowanie celowe

Chodzi decydentowi o to, aby wskaźniki przyjęły (były jak najbliżej)
ustalonych wartości

M

,

. Wektor

– = M



,… , M

`

 nazywa się celem. Normę

dla

^cd4Ω5 i – określa się jako

Š^ E –Š = † 3

,

|‡

,

R

,

E M

,

|

`

,'

Gdzie

‡

,

- waga kryterium,

3

,

- waga odległości od celu

:

+

4^

∗

5 = 

1 abLŠ^

∗

E –Š = min

ƒŽ4Ω5

Š^ E –Š

0 3 W. W

z

Jeśli

d4Ω5 jest zbiorem wielościennym wypukłym, to zadanie sprowadza

się do zadania LPM. Przyjmuje się

L

,

= max0, ‡

,

R

,

E M

,

, 

,

= max0, M

,

E ‡

,

R

,

,

L

,

+ 

,

= |‡

,

R

,

E M

,

| oraz L

,

E 

,

= ‡

,

R

,

E M

,

Czyli

‡

,

R

,

E L

,

+ 

,

= M

,

X = 1, |

Otrzymujemy więc zadanie LPM wyznaczenia takiego wektora



∗

= R



∗

, R

_

∗

,… , R

`

∗

, L



∗

, L

_

∗

, … , L

`

∗

, 



∗

,

_

∗

, … , 

`

∗

 dla którego

† 3

,

4L

,

∗

+ 

,

∗

5 = min

9∈Ž

† 3

,

4L

,

+ 

,

5

`

,'

`

,'

Przy ograniczeniach

R



,… , R

`

 ∈ d4Ω5, ‡

,

R

,

E L

,

+ 

,

= M

,

,

L

,

, 

,

≥ 0