Modelowanie matematyczne problem 1(model)

Modelowanie matematyczne - PROBLEM 1

Werbalny opis problemu

Pewien zakład produkuje dwa typy wyrobów: typ A i typ B. Na wyprodukowanie wyrobu typu A potrzeba m_A jednostek materiału a na wyprodukowanie wyrobu typu B potrzeba m_B jednostek materiału. Zakład ma w magazynie M jednostek materiału. Czas potrzebny na wyprodukowanie wyrobu typu A oszacowano na t_A jednostek czasu a wyrobu typu B – na t_B jednostek czasu. Łączny czas jaki zakład może przeznaczyć na produkcje wynosi T jednostek czasu. Dział marketingu oszacował również, że popyt na wyrób typu A wyniesie nie więcej niż p_A jednostek natomiast

na wyrób typu B - nie mniej niż p_B jednostek. Cenę jednostkową sprzedaży dla wyrobu A oszacowano na c_A natomiast

jednostki wyrobu B – na c_B. Ponadto koszty produkcji jednostki wyrobu typu A wynoszą k_A natomiast jednostki wyrobu typu B – k_B. Zakład produkując wyroby chce zmaksymalizować zysk.

Rozwiązanie:

Cechy: m_A, m_B – liczba jednostek materiału potrzebnych do wyprodukowania wyrobów A i B M – liczba jednostek materiału w magazynie t_A, t_B – liczba jednostek czasu potrzebna na wyprodukowanie wyrobów A i B T – liczba jednostek czasu które zakład może poświęcić na produkcję p_A – maksymalny popyt na wyrób A p_B – minimalny popyt na wyrób B c_A, c_B – jednostkowe ceny sprzedaży dla wyrobów A i B k_A, k_B - jednostkowe koszty produkcji wyrobów A i B x_A, x_B - liczba produkowanych jednostek wyrobów A i B z – zysk zakładu	Związki: (z₁):Można wyprodukować tyle wyrobów na ile starczy materiału w magazynie Y₁ = ⟨x_A,m_A,x_B,m_B,M⟩ R₁ = {⟨x₁,x₂,x₃,x₄,x₅⟩∈N⁵: x₁x₂+x₃x₄≤x₅} (z₂):Zakład może produkować wyroby przez określony czas (założenie, że w danym momencie można produkować tylko jeden produkt) Y₂ = ⟨x_A,t_A,x_B,t_B,T⟩ R₂ = {⟨x₁,x₂,x₃,x₄,x₅⟩ ∈ N⁵ : x₁x₂ + x₃x₄ ≤ x₅} (z₃): Zakład nie może wyprodukować więcej wyrobu A niż wynosi maksymalny popyt na ten wyrób Y₃ = ⟨x_A,p_A⟩ R₃ = {⟨x,y⟩∈N²:x≤y} (z₄): Zakład musi wyprodukować co najmniej tyle wyrobu B ile wynosi minimalny popyt na ten wyrób Y₄ = ⟨x_B,p_B⟩ R₄ = {⟨x,y⟩∈N²:x≥y} (z₅): Zysk Y₅ = ⟨x_A,x_B,c_A,k_A,c_B,k_B,z⟩ R₅ = {⟨{x_i}_i = 1⁷⟩∈N²×R⁵:x₇=x₁(x₃−x₄)+x₂(x₅−x₆)}
Opis cech: $$\ \dot{X} = \{\left\langle m_{A},N \right\rangle,\left\langle m_{B},N \right\rangle,\ldots,\left\langle z,R \right\rangle\}$$	Opis związków: $$\ \dot{R} = \{\left\langle z_{1},Y_{1},R_{1} \right\rangle,\ldots,\left\langle z_{5},Y_{5},R_{5} \right\rangle\}$$

Cechy:

m_A, m_B – liczba jednostek materiału potrzebnych do wyprodukowania wyrobów A i B

M – liczba jednostek materiału w magazynie

t_A, t_B – liczba jednostek czasu potrzebna na wyprodukowanie wyrobów A i B

T – liczba jednostek czasu które zakład może poświęcić na produkcję

p_A – maksymalny popyt na wyrób A

p_B – minimalny popyt na wyrób B

c_A, c_B – jednostkowe ceny sprzedaży dla wyrobów A i B

k_A, k_B - jednostkowe koszty produkcji wyrobów A i B

x_A, x_B - liczba produkowanych jednostek wyrobów A i B

z – zysk zakładu

Związki:

(z₁):Można wyprodukować tyle wyrobów na ile starczy materiału w magazynie

Y₁ = ⟨x_A,m_A,x_B,m_B,M⟩

R₁ = {⟨x₁,x₂,x₃,x₄,x₅⟩∈N⁵: x₁x₂+x₃x₄≤x₅}

(z₂):Zakład może produkować wyroby przez określony czas (założenie, że w danym momencie można produkować tylko jeden produkt)

Y₂ = ⟨x_A,t_A,x_B,t_B,T⟩

R₂ = {⟨x₁,x₂,x₃,x₄,x₅⟩ ∈ N⁵ : x₁x₂ + x₃x₄ ≤ x₅}

(z₃): Zakład nie może wyprodukować więcej wyrobu A niż wynosi maksymalny popyt na ten wyrób

Y₃ = ⟨x_A,p_A⟩

R₃ = {⟨x,y⟩∈N²:x≤y}

(z₄): Zakład musi wyprodukować co najmniej tyle wyrobu B ile wynosi minimalny popyt na ten wyrób

Y₄ = ⟨x_B,p_B⟩

R₄ = {⟨x,y⟩∈N²:x≥y}

(z₅): Zysk

Y₅ = ⟨x_A,x_B,c_A,k_A,c_B,k_B,z⟩

R₅ = {⟨{x_i}_i = 1⁷⟩∈N²×R⁵:x₇=x₁(x₃−x₄)+x₂(x₅−x₆)}

Opis cech:

$$\ \dot{X} = \{\left\langle m_{A},N \right\rangle,\left\langle m_{B},N \right\rangle,\ldots,\left\langle z,R \right\rangle\}$$

Opis związków:

$$\ \dot{R} = \{\left\langle z_{1},Y_{1},R_{1} \right\rangle,\ldots,\left\langle z_{5},Y_{5},R_{5} \right\rangle\}$$

Model matematyczny: $\left\langle \dot{X},\dot{R} \right\rangle$

a = ⟨m_A,m_B,M,t_A,t_B,T,p_A,p_B,c_A,c_B,k_A,k_B⟩, A = {⟨m_A,m_B,M,t_A,t_B,T,p_A,p_B,c_A,c_B,k_A,k_B⟩ ∈ N⁸ × R⁴}

x = ⟨x_A,x_B⟩ , Ω(a) = {⟨x_A,x_B⟩ ∈ N² : m_Ax_A + m_Bx_B ≤ M, t_Ax_A + t_Bx_B ≤ T, x_A ≤ p_A, x_B ≥ p_B}

w = z, W(a,x) = {z ∈ R : z = x_A(c_A−k_A) + x_B(c_B − k_B)}, W(a) = {z ∈ W(a,x) : x ∈ Ω(a)}

$$E_{a}\left( Z\left( x^{*} \right) \right) = \left\{ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ }\begin{matrix} \text{gdy} & Z\left( x^{*} \right) = \max{W\left( a \right) = \operatorname{}{Z(x)}} \\ \text{w\ p.p} & \ \\ \end{matrix} \right.\ $$

Z(x) = f(a,x) = x_A(c_A−k_A) + x_B(c_B − k_B)

Zadanie optymalizacyjne: