Modelowanie matematyczne - PROBLEM 4

Werbalny opis problemu

Polski producent napojów podpisał kontrakt na dostarczenie określonej ilości swojego produktu do kraju w Afryce. Aby produkt dostarczyć w nienaruszonej formie producent poprosił swojego inżyniera o zaprojektowanie kontenerów, które posłużą do transportu cieczy. Inżynier otrzymał zlecenie w formie pisemnej z załączoną listą oczekiwań od strony producenta. Producent zaznaczył, że wynajął firmę transportową, która zgodziła się przyjąć zlecenie na transport każdej ilości kontenerów pod warunkiem, że objętość kontenera będzie mniejsza niż określona w umowie i zaproponowała transport każdego kontenera w jednej cenie niezależnie od jego wielkości. Kolejna informacja dotyczyła agregatów chłodzących, które utrzymywałyby odpowiednią temperaturę podczas transportu. Agregaty muszą być zainstalowane na ścianach przedniej i tylnej których powierzchnia ze względu na moc chłodzącą nie może być większa niż określona w specyfikacji urządzeń chłodzących. Ze względów wytrzymałościowych łączna powierzchnia ścian bocznych i powierzchni górnej nie może przekraczać określonej wielkości. Dodatkowo inżynier otrzymał informacje o cenach materiałów, z których muszą być wykonane ściany kontenera, oraz o cenie agregatu chłodzącego. Na koniec producent poinformował inżyniera, że ważne jest aby koszt produkcji i transportu był jak najmniejszy.

Rozwiązanie:

Cechy: V – wielkość dostawy Vmax – maksymalna objętość kontenera kt – koszt transportu jednego kontenera Sfr – maksymalna powierzchnia chłodząca agregatu Sdur – maksymalna powierzchnia ze względu na wytrzymałość cfb – cena za m^2 materiału na ściany przednią i tylną cs – cena za m^2 materiału na ściany boczne ctb – cena za m^2 materiału na ściany górną i dolną ca – cena agregatu x1, x2, x3 - szerokość, długość i wysokość kontenera K – koszt

Związki: (z1): ograniczona objętość kontenera  Y1 = ⟨x1,x2,x3,Vmax⟩ R1 = {⟨x,y,z,v⟩∈R+^4: xyz≤v} (z2): ograniczona powierzchnia przednia i tylna  Y2 = ⟨x1,x3,Sfr⟩ R2 = {⟨x,y,z⟩∈R+^3: xy≤z} (z3): ograniczenia wytrzymałościowe  Y3 = ⟨x1,x2,x3,Sdur⟩ R3 = {⟨x,y,z,s⟩∈R+^4: xy+2yz≤s} (z4): koszt  Y4 = ⟨x1,x2,x3,V,kt,cfb,cs, ctb,ca,K⟩ $R_{4} = \begin{Bmatrix} \left\langle x,y,z,v,c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},c_{5},k \right\rangle \in R_{+}^{10}:\ \\ k = \left\lceil \frac{v}{\text{xyz}} \right\rceil \bullet (c_{1} + 2c_{5} + {2c}_{2}xz + 2c_{3}yz + 2c_{4}xy) \\ \end{Bmatrix}$

Opis cech: $$\ \dot{X} = \{\left\langle V,R \right\rangle,\left\langle V_{\max},R_{+} \right\rangle,\ldots,\left\langle K,R \right\rangle\}$$

Opis związków: $$\ \dot{R} = \{\left\langle z_{1},Y_{1},R_{1} \right\rangle,\ldots,\left\langle z_{4},Y_{4},R_{4} \right\rangle\}$$

Model matematyczny: $\left\langle \dot{X},\dot{R} \right\rangle$

a = ⟨V,V_max,k_t,S_fr,S_dur,c_fb,c_s,c_tb,c_a⟩

A = {⟨V,V_max,k_t,S_fr,S_dur,c_fb,c_s,c_tb,c_a⟩ ∈ R₊⁹}

x = ⟨x₁,x₂,x₃⟩ , Ω(a) = {⟨x₁,x₂,x₃⟩ ∈ R₊³ :  x₁x₂x₃ ≤ V_max, x₁x₃ ≤ S_fr, 2x₂x₃ + x₁x₂ ≤ S_dur}

w = K,$W\left( a,x \right) = \{ K \in R:K = \left\lceil \frac{V}{x_{1}x_{2}x_{3}} \right\rceil \bullet (k_{t} + 2c_{a} + {2c}_{\text{fb}}x_{1}x_{3} + 2c_{s}x_{2}x_{3} + 2c_{\text{tb}}x_{1}x_{2})\}$,

W(a) = {z ∈ W(a,x) : x ∈ Ω(a)}

$$E_{a}\left( K\left( x^{*} \right) \right) = \left\{ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ }\begin{matrix} \text{gdy} & K\left( x^{*} \right) = \min{W\left( a \right) = \operatorname{}{K(x)}} \\ \text{w\ p.p} & \ \\ \end{matrix} \right.\ $$

$K\left( x \right) = f\left( a,x \right) = \left\lceil \frac{V}{x_{1}x_{2}x_{3}} \right\rceil \bullet (k_{t} + 2c_{a} + {2c}_{\text{fb}}x_{1}x_{3} + 2c_{s}x_{2}x_{3} + 2c_{\text{tb}}x_{1}x_{2})$

Zadanie optymalizacyjne:

Dla danych a ∈ A wyznaczyć takie x^* ∈ Ω(a) aby Ea(K(x^*)) = 1	Dla danych a ∈ A wyznaczyć takie x^* ∈ Ω(a) aby K(x^*) = K(x)