Modelowanie matematyczne - PROBLEM 2

Werbalny opis problemu

Zakład płatnerski „XXX” produkuje dwa wyroby: zbroje płytowe i łuskowe. Do wytworzenia jednego egzemplarza każdego rodzaju zbroi potrzeba określonej liczby arkuszy stali i określonej liczby arkuszy skóry. Zakład ma w magazynie M_st arkuszy stali i M_sk arkuszy skóry. Na wykonanie 1 sztuki każdego rodzaju zbroi potrzeba takiej samej liczby godzin. Zakład nie może przeznaczyć na produkcję więcej niż T godzin. Wiadomo również, że w danej chwili może być wytwarzany tylko jeden typ zbroi. Dział marketingu oszacował minimalny popyt na zbroje płytowe i maksymalny popyt na zbroje łuskowe. Oszacowano również ceny jednostkowe sprzedaży dla każdego typu zbroi. Znany jest koszt produkcji 1 egzemplarza zbroi płytowej i wiadomo, że jest o połowę mniejszy niż koszt produkcji 1 egzemplarza zbroi łuskowej. Zakład chce wyprodukować taką liczbę egzemplarzy każdego typu zbroi, aby osiągnąć jak największy zysk.

Rozwiązanie:

Cechy: mst^A, msk^A – liczba arkuszy stali i skóry potrzebnych do wyprodukowania zbroi płytowej mst^B, msk^B – liczba arkuszy stali i skóry potrzebnych do wyprodukowania zbroi łuskowej Mst, Msk – liczba arkuszy stali i skóry w magazynie t – liczba godzin potrzebna na wyprodukowanie zbroi (płytowej lub łuskowej) T – liczba godzin które zakład może poświęcić na produkcję pB – maksymalny popyt na zbroje łuskowe pA – minimalny popyt na zbroje płytowe cA, cB – jednostkowe ceny sprzedaży dla zbroi płytowej i łuskowej kA, kB - jednostkowe koszty produkcji dla zbroi płytowej i łuskowej xA, xB - liczba produkowanych egzemplarzy zbroi płytowej i łuskowej z – zysk zakładu

Związki: (z1):Można wyprodukować tyle wyrobów na ile starczy materiału w magazynie  Y1 = ⟨xA,mst^A,xB,mst^B,Mst⟩ R1 = {⟨x1,x2,x3,x4,x5⟩∈N^5: x1x2+x3x4≤x5} (z2):Można wyprodukować tyle wyrobów na ile starczy materiału w magazynie  Y2 = ⟨xA,msk^A,xB,msk^B,Msk⟩ R2 = {⟨x1,x2,x3,x4,x5⟩∈N^5: x1x2+x3x4≤x5} (z3):Zakład może produkować wyroby przez określony czas (założenie, że w danym momencie można produkować tylko jeden produkt) Y3 = ⟨xA,xB,t,T⟩ R3 = {⟨x1,x2,x3,x4⟩ ∈ N^4 : (x1+x2)x3 ≤ x4} (z4): Zakład nie może wyprodukować więcej zbroi łuskowych niż wynosi maksymalny popyt na ten wyrób Y4 = ⟨xB,pB⟩ R4 = {⟨x,y⟩∈N^2:x≤y} (z5): Zakład musi wyprodukować co najmniej tyle zbroi płytowych ile wynosi minimalny popyt na ten wyrób Y5 = ⟨xA,pA⟩ R5 = {⟨x,y⟩∈N^2:x≥y} (z6): Koszt produkcji zbroi płytowej jest o połowę niższy niż łuskowej Y6 = ⟨kA,kB⟩ $R_{6} = \left\{ \left\langle x,y \right\rangle \in R^{2}:x = \frac{1}{2}y \right\}$ (z7): Zysk Y7 = ⟨xA,xB,cA,kA,cB,kB,z⟩ R7 = {⟨{xi}i = 1^7⟩∈N^2×R^5:x7=x1(x3−x4)+x2(x5−x6)}

Opis cech: $$\ \dot{X} = \{\left\langle m_{\text{st}}^{A},N \right\rangle,\left\langle m_{\text{sk}}^{A},N \right\rangle,\ldots,\left\langle z,R \right\rangle\}$$

Opis związków: $$\ \dot{R} = \{\left\langle z_{1},Y_{1},R_{1} \right\rangle,\ldots,\left\langle z_{7},Y_{7},R_{7} \right\rangle\}$$

Model matematyczny: $\left\langle \dot{X},\dot{R} \right\rangle$

a = ⟨m_st^A,m_sk^A,m_st^B,m_sk^B,M_st,M_sk,t,T,p_A,p_B,c_A,c_B,k_A,k_B⟩

$A = \{\left\langle m_{\text{st}}^{A},m_{\text{sk}}^{A},m_{\text{st}}^{B},m_{\text{sk}}^{B},M_{\text{st}},M_{\text{sk}},t,T,p_{A},p_{B},c_{A},c_{B},k_{A},k_{B} \right\rangle,\ \in N^{10} \times R^{4}:k_{A} = \frac{1}{2}k_{B}\}$

x = ⟨x_A,x_B⟩

Ω(a) = {⟨x_A,x_B⟩ ∈ N² :  m_sk^Ax_A + m_sk^Bx_B ≤ M_sk, m_st^Ax_A + m_st^Bx_B ≤ M_st, t(x_A + x_B)≤T, x_B ≤ p_B, x_A ≥ p_A}

w = z, W(a,x) = {z ∈ R : z = x_A(c_A−k_A) + x_B(c_B − k_B)}, W(a) = {z ∈ W(a,x) : x ∈ Ω(a)}

$$E_{a}\left( Z\left( x^{*} \right) \right) = \left\{ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ }\begin{matrix} \text{gdy} & Z\left( x^{*} \right) = \max{W\left( a \right) = \operatorname{}{Z(x)}} \\ \text{w\ p.p} & \ \\ \end{matrix} \right.\ $$

Z(x) = f(a,x) = x_A(c_A−k_A) + x_B(c_B − k_B)

Zadanie optymalizacyjne:

Dla danych a ∈ A wyznaczyć takie x^* ∈ Ω(a) aby Ea(Z(x^*)) = 1	Dla danych a ∈ A wyznaczyć takie x^* ∈ Ω(a) aby Z(x^*) = Z(x)