1

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

1

Podstawy

Podstawy

Automatyzacji Okr

Automatyzacji Okr

ę

ę

tu

tu

Politechnika Gda

ń

ska

Wydział Oceanotechniki i Okr

ę

townictwa

St. in

ż

. I stopnia, sem. IV, kierunek:

Specjalno

ś

ci Okr

ę

towe

Marzec 2009

2

2

MODEL MATEMATYCZNY RUCHU STATKU

MODEL MATEMATYCZNY RUCHU STATKU

M. H. Ghaemi

M. H. Ghaemi

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

2

2. MODEL MATEMATYCZNY STATKU

2. MODEL MATEMATYCZNY STATKU

δδδδ

α

αα

α

ψ

ψ

ψ

ψ

ββββ
θθθθ

h

Η

Η

Η

Η

P

SS

v

Uproszczony model statku, jako obiektu sterowania

δ

wychylenie steru

h

poło

ż

enie listwy paliwowej

H

skok

ś

ruby nastawnej

P

SS

napór steru strumieniowego

M

ST

moment steruj

ą

ce w układzie

stabilizacji kołysa

ń

statku (lub k

ą

t

nachylenia płetwy)

ψ

kurs statku

v

pr

ę

dko

ść

ruchu

β

k

ą

t dryfu

θ

k

ą

t kołysania

2

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

3

Modele cz

Modele cz

ą

ą

stkowe

stkowe

Model sterowania kursu statku

ψ = ψ(δ)

;

v = cons.

Model sterowania pr

ę

dko

ś

ci statku

v = v(h,H) ;

ψ

= cons.

Model sterowania ruchu statku przy pomocy steru strumieniowego

ψ = ψ

(P

SS

)

Model stabilizacji kołysa

ń

statku

θ = θ

(M

ST

)

lub

θ

=

θ

(

α

)

Modele kombinowane

Modele kombinowane

Sterowanie kursu statku według okre

ś

lonej trajektorii

Sterowanie antykolizyjne

Sterowanie na wodach ograniczonych

sterowanie

ψ

, v

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

4

Turning-circle

Próba spiralna

2.1. Charakterystyki statyczne statku

2.1. Charakterystyki statyczne statku

• stateczno

ść

kursowa

• manewrowo

ść

• próby morskie: „spiral”, „pull-out”, zig-zag, „modified zig-zag”, „turning-circle”,

„stopping”, itp. (np.. Na podstawie „ITTC Recommended Procedures”)

3

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

5

Próba spiralna, statek jest niestateczny

Próba spiralna, statek jest stateczny

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

6

δ

ψ

.

δ

ψ

ψ

0

δ

ψ

δ

kr

ψ

kr

ψ

0

Przykłady krzywych (charakterystyk) Dieudonné i Bech:

a) charakterystyka stateczna, b) i c) charakterystyki niestateczne

a)

b)

c)

Próba spiralna - Krzywy Dieudoné’ i Bech

4

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

7

δ

ψ

2,0

1,0

1,5

0,5

0

-0,5

-1,0

-1,5

-2,0

10

o

20

o

30

o

-30

o

-20

o

-10

o

6 w

12 w

24 w

Zale

ż

no

ść

przebiegu kursowej Dieudonné od pr

ę

dko

ś

ci liniowej statku

nieliniowo

ść

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

8

Próba „pull-out”, statek jest niestateczny

Próba „pull-out”, statek jest stateczny

5

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

9

„zig-zag”

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

10

R

S

u

Z

X

_

X +

-

Uproszczony schemat blokowy układu sterowania ruchu statku.

S – obiekt sterowania, R – regulator, u – sygnał nastawczy, X – sygnał regulowany,

- warto

ść

zadana, Z – sygnał zakłócaj

ą

cy

X

urz

ą

dzenie

nastawcze

model

dynamiki

statku

δ

Z

X

fale, wiatr,

pr

ą

dy

δ

c

od

regulatora

urz

ą

dzenie

pomiarowe

zakłócenia

pomiarowe

w

X

m

do

regulatora

obiekt sterowania

Schemat blokowy statku jako obiektu sterownia.

dynamika statku:
urz

ą

dzenie nastawcze:

urz

ą

dzenie pomiarowe:

)

,

,

(

Z

X

f

X

δ

=

&

)

,

,

(

c

X

g

δ

δ

δ

=

&

)

,

(

w

X

h

X

m

=

6

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

11

2.2.1. Og

2.2.1. Og

ó

ó

lna posta

lna posta

ć

ć

r

r

ó

ó

wnania ruchu statku

wnania ruchu statku

z

o

y

x

φ

θ

ψ

x: oscylacje pod³u¿ne (surge)
y: oscylacje poprzeczne (sway)
z: nurzanie (heave)
: ko³ysanie (roll)
: kiwanie (pitch)
: myszkowanie (yaw)

φ

θ

ψ

Główne składowe ruchu oscylacyjnego statku

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

12

Dynamika: kinematyka + kinetyka

ψ

r

N

Obrót wokół osi pionowej z

6

θ

q

M

Obrót wokół osi porzecznej y

5

φ

p

K

Obrót wokół osi wzdłużnej x

4

z

v

z

Z

Pionowe, kierunek osi z

3

y

v

y

Y

Poprzeczne, kierunek osi y

2

x

v

x

X

Wzdłużne, kierunek osi x

1

Współrzędne Eulera liniowe

i kątowe

Prędkości liniowe i

kątowe

Siły i momenty

wymuszające

Składowa ruchu

L.p.

Składowe ruchu statku

Układy współrz

ę

dnych

(układy odniesienia):

zwi

ą

zanych z

ustalonym punktem ziemi,

zwi

ą

zanych z

ustalonym punktem
statku

7

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

13

∑

⋅

=

v

m

F

&

i

T

z

y

x

r

q

p

v

v

v

]

,

,

,

,

,

[

=

v

n

i

N

M

K

Z

Y

X

T

i

i

i

i

i

i

i

,...,

2

,

1

;

]

,

,

,

,

,

[

=

=

F

np. dla

n

=1:

r

X

q

X

p

X

v

X

v

X

v

X

r

X

q

X

p

X

v

X

v

X

v

X

X

r

q

p

z

v

y

v

x

v

r

q

p

z

v

y

v

x

v

z

y

x

z

y

x

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

1

.

.

.

r

v

v

N

X

X

y

x

,...,

,

: współczynniki tłumienia liniowego,

: współczynniki hydrodynamicznej masy dodanej

Model klasyczny:

: macierz bezwładno

ś

ci statku

: uogólniony wektor pr

ę

dko

ś

ci

: wektor sił i momentów

v

m

i

F

r

v

v

N

X

X

y

x

&

&

&

,...,

,

72 elementów w 6 równaniach

r

N

q

N

p

N

v

N

v

N

v

N

r

N

q

N

p

N

v

N

v

N

v

N

N

r

q

p

z

v

y

v

x

v

r

q

p

z

v

y

v

x

v

z

y

x

z

y

x

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

1

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

14

ruch statku

T

T

T

]

,

[

2

1

η

η

η

=

T

z

y

x

]

,

,

[

=

1

η

T

]

,

,

[

2

ψ

θ

φ

=

η

T

T

T

]

,

[

2

1

v

v

v

=

T

z

y

x

v

v

v

]

,

,

[

1

=

v

T

r

q

p

]

,

,

[

2

=

v

T

T

T

]

,

[

2

1

τ

τ

τ

=

T

Z

Y

X

]

,

,

[

=

1

τ

T

N

M

K

]

,

,

[

=

2

τ

Wektor okre

ś

la pozycj

ę

i orientacj

ę

statku w układzie współrz

ę

dnych

zwi

ą

zanych z ustalonym punktem ziemi

Wektor okre

ś

la pr

ę

dko

ść

liniowa i k

ą

tow

ą

statku w układzie współrz

ę

dnych

zwi

ą

zanych z ustalonym punktem statku

Wektor okre

ś

la siły i momenty sił działaj

ą

ce w układzie współrz

ę

dnych

zwi

ą

zanych z ustalonym punktem statku

η

v

τ

nieliniowe równanie dynamiki ruchu statku:

τ

g(η

v

D(v)

v

C(v)

v

M

=

+

⋅

+

⋅

+

⋅

)

&

8

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

15

z drugiej zasady dynamiki Newtona

równania Lagrange’a

f

v

m

=

⋅

&

Q

P

L

L

dt

d

=

∂

∂

+

∂

∂

−













∂

∂

η

η

η

&

&

T

z

y

x

]

,

,

,

,

,

[

ψ

θ

φ

=

η

wektor współrz

ę

dnych uogólnionych

T

z

y

x

r

q

p

v

v

v

]

,

,

,

,

,

[

=

v

?

?!

0

=

⋅

∫

t

dt

v

2.2.2. Si

2.2.2. Si

ł

ł

y i momenty wymuszaj

y i momenty wymuszaj

ą

ą

ce wyst

ce wyst

ę

ę

puj

puj

ą

ą

ce w ruchu statku

ce w ruchu statku

S

S

S

τ

v

(v)

C

v

M

=

⋅

+

⋅

&

τ

τ

τ

τ

E

H

S

+

+

=

j.w.

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

16

ź

ródła:

•

bezwładno

ś

ci wody towarzysz

ą

cej ze statkiem

(masa tej wody, siły Coriolisa

z ni

ą

zwi

ą

zane),

•

tłumienie

: potencjalne (wynikaj

ą

ce z pochłoni

ę

cia energii przez fale

powierzchniowe powstaj

ą

ce pod wpływem ruchu statku), wywołane tarciem

powierzchniowym (statku o wod

ę

), powodowane dryfem w ruchu statku,

powodowane wirami wywołanymi ruchem statku,

•

siły stabilizuj

ą

ce

(siły ci

ęż

aru i wyporno

ś

ci).

H

τ

)

g(η

v

D(v)

v

(v)

C

v

M

τ

A

A

H

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

=

&

τ

τ

g(η

v

D(v)

v

C(v)

v

M

E

+

=

+

⋅

+

⋅

+

⋅

)

&

Równanie ruchu statku:

A

S

A

S

C

C

C

M

M

M

+

=

+

=

;

9

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

17

η

η

η

η

η

τ

(η

g

η

η)

(v,

D

η

η)

(v,

C

η

(η

M

=

+

⋅

+

⋅

+

⋅

)

)

&

&

&

&

v

I(η

η

⋅

=

)

&

:

)

I(η

macierz transformacji współrz

ę

dnych zwi

ą

zanych z ustalonym punktem

statku do układu współrz

ę

dnych zwi

ą

zanego z ustalonym punktem ziemi

2.2.3. Uproszczone postaci modelu ruchu statku

2.2.3. Uproszczone postaci modelu ruchu statku

Zało

ż

enia:

0

;

0

=

=

G

G

z

y

0

=

=

yz

xy

I

I

0

=

=

=

=

=

=

q

p

v

q

p

v

z

z

&

&

&

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

18

X

r

x

r

v

v

m

G

y

x

=

⋅

−

⋅

−

⋅

)

(

2

&

Y

r

x

r

v

v

m

G

x

y

=

⋅

+

⋅

+

⋅

)

(

&

&

N

r

v

v

x

m

r

I

x

y

G

z

=

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

)

(

&

&

.)

(

;

.

0

const

cons

v

x

=

=

τ

0

0

0

=

=

r

v

y

małe odchylenia

,

,

y

v

r

δ

N

N

Y

Y

X

X

X

r

r

v

v

v

v

v

y

y

x

x

x

∆

=

∆

=

∆

+

=

∆

=

∆

=

∆

+

=

,

,

,

,

0

0

N

r

v

v

x

m

r

I

Y

r

x

r

v

v

m

X

X

v

m

x

y

G

z

G

x

y

x

∆

=

∆

⋅

+

∆

⋅

⋅

+

∆

⋅

∆

=

∆

⋅

+

∆

⋅

+

∆

⋅

∆

+

=

∆

⋅

)

(

)

(

0

0

0

&

&

&

&

&

10

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

19

X

X

v

m

x

∆

+

=

∆

⋅

0

&

N

r

v

v

x

m

r

I

Y

r

x

r

v

v

m

x

y

G

z

G

x

y

=

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

+

⋅

)

(

)

(

0

0

&

&

&

&

równanie pr

ę

dko

ś

ci statku:

równania kursu statku(*):

)

,

,

,

,

(

)

,

,

,

,

(

)

,

,

,

,

,

(

R

y

y

R

y

y

R

x

y

x

r

v

r

v

N

N

r

v

r

v

Y

Y

T

v

r

v

v

X

X

δ

δ

δ

&

&

&

&

&

=

=

=

wymuszenia:

R

δ

T

wychylenie steru w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara,

napór p

ę

dnika

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

20

Model

Model

Nomoto

Nomoto

R

r

y

v

r

y

v

R

r

y

v

r

y

v

N

r

N

v

N

r

N

v

N

N

Y

r

Y

v

Y

r

Y

v

Y

Y

y

y

y

y

δ

δ

δ

δ

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

&

&

&

&

&

&

&

&

załó

ż

my

R

x

v

δ

⋅

=

⋅

+

⋅

b

w

N

w

M

)

(

0

&

równania kursu statku (*):

[ ]

T

y

r

v ,

=

w













=













=













=

















−

⋅

⋅

−

−

⋅

−

=













=

















−

−

⋅

−

⋅

−

=

2

1

22

21

12

11

0

0

0

22

21

12

11

,

)

(

,

b

b

N

Y

n

n

n

n

N

v

x

m

N

Y

v

m

Y

v

m

m

m

m

N

I

N

x

m

Y

x

m

Y

m

r

x

G

v

r

x

v

x

r

z

v

G

r

G

v

y

y

y

y

δ

δ

b

N

M

&

&

&

&

u

B

x

A

x

⋅

+

⋅

=

&

[ ]













=

=













=

−

=

=

=

−

−

21

11

22

21

12

11

,

b

b

a

a

a

a

r

v

R

T

y

b

M

B

N

M

A

u

x

1

1

δ

11

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

21

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(

)

(

2

1

3

s

T

s

T

s

T

K

s

s

r

R

R

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

δ

N

N

N

N

M

det

det

det

det

det

21

11

11

21

3

21

11

11

21

12

21

21

12

11

22

22

11

2

1

2

1

b

m

b

m

T

K

b

n

b

n

K

m

n

m

n

m

n

m

n

T

T

T

T

R

R

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

−

⋅

=

⋅

−

⋅

−

⋅

+

⋅

=

+

=

⋅

(transmitancja)

Model Nomoto

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

22

R

δ

δ

ψ

0

0

Zmienne opisuj

ą

ce ruch statku w płaszczy

ź

nie poziomej

12

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

23

K

K

def

R

def

−

=

−

=

,

R

δ

δ

0

>

δ

0

>

r

0

=

=

θ

φ

r

=

ψ

&

)

(

)

(

3

2

1

2

1

δ

δ

ψ

ψ

ψ

&

&

&

&

&

&

&

⋅

+

=

+

⋅

+

+

⋅

⋅

T

K

T

T

T

T

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(

)

(

2

1

3

s

T

s

T

s

s

T

K

s

s

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

=

δ

ψ

Model Nomoto 2. rz

ę

du

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(

)

(

2

1

3

s

T

s

T

s

T

K

s

s

r

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

+

=

δ

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(

)

(

2

1

s

T

s

T

s

T

K

s

s

v

v

v

y

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

+

=

δ

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

24

Model Nomoto 1. rz

ę

du

δ

ψ

ψ

⋅

=

+

K

T

&

&

&

)

1

(

)

(

)

(

s

T

s

K

s

s

⋅

+

⋅

=

δ

ψ

3

2

1

T

T

T

T

−

+

=

13

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

25

p

s

p

s

p

0

1

3

2

p

0

p

0

od

regulatora

od

regulatora

prawa burta

lewa burta

suwak steruj

ą

cy

suwak odcinaj

ą

cy

siłownik

ster

2.3. Maszyna sterowa

2.3. Maszyna sterowa

Schemat działania maszyny sterowej

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

26

Schemat blokowy układu sterowania poło

ż

enia steru

suwak steruj

ą

cy

serwomotor

algorytm

sterowania

)

1

(

s

T

s

K

R

R

⋅

+

⋅

)

1

(

s

T

s

K

S

S

⋅

+

⋅

przetwornik

połozenie

liniowe / k

ą

towe

δ

c

+

-

+

-

δ

człon kształtuj

ą

cy sygnału

steruj

ą

cego

suwak steruj

ą

cy:

człon proporcjonalny

0

≈

S

T

.

max

δ

&

.

max

δ

c

δ

δ

&

s

K

S

δ

-

+

od regulatora

kursu

ogranicznik

poło

ż

enia steru

ogranicznik przesterowania

pr

ę

dko

ś

ci steru

Uproszczony schemat blokowy maszyny sterowej

s

s

.

deg

7

.

deg

3

1

2

;

.

deg

35

max

max

<

<

=

δ

δ

&

s

L

v

.

deg

,

9

,

132

min

=

δ

&

s

t

30

35

≤

s

.

deg

20

15

÷

≡

δ

&

wymaganie TK

ograniczenia

w zale

ż

no

ś

ci od

parametrów statku

nowe szybkie statki

14

Podstawy automatyzacji okrętu

2. Model matematyczny

27

PRS:

PRS:

Urz

ą

dzenie sterowe przy nap

ę

dzie główn

ą

maszyn

ą

sterow

ą

powinno zapewni

ć

przeło

ż

enie steru lub dyszy

obrotowej z wychylenia

35°

na jedn

ą

burt

ę

do wychylenia

35°

na drug

ą

burt

ę

, gdy statek jest zanurzony do letniej

wodnicy ładunkowej i porusza si

ę

naprzód z maksymaln

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

eksploatacyjn

ą

, oraz zapewni

ć

w tych samych

warunkach mo

ż

liwo

ść

przeło

ż

enia steru lub dyszy

obrotowej z wychylenia

35°

na jedn

ą

burt

ę

do wychylenia

30°

na drug

ą

burt

ę

w czasie nie przekraczaj

ą

cym

28 s

przy

działaniu na trzon sterowy znamionowym momentem

obrotowym maszyny.