METODY PROBABILISTYCZNE

METODY PROBABILISTYCZNE

zbiór materiałów do kolokwium nr 1

Aktualizacja: 18.11.2008

Przykładowe zestawy

1)

Podaj definicje próbki losowej prostej?

2)

Jakie znasz miary wartość centralnych zmiennej losowej?

3)

Podaj definicje mediany.

4)

Podaj definicje kwantyla.

5)

Omów test Kołomorowa-Smirnowa.

6)

Co to jest przedział ufności.

7)

Jaki parametr definiuje asymetrie rozkładu i jakie istnieją rozkłady asymetrii?

8)

Jakie znasz rozkłady testowe? Wymień nazwy i podaj zależności miedzy kwantylem, a wartością krytyczna dla rozkładu



2

.

9)

Podaj wzór na dystrybuantę rozkładu Weibulla i zdefiniuj jego parametry.

10) Podaj wzór na odchylenie standardowe skorygowane i nieskorygowane.

1)

Jakie znasz wzory na prawdopodobieństwo empiryczne (z próby)?

2)

Zdefiniuj pojęcie współczynnika zmienności.

3)

Czemu się równa wartość oczekiwana i wariancja rozkładu Poissona?

4)

Zdefiniuj parametry rozkładu normalnego.

5)

Podaj wzór na dystrybuantę rozkładu potęgowego.

6)

Czemu się równa wartość oczekiwana rozkładu t-Studenta?

7)

Ile siatek funkcyjnych ma rozkład Weibulla i jak się nazywają?

8)

Omów test Kołomorowa-Smirnowa.

9)

Podaj zależność pomiędzy współczynnikiem dopasowania i współczynnikiem korelacji.

10) Omów pojecie mieszanina rozkładów.

1)

Zdefiniuj pojecie i podaj przykład kumulacyjnego.

2)

Podaj zależność na k-ty moment centralny zmiennej losowej ciągłej. Jak się nazywa drugi moment centralny?

3)

Podaj wzór na standaryzacje zmiennej losowej i podaj właściwości zmiennej standaryzowanej.

4)

Co to jest wektor losowy?

5)

Ze zbioru wyrobów o dużej liczebności i wadliwości w=10% losowano po jednej sztuce i badano. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że dla trafienia na sztukę niedobra trzeba zbadać 3 sztuki?

6)

W jakim zakresie parametrów kształtu rozkład Weibulla jest pseudo symetryczny i podobny do rozkładu normalnego?

7)

Napisz słowami co oznacza X ^l k,m.

8)

Podaj definicje przedziału ufności.

9)

Omów test zgodności



2

.

10) Jakie znasz metody kontroli obliczeń statystycznych?

1)

Co to jest populacja generalna?

2)

Jakie znasz wzory na oszacowanie prawdopodobieństwa z próby?

3)

Podaj definicje i właściwości dystrybuanty.

4)

Co to jest moda?

5)

Co to jest współczynnik zmienności.

6)

Podaj definicje i właściwości kowariancji.

7)

Zdefiniuj parametry rozkładu Weibulla.

8)

Opisz graficzna metodę szacowania parametrów rozkładu.

9)

Omów test zgodności



2

.

10) Do czego służy i jak jest realizowany test serii?

1)

Na czym polega metoda analizy statystycznej zwana metoda dystrybuanty empirycznej

2)

Zdefiniuj pojecie wariancji:

3)

Podaj dziedzinę współczynnika korelacji:

4)

Narysuj wykres funkcji gęstości rozkładu równomiernego

5)

Obszar ufności.

6)

Test zgodności.

7)

Czym się różni test



2

od testu Kołmogomorowa-Smirnowa?

8)

Jaki test można zastosować do oceny niezależności uzyskanych wyników badan statystycznych?

9)

Podaj dowolna wartość testowa do testu błędów grubych.

10) Podaj warunek konieczny i wystarczający niezależności dwóch zdarzeń losowych?

Podaj definicję próbki losowej prostej.

Próbką losowa normalna nazywamy podzbiór stanowiący część populacji generalnej poddanej badaniu statystycznemu, na
podstawie którego wnioskuje się o populacji generalnej, przy czym wszystkie elementy populacji generalnej maja taka samą
szansę trafienia do próbki.

Jakie znasz miary wartości centralnych zmiennej losowej?

Średnie: arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna, kwadratowa, a także mediana i moda.

Podaj definicje mediany.

Medianą nazywamy wartość cechy w szeregu uporządkowanym poniżej i powyżej której znajduje się jednakowa liczba
obserwacji. Aby obliczyć medianę sortujemy dany zbiór w kolejności rosnącej i numerujemy od 1 do n. Jeżeli n jest

nieparzyste medianą jest wartość obserwacji w środku

n
2

, jeśli zaś n jest parzyste medianą jest średnia arytmetyczną

między dwoma środkowymi obiektami obserwacji



n
2





n
2



1





.

Podaj definicje kwantyla.

Kwantylem rzędu p, gdzie

0 p1

w rozkładzie empirycznym

P

x

zmiennej losowej X nazywamy każdą liczbę x

p

dla

której spełnione są zależności: P

x





−∞

, x

p

]



p oraz P

x



x

p

,∞1− p .

W szczególności, kwantylem rzędu p jest taka wartość zmiennej x

p

, że wartości mniejsze lub równe x

p

są przyjmowane

z prawdo podobieństwem co najmniej p, zaś wartości większe lub równe x

p

są przyjmowane z prawdopodobieństwem co

najmniej 1− p .

Jaki parametr definiuje asymetrie rozkładu i jakie istnieją rodzaje asymetrii?

Asymetrię rozkładu definiuję parametr zwany współczynnikiem asymetrii lub współczynnikiem skośności, którego wzór

brzmi:

=



3



2

3 / 2

=



3



x

3

Gdzie, 

3

jest trzecim momentem centralnym, a



3

jest odchyleniem średnim zmiennej losowej

X

.

Jeśli 0 to rozkład ma asymetrię ujemną, jeśli =0 to rozkład jest symetryczny, jeśli zaś 0 to rozkład ma
asymetrię dodatnią.
Oszacowanie współczynnika można również otrzymać w oparciu o wynik badania próbki losowej korzystając ze wzoru:



=

n⋅

∑

i

[

x

i

−

X ]

3



n−1⋅n−2⋅S

3

Podaj wzór na dystrybuantę rozkładu Weibulla i zdefiniuj parametry tego rozkładu.

Dystrybuanta rozkładu Weibulla jest postaci:

F  x=

{

0

dla x≤X

0

1−exp

[

−



x− X

0

X

m

−

X

0



k

]

dla xX

0

}

Gdzie, X

0

jest parametrem przesunięcia wyrażanym w jednostkach zmiennej losowej,

X

m

, F  X

m

=

1−e

1

=

0,6322

jest parametrem skali wyrażonym w jednostkach zmiennej losowej,

k jest bezwymiarowym parametrem kształtu.

Jakie znasz rozkłady testowe - wymień nazwy i podaj zależność miedzy kwantylem, a wartością krytyczna dla rozkładu



2

(ksi kwadrat)?

Rozkłady testowe:



2

, t-studenta, Fischera-Snedecora,.

Zależność między kwantylem a wartością krytyczną dla rozkładu



2

:

Kwantyl



2

rzędu

1−

jest równy wartości krytycznej rzędu  .

Podaj wzór na odchylenie standardowe skorygowane i nie skorygowane.

Odchylenie standardowe skorygowane

S =



∑

i=1

n



z

i

−

z

n−1

Gdzie z

i

– wartość pomiaru.

Odchylenie standardowe nie skorygowane

S =



∑

i=1

n



z

i

−

z

n

Co to jest przedział ufności i obszar ufności?

Przedziałem ufności −

1,



2



, gdzie  jest nieznanym parametrem rozkładu, o współczynniku ufności

1− , nazywamy taki przedział −

1,



2



, który spełnia warunek:

P 

1



2

=

1− , gdzie 

1

i 

2

są funkcjami wyznaczonymi na podstawie próby losowej.

Obszarem ufności nazywamy obszar zawarty między krzywymi ufności dla regresji na poziomie

1−

.

Omów test Kołmogorowa - Smirnowa

Test Kołomogorowa – Smirnowa jest najprostszym testem wiarygodności znakomicie nadającym się do szybkich obliczeń
inżynierskich w połączeniu z graficzną metodą opracowania wyników. Test ten stosuje się, gdy:
- zmienna losowa jest ciągła,
- liczba zaobserwowanych realizacji zmiennej losowej jest mniejsza od 10,
- wartości parametrów rozkładu są dane, a nie szacowane z wyników obliczeń.

W przypadku oszacowań graficznych gdzie dystrybuanta aproksymowana jest równaniem prostej, można badając odchylenia
punktów eksperymentalnych od prostej, obejść warunek dotyczący znajomości parametrów rozkładu.

Aby stosować test Kołmogorowa-Smirnowa oblicza się wartość statystyki:

dn=max

1≤i≤n

∣ 

F  x

i

−

F  x

i

∣

gdzie F  x

i



wartość dystrybuanty empirycznej dla wartości zmiennej losowej

x

i

,

F  x

i



wartość dystrybuanty

teoretycznej hipotetycznego rozkładu, odczytana z równania prostej dla wartości zmiennej losowej

x

i

.

Hipotezę zgodności rozkładu empirycznego z hipotetycznym rozkładem teoretycznym należy odrzucić, gdy spełniona jest
nierówność: dnDn  , gdzie

Dn

jest jest wartością krytyczną dla rozkładu Kolmogorowa-Smirnowa odczytaną z

tablic dla danego poziomu ufności



.

Jakie znasz wzory na prawdopodobieństwo empiryczne (z próby)?

P  A=∣A∣/∣∣ ,

P  A∣B=

P  A∪B

P  B

,

P  A=P  A∣B

1

⋅

P B

1



P  A∣B

2

⋅

P  B

2

⋯

P  A∣B

n

⋅

P  B

n





n

k



⋅

p

k

⋅

q

n−k

pq=1

Zdefiniuj pojecie współczynnika zmienności.

Współczynnikiem zmienności nazywamy klasyczną miarę zróżnicowania rozkładu cechy. W odróżnieniu od odchylenia
standardowego, które określa bezwzględne zróżnicowanie cechy, współczynnik zmienności jest miarą względną, czyli zależną
od średniej arytmetycznej.
Współczynnik ten definiowany jest wzorem:

V =

s

x

śr

, gdzie s - odchylenie standardowe, x

śr

- średnia arytmetyczna.

Czemu się równa wartość oczekiwana i wariancja rozkładu Poissona?

Wartość oczekiwana i wariancja rozkładu Poissona są sobie równie i równe jest jednemu parametrowi  :

E Z =V  Z = .

Zdefiniuj parametry rozkładu normalnego.

Parametrami rozkładu normalnego(Gaussa) są:
μ jest środkiem rozrzutu, który dla rozkładu normalnego pokrywa się z średnią, medianą i modą,
σ –odchylenie standardowe – jest miara rozrzutu zmiennej losowej.

Podaj wzór na dystrybuantę rozkładu potęgowego

F t=

{

0

t≤0



t

c





dla 0tc

1

t≥c

}

gdzie c0 to parametr skali, a 0 to parametr kształtu rozkładu.

Czemu się równa wartość oczekiwana rozkładu t-Studenta?

Wartość oczekiwana rozkładu t-Studenta równa jest zeru.

E T

k

=

0

Zdefiniuj pojecie i podaj przykład szeregu kumulacyjnego.

Szereg, w którym każdej wartości szeregu uporządkowanego przyporządkowuje się sumy częstości odpowiadające wszystkim
wartościom zmiennej losowej nie większym od danej wartości.

Podaj zależność na k-ty moment centralny zmiennej losowej ciągłej. Jak się nazywa drugi moment centralny?

Momentem centralnym zmiennej losowej X rzędu k nazywamy wartość

c

k

⋅

X =E  X − EX 

k

, o ile istnieją EX i

E  X −EX 

k

.

Moment centralny drugiego rzędu nazywamy wariancją i oznaczamy V ar X albo

D

2

⋅

X

.

Pierwiastek z wariancji nazywamy średnim odchyleniem standardowym, oznaczamy 

x

=





V ar X 

Podaj wzór na standaryzacje zmiennej losowej i podaj właściwości zmiennej standaryzowanej.

Y =

X −E  X 



x

nazywa się standaryzowaną zmienną losową. Właściwości standaryzowanej zmiennej losowej są

następujące: wartość oczekiwana jest równa

E Y =0

; wariancja jest równa

V Y =1

;

momenty zwykłe i centralne zmiennej Y są sobie równe; k-ty moment zmiennej Y jest równy ilorazowi k-tego momentu

centralnego zmiennej X przez odchylenie średnie

σ

x

w potędze k-tej:

m

k



Y =

k



Y =



k



X 



x

k

znając dystrybuantę zmiennej Y można wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X z zależności P  X x=P



Y 

x−E  X 



x



Co to jest wektor losowy?

Układ dwóch zmiennych losowych X i Y nazywa się wektorem losowym



X ,Y 

.

Wektor losowy ma następujące rodzaje momentów:
Momentem rzędu k l wektora losowego



X ,Y 

oznaczonym jako m

kl

nazywamy wartość oczekiwaną funkcji

X

k

⋅

Y

l

, czyli

m

kl

=

E  X

k

⋅

Y

l



.

Momentem centralnym wektora losowego (X, Y) rzędu k +l, oznaczonym

µ

kl

nazywamy wartość oczekiwaną funkcji

[

X −E  X ]

k

⋅[

Y −E Y ]

l

, czyli 

kl

=

E {[ X −E  X ]

k

⋅[

Y −E Y ]

l

}=

E [ X −m

10



k

⋅

Y −m

01



l

]

Momenty centralne rzędu pierwszego 

10

oraz 

01

są równe 0. Momenty centralne rzędu drugiego są trzy:

-wariancje zmiennych losowych X i Y:

oraz mieszany drugi moment centralny 

11

=

E [ X −m

10

⋅

Y −m

01

]=

cov X , Y 



20

=

E  X −m

10



2

=

V  X 



02

=

E Y −m

01



2

=

V Y 

W jakim zakresie parametrów kształtu rozkład Weibulla jest pseudo symetryczny i podobny do rozkładu normalnego.

Przedział 3.2k 3.7 . W tym przedziale jest podobny do normalnego.

Napisz słowami co oznacza 

2

(ksi kwadrat), k,



.



2

- test zgodności, k - współczynnik kształtu,



- poziom istotności.

Podaj definicje przedziału ufności.

Przedziałem ufności dla parametru

υ

nazywa się przedział liczbowy (a, b) - gdzie a i b są zmiennymi losowymi - który

pokrywa prawdziwą wartość parametru

υ

z określonym prawdopodobieństwem

β

zwanym poziomem ufności.

Przedział ufności może być jednostronny lub dwustronny.

Omów test zgodności 

2

(omega kwadrat).

Test ten opiera się na bezpośrednio zaobserwowanych, niegrupowanych wartościach analizowanej zmiennej losowej, a więc
nadaje się znakomicie do wyników opracowywanych metodą dystrybuanty empirycznej.
Może być stosowany dla: metody graficznej i dystrybuanty empirycznej; zmiennej losowej ciągłej; próbki losowej pełnej;
liczby realizacji zmiennej losowej n≥10

Podstawą testu jest statystyka

n

n

2

=

1

12⋅n



∑

i=1

n

[

F  x

i

−

F  x

i

]

2

Jeżeli jest spełniona nierówność

n 

n

2



n 



2

to hipotezę o zgodności rozkładu empirycznego z hipotetycznym rozkładem

teoretycznym należy odrzucić.

Test

ω

2

jest oparty na podobnej statystyce jak test Kołmogorowa-Smirnowa. Jest to jednak test o większej mocy.

Jakie znasz metody kontroli obliczeń statystycznych?

Testy zgodności: Kołmogorowa-Smirnowa, 

2

, w

2

, 

2

, serii.

Ile siatek funkcyjnych ma rozkład Weibulla i jak się one nazywają?

Rozkład ten ma dwie siatki: uniwersalną oraz siatkę o ustalonym współczynniku – parametrze kształtu k.

Podaj zależności pomiędzy współczynnikiem dopasowania i współczynnikiem korelacji.

Współczynnik dopełnienia jest kwadratem współczynnika korelacji.

Ze zbioru wyrobów o dużej ilości i wadliwości = 10% losowano po jednej sztuce i badano. Jakie jest
prawdopodobieństwo, ze dla trafienia na sztukę niedobra trzeba zbadać 3 sztuki?

Odpowiedź daje rozkład geometryczny P  X =3, w=0.1=0.11−0.1

3−1

=

0.081

Napisz słowami co oznacza



k , 

2

.



k , 

2

to kwantyl statystyki 

2

rzędu o  ok stopniach swobody

Zdefiniuj mieszaninę rozkładów

Rozkład o dystrybuancie

F  x= p

1

⋅

F

1



x p

2

⋅

F

2



x

, nazywa się mieszaniną rozkładów o dystrybuantach

F

1



x

,

F

2



x zaś

p

1

, p

2

to udziały rozkładów składowych w mieszaninie.

Co to jest siatka funkcyjna?

Siatka specyficzna dla każdego rozkładu statystycznego, w którym dystrybuanta jest linią prostą.

Jaki związek mają ze sobą dystrybuanta i funkcja gęstości?

Gęstość prawdopodobieństwa jest pochodną dystrybuanty, a dystrybuanta jest całką z gęstości prawdopodobieństwa.

Do czego służy test serii?

Liczba uzyskanych serii pomiarowych może być miarą losowości badanego zjawiska lub inaczej może być miarą niezależności
poszczególnych doświadczeń. Zbyt mała liczba serii świadczy o zakłóceniu losowości badanego zjawiska lub świadczy o tym,
że poszczególne obserwacje wpływają na siebie, czyli nie są niezależne.

Jaki jest związek między rozkładem normalnym a logarytmo-normalnym?

Jeśli w centralnym twierdzeniu granicznym zamiast o sumie niezależnych czynników losowych będziemy mówić o o ich
iloczynie to zamiast rozkładu normalnego otrzymamy rozkład logarytmo-normalny. Wykresy gęstości prawdopodobieństwa i
dystrybuanty rozkładu logarytmo-normalnego są w skali logarytmicznej identyczne jak dla rozkładu normalnego. Jeśli X ma
rozkład logarytmo-normalny, to ln  X  ma rozkład normalny.

Test

w

2

Stosowany gdy do opracowania wyników stosuje się dystrybuantę empiryczną. W przypadku badania zmiennej losowej ciągłej
przy liczbie realizacji n≥10 i próbie pełnej.

Podstawą testu jest statystyka: w

n

2

=−

n−2

∑

i=1

n

{



2⋅

∑

i

n

i

−

1ln F  x

i



[

2



n−

∑

i

n

i





1

]

ln [1−F  x

i

]

}

.

jeśli spełniona jest nierówność

w

o

2

≥

w



2

to na poziomie istotności



należy hipotezę o zgodności rozkładu teoretycznego

z empirycznym odrzucić. Test

w

n

2

ma moc porównywaną z mocą testu 

2

.

Test



2

Test ten jest addytywny i należy go stosować w wypadku opracowywania wyników metodą histogramu. Wymaga spełnienia
warunków co do podziału na klasy i liczności realizacji w klasach. W związku z tym otrzymane wyniki mogą być
subiektywne. Mimo zwiększenia ryzyka odrzucenia hipotezy prawdziwej stosuje się go w metodzie dystrybuanty empirycznej.

Podstawą testu jest wówczas statystyka:



2

=

∑

i=1

n



∑

i

n

i

−

nF  x

i





2

nF  x

i

[

1−F  x

i

]

.

Hipotezę o zgodności rozkładu empirycznego z hipotetycznym rozkładem teoretycznym należy odrzucić jeśli jest spełniona
nierówność



2

≥

N −r −1. 

2

gdzie 

N−r −1. 

2

to wartość krytyczna rozkładu



2

o N −r −1 stopniach swobody rzędu



, r to liczba szacowanych parametrów rozkładu, N to liczba różnych wartości zmiennej losowej.

Definicja próbki losowej.

Jest to próbka pobrana w taki sposób, że wszystkie elementy populacji generalnej mają jednakową szansę na trafienie do niej.

Parametry określające miarę wartości centralnej.

Mediana, moda, wartość oczekiwana (średnia).

Rozkład multiplikatywny.

Jeśli mówimy o iloczynie zmiennych losowych, a nie o sumie, to rozkład jest multiplikatywny, a nie addytywny.
Patrz np. rozkład logarytmo-normalany.

Rozkład Fishera-Snedecora

Jeśli

x

1

i x

2

są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie 

2

odpowiednio z k

1

i k

2

stopniami swobody

to zmienna losowa (statystyka) równa jest:

F =

x

1

k

1

x

2

k

2

Funkcja prawdopodobieństwa

p x

1

=

P  X =x

i



określa prawdopodobieństwo zdarzenia

X = x

i

dla każdej możliwej wartości

x

i

∈

i=1,2 ,3 ,... , n

danej zmiennej losowej

X

. Znając funkcję prawdopodobieństwa można wyznaczyć dystrybuantę:

F  x=P  X  x=

∑

xi p

p x

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Dla zmiennej losowej X ciągłej zakłada się, że jej dystrybuanta

F  x

jest różniczkowalna w całym obszarze możliwych

wartości tej zmiennej losowej. Istnieje wówczas nieujemna funkcja f  x=



dF  x

dx





0 nazywana funkcją gęstości

prawdopodobieństwa. Wartość f  x⋅dx określa prawdopodobieństwo zdarzenia iż zmienna losowa znajdzie się w
przedziale x≤X xdx i nazywa się ją elementem prawdopodobieństwa.

Podać wzór na zmienną standaryzowaną i jej właściwości

Standaryzowana zmienna losowa: Y =

X −E  X 



x

Właściwości:

•

Wartość oczekiwana E Y =0 , wariancja V Y =1

•

momenty zwykłe i centralne zmiennej Y są sobie równe

•

k-ty moment zmiennej Y jest równy ilorazowi k-tego momentu centralnego zmiennej X przez odchylenie

średnie 

x

w potędze k-tej: m

k



Y =

k



Y =



k



X 



x

k

•

znając dystrybuantę zmiennej

Y

można wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X z zależności

P  X x=P



Y 

x−E  X 



x



Podaj zależność pomiędzy współczynnikiem dopasowania i współczynnikiem korelacji

Kwadrat współczynnika korelacji

r

jest współczynnikiem dopasowania

r

2

.