Zasada prac przygotowanych

Siła uogólniona – siła skupiona, siła rozłożona na powierzchni, rozłożona liniowo,
moment

Przemieszczenie uogólnione – przemieszczenie odpowiadające sile uogólnionej

Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu materialnego
jest aby algebraiczna suma prac przygotowanych sił zewnętrznych i
wewnętrznych była równa zeru.

P

A

u

A

u

M

s



Układy liniowo-sprężyste Układy Clapeyrona

Układ rzeczywisty można uważać za liniowo-sprężysty jeżeli:

-Materiał jest liniowo-sprężysty,

- układ jest w równowadze,

- tarcie jest pomijalnie małe,

- przemieszczenia są na tyle małe, że nie wpływają na skutki działania tych sił.

u

1

P

1

u

2

P

2

u=

1

P

1

+ 

2

P

2

+…….



n

P

n

Energia sprężysta układów Clapeyrona

P

1

u

1

V

u

P

L

i

n

i

i







1

2

1

Energia sprężysta pręta rozciąganego (ściskanego)

E,A,l

P

EA

l

P

l

P

V

2

2

1

2









EA

N

dx

dV

2

2







l

2

dx

EA

N

2

1

V

Energia sprężysta pręta rozciąganego (ściskanego)







n

i

i

i

i

i

A

E

l

N

V

1

2

2

Energia sprężysta przy zginaniu









n

i

l

i

i

gi

g

i

EI

dx

M

V

EI

M

dx

dV

1

2

2

)

(

2

;

2

Energia sprężysta przy skręcaniu









n

i

l

i

i

si

s

i

GI

dx

M

V

GI

M

dx

dV

1

0

2

0

2

)

(

2

;

2

;

2

2

GA

T

dx

dV





Energia sprężysta przy ścinaniu

- współczynnik zależny od kształtu przekroju
poprzecznego

Twierdzenie o wzajemności prac i przemieszczeń – twierdzenie Betty’ego

u

1

P

1

u

2

P

2

u

11

P

1

u

21

u

12

u

22

P

2

21

2

12

1

u

P

u

P



Suma prac sił układu pierwszego na odpowiadających im przemieszczeniach wywołanych
siłami układu drugiego równa jest sumie prac sił układu drugiego na odpowiadających im
przemieszczeniach wywołanych siłami układu pierwszego.

Twierdzenie Castigliano

Pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu względem siły uogólnionej
równa jest przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile.

i

i

u

P

V







Przykład

u=
f

P



Dane: P, l, EI

Szukane: f, 

?

;











P

V

f

u=
f

P



0





















d

M

d

M

V



Wprowadzamy uogólnioną siłę dodatkową równą 0

M

d

=0

x

d

g

M

Px

x

M

P

x

T

l

x













)

(

;

)

(

0











l

g

EI

dx

x

M

GA

l

T

V

l

x

0

2

2

2

)

(

2

0



=0

x

dP

x

dM

dx

dP

x

dM

x

M

EI

P

V

f

g

l

g

g















)

(

;

)

(

)

(

1

0

EI

Pl

dx

x

Px

EI

f

l

3

)

)(

(

1

3

0











0

9

0

)

(

)

(

1







































d

d

M

d

g

l

g

M

d

dx

dM

x

dM

x

M

EI

M

V



;

1

)

(





d

g

dM

x

dM

EI

Pl

dx

M

Px

EI

d

M

l

d

2

)

1

(

)

(

1

2

0

0





























Twierdzenie Menabrea

0







i

R

V

W układzie liniowo sprężystym sztywnie podpartym pochodna cząstkowa
energii sprężystej całego układu względem wielkości podporowej statycznie
niewyznaczalnej jest równa zeru. Zasada minimum energii.

Przykład

l, EI

q

R

B

l, EI

q

R

A

M

A

R

B

l, EI

q

R

A

M

A

Równania równowagi

;

0

5

,

0

;

0

;

0

2























ql

l

R

M

M

R

R

F

F

A

A

iB

B

A

iy

ix

0







A

M

V

Twierdzenie Menabrea

;

5

,

0

)

(

;

)

(

0

2

qx

x

R

M

x

M

qx

R

x

T

l

x

A

A

g

A

























l

g

EI

dx

x

M

GA

l

T

V

l

x

0

2

2

2

)

(

2

0



0

)

(

)

(

1

0











dx

dM

x

dM

x

M

EI

M

V

l

A

g

g

A

l

M

ql

R

A

A



 5

,

0

;

1

)

(

;

5

,

0

5

,

0

)

(

2

l

x

dM

x

dM

qx

l

x

M

qlx

M

x

M

A

g

A

A

g













;

8

1

2

ql

M

A





;

8

1

2

ql

M

A





Z równań równowagi

;

8

3

;

8

5

ql

R

ql

R

B

A





Układy zamknięte – wyznaczanie sił wewnętrznych

P

P