Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 4
UKA
ADY CRAMERA - lista zadań
1. Znalez
ć macierz X speÅ‚niajÄ…cÄ… równanie: AX =ð B , jeżeli
0 1 2 3 -ð1 1 1 0 1 1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð1 Ä™ð2Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð1
a) A =ð 0 1Å›ð , B =ð , b) A =ð 2 3 , B =ð 0 1Å›ð .
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð-ð1 Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
2 -ð3 -ð3ûð ëð1 1 2ûð
ëð1 2 1ûð Ä™ð ûð ëð
ëð4Å›ð
2. Znalez
ć macierz X spełniającą równanie macierzowe:
T
5 2 -ð1 2 2 1 3 2 -ð1 2 1 -ð3
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
a) =ð , b) X =ð ,
Ä™ð7 3Å›ð X +ð Ä™ð Ä™ð4 3Å›ð +ð 3×ð Ä™ð Ä™ð2 4 Å›ð
3 1Å›ð Ä™ð3 2Å›ð
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð-ð2 3Å›ð ëð ûð
ûð
1 2 3 -ð2 2 1 2 -ð2 2 1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
c) d) X +ð X =ð
Ä™ð2 3Å›ð X Ä™ð4 -ð3Å›ð =ð Ä™ð0 3Å›ð , Ä™ð Å›ð Ä™ð3 2Å›ð .
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð-ð2 0 ûð ëð ûð
3. Rozwiązać metodą wyznacznikową układy równań:
x +ð y +ð 2z =ð 5, x1 -ð x2 +ð 2x3 =ð 1, 3x -ð 4y +ð 5z =ð 2,
ìð ìð ìð
3x +ð 2y =ð 8,
ìð
ïðx -ð y -ð z =ð -ð1, c) ïð2x +ð x2 -ð x3 =ð 3, d) ïð2x -ð 3y +ð z =ð 1, .
a)
íðx -ð 3y =ð -ð1. b) íð íð íð
1
îð
ïð2x +ð y -ð z =ð 0. ïð3x -ð x2 +ð x3 =ð 2. ïð3x -ð 5y -ð z =ð 0.
îð îð 1 îð
4. Rozwiązać metodą macierzową następujące układy równań:
x1 +ð 3x2 +ð 2x3 =ð1, x1 -ð x2 +ð 2x3 =ð 1,
ìð ìð
2x1 +ð 5x2 =ð 3, x +ð 2y =ð 7,
ìð ìð
ïð ïð
a) , b) c) +ð 5x2 -ð x3 =ð 3, d) +ð x2 -ð x3 =ð 3,
íð íð íð2x íð2x
1 1
+ð 3x2 =ð -ð1.
îðx1 îð2x +ð 3y =ð11. ïð3x +ð 8x2 +ð 2x3 =ð 2.
ïð3x -ð x2 +ð x3 =ð 2.
îð 1 îð 1
5. Wykazać, że podany niżej układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:
x1 +ð 2x2 +ð 2x3 +ð ... +ð 2xn =ð 0,
ìð
ïð2x +ð x2 +ð 2x3 +ð ... +ð 2xn =ð 0,
ïð
1
íð
ïð..............................................
ïð2x1 +ð 2x2 +ð 2x3 +ð ... +ð xn =ð 0.
îð
6. Rozwiązać podany układ równań macierzowych:
ìð 1 1
éð Å‚ð
ïðX +ð Y =ð ,
Ä™ð0 1Å›ð
ïð ëð ûð
íð
ïð2X +ð 3Y =ð éð1 0Å‚ð.
Ä™ð0 1Å›ð
ïð
ëð ûð
îð
Układy Cramera  lista zadań
2
Odpowiedzi
1 3 1
éð Å‚ð
Ä™ð-ð Å›ð
2 4 4
1 -ð3 0 1 -ð1 -ð4 -ð5
éð Å‚ð éð Å‚ð éðÅ‚ð
Ä™ð Å›ð
1 1
Ä™ð1Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð
Ä™ð Å›ð
1. X =ð A-ð1B , a) A-ð1 =ð 0 -ð , X =ð , b) A-ð1 =ð -ð1 -ð2 , X =ð -ð5 -ð8Å›ð .
Ä™ð Å›ð Ä™ð-ð3 Å›ð Ä™ð-ð3 Å›ð
Ä™ð Å›ð
2 2
Ä™ð Ä™ð Å›ð Ä™ðÅ›ð
Ä™ð Å›ð 1 1 1 2 2 4
ëð1Å›ð ëð ûð ëðûð
ûð
1 1 1
Ä™ð Å›ð
-ð
Ä™ð Å›ð
2 4 4ûð
ëð
9 -ð5 28 -ð20 -ð6 3 -ð8 -ð5
éðÅ‚ð éðÅ‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
2. a) X =ð , b) X =ð , d) X =ð .
Ä™ð Ä™ð29 -ð21Å›ð , c) X =ð Ä™ð Ä™ð
8 -ð5Å›ð
ëð-ð21 12Å›ð ëðûð ëð ûð ëð-ð13 -ð8Å›ð
ûð ûð
x =ð1,
ìð
x =ð1,
ìð
ïðy
3. a) W =ð-ð11, Wx =ð-ð11, Wy =ð-ð22 , b) W =ð 7, Wx =ð 7, Wy =ð 0, Wz =ð14 , =ð 0,
íð íð
y =ð 2.
îð
ïðz =ð 2.
îð
x1 =ð1, x =ð13,
ìð ìð
ïðx ïðy
c) W =ð-ð5, W1 =ð-ð5, W2 =ð-ð10, W3 =ð-ð5 , =ð 2, d) W =ð -ð1, Wx =ð -ð13, Wy =ð -ð8, Wz =ð1 , =ð 8,
íð íð
2
ïðx =ð1. ïð
îð 3 îðz =ð -ð1.
3 2
éð Å‚ð
Ä™ð11 11 Å›ð
3 -ð5 x1 =ð14, x =ð 2,
éð Å‚ð ìð ìð
4. a) A-ð1 =ð ,
íðx =ð-ð5. b) A-ð1 =ð Ä™ð 1 3 Å›ð , íðy =ð1.
Ä™ð Å›ð
ëð-ð1 2 ûð 2 Ä™ð Å›ð îð
îð
Ä™ð11 -ð Å›ð
ëð 11ûð
-ð18 -ð10 13 x1 =ð-ð22, 0 0,2 0, 2 x1 =ð1,
éðÅ‚ð ìð éð Å‚ð ìð
ïðx ïðx
Ä™ðÅ›ð Ä™ð1 Å›ð
c) A-ð1 =ð 7 4 -ð5 , =ð 9, d) A-ð1 =ð 1 -ð1 , =ð 2,
íð íð
2 2
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
ïðx =ð-ð2. ïðx =ð1.
Ä™ðÅ›ð Ä™ð
-ð1 -ð1 1
ëðûð 3 ëð1 0,4 -ð0,6Å›ð 3
îð ûð îð
5. Wsk. Wystarczy pokazać, że wyznacznik główny układu jest liczbą nieparzystą, a w konsekwencji
różny od zera.
2 3 -ð1 -ð2
éð Å‚ð éð Å‚ð
6. X =ð , Y =ð .
Ä™ð0 2Å›ð Ä™ð
0 -ð1Å›ð
ëð ûð ëð ûð
2