Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 5
METODA GAUSSA  JORDANA - lista zadań
1. Wyznaczyć ( jeżeli istnieją ) rozwiązania układów równań sprowadzając ich macierze
do postaci kanonicznej ( bazowej ).
x1 -ð 2x2 +ð 3x3 =ð1, x1 +ð 2x2 +ð 4x3 -ð x4 =ð 3, x1 +ð 2x2 -ð x3 =ð -ð1,
ìð ìð ìð
ïðx -ð x2 -ð 2x3 =ð 3, b) ïð3x +ð 5x2 +ð 2x3 +ð 5x4 =ð 2, c) ïð3x +ð 5x2 +ð 2x3 =ð 0,
a)
íð íð íð
1 1 1
ïð3x -ð 5x2 +ð 4x3 =ð 2 ïð7x +ð12x2 +ð 8x3 +ð 9x4 =ð1. ïð7x +ð12x2 +ð 4x3 =ð1.
îð 1 îð 1 îð 1
x1 +ð 2x2 -ð 3x3 =ð1, x1 -ð 3x2 -ð x3 +ð 9x4 =ð 3,
ìð ìð
x1 +ð x2 -ð 3x3 =ð 2,
ìð
ïð2x ïð3x
d) e) +ð 3x2 -ð x3 =ð 0, f) -ð x2 +ð 2x3 +ð 5x4 =ð 2,
íð íð íð
1 1
+ð 2x2 -ð x3 =ð 1.
îðx1
ïð5x +ð 8x2 -ð 5x3 =ð1, ïð2x +ð 2x2 +ð 3x3 -ð 4x4 =ð1.
îð 1 îð 1
x1 +ð x2 +ð x3 -ð x4 =ð1, x1 -ð 5x2 +ð x3 -ð 3x4 +ð x5 =ð 0,
ìð ìð
ïð5x ïðx
g) +ð 4x2 -ð x3 +ð x4 =ð1, h) -ð 4x2 +ð 2x3 +ð 5x4 -ð x5 =ð 0,
íð íð
1 1
ïð4x +ð 3x2 -ð 2x3 +ð 2x4 =ð 0. ïð3x -ð13x2 +ð 5x3 +ð 7x4 -ð x5 =ð 0.
îð 1 îð 1
Odpowiedzi
1. W odpowiedzi podano postać bazową (kanoniczną) macierzy rozszerzonej układu równań
i ewentualne rozwiÄ…zanie.
éð1 0 -ð7 5 Å‚ð éð Å‚ð
1 0 -ð16 15 -ð11
Ä™ð0 Å›ð Ä™ð0 Å›ð
a) 1 -ð5 2 , ukÅ‚ad sprzeczny, b) 1 10 -ð8 7 , ukÅ‚ad sprzeczny,
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð0 0 0 -ð3Å›ð Ä™ð0 0 0 0 -ð6 Å›ð
ëðûð ëð ûð
éðÅ‚ð x1 =ð-ð13, x1 =ð-ð1+ð 5að,
1 0 0 -ð13 ìð ìð
éð Å‚ð
1 0 -ð5 3
Ä™ð0 Å›ð ïð ïð
c) 1 0 7 , x2 =ð 7, , d) x2 =ð -ð1-ð 2að, að Îð R ,
íð Ä™ð0 1 2 -ð1Å›ð , íð
Ä™ðÅ›ð
ïð ëð ûð ïð
Ä™ð0 0 1 2 Å›ð
x3 =ð 2. x3 =ð að,
îð îð
ëðûð
x1 =ð-ð46 +ð 52að,
ìð
éðÅ‚ð x1 =ð-ð3 -ð 7að, éð Å‚ð
1 0 7 -ð3 ìð 1 0 0 -ð52 -ð46
ïðx =ð-ð17 +ð 22að,
Ä™ð0 Å›ð ïð Ä™ð0 ïð
2
e) 1 -ð5 2 , x2 =ð 2 +ð 5að, að Îð R , f) 1 0 -ð22 -ð17Å›ð , að Îð R. ,
íð íð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Å›ð
3
ïð ïðx =ð 2,
Ä™ð0 0 0 0 Å›ð Ä™ð0 0 1 0 2 Å›ð
x3 =ð að,
îð
ëðûð ëð ûð
ïðx4 =ð að,
îð
x1 =ð-ð3 +ð 5að -ð 5bð ,
ìð
éðÅ‚ð
1 0 -ð5 5 -ð3
ïðx =ð 4 -ð 6að +ð 6bð ,
Ä™ð0 Å›ð ïð
2
g) 1 6 -ð6 4 , að, bð Îð R ,
íð
Ä™ðÅ›ð
3
ïðx =ð að,
Ä™ð0 0 0 0 0 Å›ð
ëðûð
ïðx4 =ð bð ,
îð
x1 =ð-ð6að -ð 37bð +ð 9gð ,
ìð
ïðx
éð1 0 6 37 -ð9 0Å‚ð =ð-ðað +ð 8bð +ð 2gð ,
2
ïð
Ä™ð0 ïð
h) 1 1 8 -ð2 0Å›ð , =ð að, að, bð ,gð Îð R.
íðx
3
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð0 0 0 0 0 0Å›ð ïðx4 =ð bð ,
ëðûð
ïð
ïð
5
îðx =ð gð ,